華東師范數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析考點(diǎn)講義

1、目錄!緒 論 第 一 部 分一 元 數(shù) 學(xué) 分 析! 第 一 篇極 限 論 第 章第 章第 章第 章!數(shù) 列 的 極 限 函 數(shù) 的 極 限 !函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 實(shí) 數(shù) 的 完 備 性 !極 限 論 的 總 結(jié) !第 二 篇微 分 論 第 章第 章第 章!微 分 和 導(dǎo) 數(shù) !微 分 中 值 定 理 !函 數(shù) 的 幾 何 性 質(zhì) !微 分 論 的 總 結(jié) !第 三 篇積 分 論 第 章第 章第 章第 章第 章 !不 定 積 分 !定 積 分 !可 積 性 理 論 !定 積 分 的 應(yīng) 用 !反 常 積 分 !積 分 論 的 總 結(jié) !第 四 篇級(jí) 數(shù) 論 第 章第 章第 章第 章!數(shù) 項(xiàng)

2、 級(jí) 數(shù) !函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) !冪 級(jí) 數(shù) !傅 里 葉 級(jí) 數(shù) !級(jí) 數(shù) 論 的 總 結(jié) 第 二 部 分多 元 數(shù) 學(xué) 分 析! 第 五 篇多 元 函 數(shù) 極 限 論 第 章第 章第 章!平 面 點(diǎn) 集 知 識(shí) !多 元 函 數(shù) 的 極 限 !多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 !多 元 函 數(shù) 極 限 論 的 總 結(jié) !第 六 篇多 元 函 數(shù) 微 分 論 第 章第 章第 章第 章!多 元 函 數(shù) 可 微 性 !泰 勒 公 式 和 極 限 問 題 !可 微 性 在 幾 何 方 面 的 應(yīng) 用 !含 參 變 量 的 積 分 !多 元 函 數(shù) 微 分 論 的 總 結(jié) !第 七 篇多 元 函 數(shù)

3、積 分 論 第 章第 章第 章第 章!二 重 積 分 三 重 積 分 曲 線 積 分 曲 面 積 分 !多 元 函 數(shù) 積 分 論 的 總 結(jié) 緒 、 數(shù) 學(xué) 分 析 在 數(shù) 學(xué) 系 本 科 中 的 地 位 論 數(shù) 學(xué) 分 析 系 本 科 生 的 三 高 拓 撲 學(xué) 幾 何 、 高 等 代 數(shù) 俗 稱 為 數(shù) 學(xué)、 泛 函 分 析 、 抽 象 代 數(shù) 俗 稱 的 三 高 數(shù) 學(xué) 分 析為 數(shù) 學(xué) 系 你 考 上 學(xué) 習(xí) 得 好 與 不 好 ， 不 但 決 定 了 其 它 數(shù) 學(xué) 課 學(xué) 得 好 與 不 好 ， 也 確 定 了后 起 跑 線 的 前 后 因此復(fù) 習(xí) 好 數(shù) 學(xué) 分析， 不 僅 僅

4、 是 要 考 上 ， 更 重 要 的 是 考 階 段 的 學(xué) 習(xí) 上后， 能 夠 勝 任 數(shù) 學(xué) 分 析 幾 何 這 是 的 分 布 也 可 以） ， 高 等 代 數(shù) 左 右 （ 三 學(xué) 期 ）左 右 （ 一 學(xué) 期 左 右 （ 二 學(xué) 期 ） ， 其 它 課 程 也 就 是 一 學(xué) 期 個(gè)學(xué) 安 排 是 長(zhǎng) 期 教 學(xué) 實(shí) 踐 的 結(jié) 果 從 這 個(gè)地 位 和 影 響 安 排 不 是 一 個(gè) 院 系 或 某 個(gè) 人 的 教 的看 出 數(shù) 學(xué) 分 析 在 整 個(gè) 數(shù) 學(xué) 系 本 科 教 育 中 的 正 因 為 以 上 所 述 ， 數(shù) 學(xué) 分 析 成 為機(jī) 會(huì) 進(jìn) 一 步 深 造 的 可 能 性

5、 二 、 數(shù) 學(xué) 分 析 的 主 要 內(nèi) 容 之 一 換 句 話 說 ， 數(shù) 學(xué) 分 析 決 定 了 你 是 否 有 的 兩 門 基 礎(chǔ) 課一 元 數(shù) 學(xué) 分 析 數(shù) 學(xué) 分 析 多 元 數(shù) 學(xué) 分 析 極 限 論 微 分 論 一 元 數(shù) 學(xué) 分 析 積 分 論 級(jí) 數(shù) 論 多 元 極 限 論 多 元 數(shù) 學(xué) 分 析多 元 微 分 論 多 元 積 分 論 元 數(shù) 學(xué) 分 析 為 基 礎(chǔ) 體 輔 導(dǎo) 的 指 導(dǎo) 七 大 塊 之 間 相 互 有 關(guān) 系 多 元 數(shù) 學(xué) 分 析 以形 成 一 個(gè) 有 機(jī) 的 ， 一 元 數(shù) 學(xué) 分 析 以 極 限 論 為 基 礎(chǔ) ，三 、 數(shù) 學(xué) 分 析 基 礎(chǔ) 分

6、 占 到 左 右 ， 技 能 分 左 右 在 保 證 基 礎(chǔ) 分 的 情 況 下 ， 提 高 技 能 分 輔 導(dǎo) 的 指 導(dǎo)：對(duì) 定 義 有 感 性 的 認(rèn) 識(shí) （ 即 幾 何 直 觀 ） ；深 刻 理 解 不 同 定 義 間 的 主 要 聯(lián) 系 （ 即 定 理 ） ；掌 握 分 析 問 題 的 方 法 （ 即 解 題 思 路 ） 四和 課 程 設(shè) 計(jì) 關(guān) 于 ： 數(shù) 學(xué) 分 析 第 四 版 編 者 ： 華 東 師 范 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 系 ： 高 等 教 育 課 程 設(shè) 計(jì) 整 個(gè) 課 程 由 三 個(gè) 階 段 組 成 ：第 一 階 段 ： 考 點(diǎn) 精 講 及 復(fù) 習(xí) 思 路 （ 左 右 ）目

7、標(biāo) ： 力 保 百 分 之 到 的 基 本 分 方 法 ： 按 考 點(diǎn) 之 間 的 聯(lián) 系 展 開 ， 以 高 頻 考 點(diǎn) 為 精 講 對(duì) 象 ， 通 過 典 型 例 題 深 入 提 及 典 型 題 精 講 精 練 （ 第 二 階 段 ： 名 校 左 右 ）目 標(biāo) ： 百 分 之 到 的 技 能 分 方 法 ： 通 過 近 幾 年 名 校 經(jīng) 典 試 題 的 分 析 ， 加 深 對(duì) 重 要 定 理 的 理 解 ， 熟 練 地 掌 握 典 型 問 題 中 的一些常 規(guī) 的 技 能 和 技 巧 第 三 階 段 ： 沖 刺 大 串 講 及 模 擬 四 套 卷 精 講 （ 左 右 ）目 標(biāo) ： 穩(wěn) 固

8、 第 一 階 段 和 第 二 階 段 的 成 果 中 取 得 高 分 ， 從 整 體 上 把 握 數(shù) 學(xué) 分 析 的 基 本 和 解 題 技 能 ， 力爭(zhēng)在方 法 ： 以 極 限 為 主 線 ， 提 煉 數(shù) 學(xué) 分 析 七 大 部 分 的 精 決 問 題 的 典 型 方 法 五 、 授 課 對(duì) 象 過 四 套 模 擬 卷 的 精講 ， 再 現(xiàn) 典 型 問 題中解 準(zhǔn) 備 報(bào) 考 數(shù) 學(xué) 專 業(yè) 的 同 學(xué) 準(zhǔn) 備 報(bào) 考 數(shù) 學(xué) 一 類 且 想 取 得 高 分 的 同 學(xué) 寄 語(yǔ) 數(shù) 學(xué) 分 析 ， 對(duì) 老 師 和 學(xué) 生 來 說 ， 都 是 數(shù) 學(xué) 系 中 最 具 我 將 盡 我 最 大 的

9、 努 性 的 一 門 基 礎(chǔ) 專 業(yè) 課 中 希 望 通 過 本 課 程 三 個(gè) 階 段 這 個(gè) 階 段 學(xué) 習(xí) ，力 ， 把 近 三 十 年 對(duì) 數(shù) 學(xué) 分 析 的 理 解 貫 穿 在 整 個(gè) 的 教 學(xué) 之讓從 害 怕 數(shù) 學(xué) 分 析 到 喜 歡 數(shù) 學(xué) 分 析 ， 從 支 離 破 碎 的 概 念 到 從 整 體 上 把 握 數(shù) 學(xué) 分 析 的 基 本 和 基 本 內(nèi) 容 ， 從 做 題 無 處 下 手 到 遇 題 不 慌 ， 沉 著 迎 戰(zhàn) 的 良 好 心 理 狀 態(tài) 我 相 信 ， 在的 成 績(jī) 共 同 努 力 下一 定 會(huì) 在 數(shù) 學(xué) 分 析 方 面 取 得 長(zhǎng) 足 的 進(jìn) 步 ，

10、在中 取 得 理 想第一篇極限論 章 章 章 章第第第第數(shù) 列 的 極 限 函 數(shù) 的 極 限 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 實(shí) 數(shù) 的 完 備 性 極 限 論 的 總 結(jié) 第 章數(shù) 列 的 極 限 、 本 章 考 情 分 析 極 限 分 為 數(shù) 列 極 限 和 函 數(shù) 極 限 數(shù) 列 極 限 從 形 式 來 看 要 比 函 數(shù) 極 限 簡(jiǎn) 單 于 掌 握 它 是 學(xué) 習(xí) 函 ， 便數(shù) 極 限 的 基 礎(chǔ) 這 章 是 的 熱 點(diǎn) 之 一 從 形 式 上 看 有 選 擇 題 分 值 從 的 理 、 填 空 題 、 計(jì) 算 題 和 證 明 題幾 分 （ 選 擇 題 和 填 空 題 ） 到 多 分 （ 計(jì)

11、 算 題 和 證 明 題 對(duì)） 不 等 ， 題 的 難 度 從 低 到 高 都 有 極限解 和 幾 何 直 觀 是 本 章 的 難 點(diǎn) 要 求 ： 會(huì) 應(yīng) 用 本 章 的 四 種 方 法 求 極 限 或 證 明 極 限 等 式 會(huì) 應(yīng) 用 數(shù) 列 極 限 的 基 本 性 質(zhì) 做 證 明 題 二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 數(shù) 列 的 極 限 上 （ 下 ） 確 界 相 關(guān) 定 理 三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 （ 一 ） 基 本 定 義 和 概 念 ：要 點(diǎn) ： 數(shù) 列 及 子 列 的 概 念 ；要 點(diǎn) ： 數(shù) 列 極 限 的 分 析 定 義 及 幾 何 定 義 ；要 點(diǎn) ： 數(shù) 集 的 上

12、 （ 下 ） 確 界 ；（ ） 上 確 界 的 定 義 設(shè) 為 一 個(gè) 非 空 數(shù) 集 若 數(shù) 滿 足 條 件 ：（ ） 對(duì) 一 切 ， 有 ， 即 是 的 一 個(gè) 上 界 ；） 對(duì) 任 何 ， 存 ， 使 ， 即 又 是 的 最 小 上 界 ， 則 稱 上 確 界 ， 記 為 數(shù) 集 的 （在得 作（ ） 下 確 界 的 定 義 設(shè) 為 一 個(gè) 非 空 數(shù) 集 若 數(shù) 滿 足 條 件 ：（ ） 對(duì) 一 切 ， 有 ， 即 是 的 一 個(gè) 下 界 ；（ ） 對(duì) 任 何 ， 存 ， 使 ， 即 又 是 的 最 大 下 界 ， 則 下 確 界 為 數(shù) 集 的 在得稱， 記 作上 確 界 和 下 確

13、 界 統(tǒng) 稱 為 確 界 （ ） 確 界 的 基 本 性 質(zhì) ；確 界 是 唯 一 的 ；最 大 （ 小 ） 值 是 上 （ 下 ） 確 界 ， 反 之 不 成 立 ； ， （ ） 確 界 原 理 設(shè) 是 非 空 的 數(shù) 集 ， 若 有 上 界 ， 則 有 上 確 界 ； 若 有 下 界 ， 則 有 下 確 界 確 界 原 理 是 實(shí) 數(shù) 完 備 性 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 之 一 其 他 六 個(gè) 都 可 以 由 它 直 接 或 間 接 推 出 因 為 確 界 原 理 來 源 于 分 析 學(xué) 的 基 礎(chǔ) ， 即 實(shí) 數(shù) 理 論 本是 講 數(shù) 學(xué) 分 析 的 ， 所 以 沒 有 要 求 知 道

14、它 的 證 明 過 程 字 定 理 是 需 要 證 明 的 故 給 它 起 名 確 界 原 理 而 沒 有 用 定 理 二， 而 原 理 是 可 以 不 給 予 證 明 的 ， 只 需 要 承認(rèn) 它 就 可 以 了 ： 有 上 （ 下 ） 界 的 非 空 數(shù) 集 不 一 定 有 最 大 （ 小 ） 值 ， 但 一 定 有 上 （ 下 ） 確 界 確 界 實(shí) 確 界 原 理 告 訴 質(zhì) 上 是 最 （ 大 ， 小 ） 值 的 推 廣 規(guī) 定 ： 若 沒 有 上 界 ， 則將 確 界 原 理 推 廣 為 ： ； 若 沒 有 下 界 在 這 樣 的 規(guī) 定 下 ， 則可 以 （ ） 廣 義 確 界

15、原 理 若 是 非 空 的 數(shù) 集 ， 則 有 上 、 下 確 界 要 點(diǎn) ： 唯 一 性 定 理 若 數(shù) 列 收 斂 ， 則 它 只 有 一 個(gè) 極 限 要 點(diǎn) ： 有 界 性 定 理 若 數(shù) 列 收 斂 ， 則 它 為 有 界 數(shù) 列 要 點(diǎn) ： 保 號(hào) 性 定 理 若 ! （ 或 ） ， 則 對(duì) 任 意 的 （ ， ） （ 或 （ ， ） ） ， 存 在 正 整 數(shù) ， 使 得 當(dāng) 時(shí) ，有 （ 或 ） 要 點(diǎn) ： 保 號(hào) 性 定 理 的 推 論 若 ! ， ! ， 且 ， 則 存 在 正 整 數(shù) ， 使 得 當(dāng) 時(shí)要 點(diǎn) ： 保 不 等 式 性 ， 有 設(shè) 和 為 收 斂 的 數(shù) 列

16、若 存 在 正 整 數(shù) ， 使 得 當(dāng) 時(shí)要 點(diǎn) ： 迫 斂 性 ， 又 名 夾 擊 法 設(shè) 數(shù) 列 和 數(shù) 列 均 收 斂 于 ， 數(shù) 列 滿 足 條 件 ： 存 在 正 整 ， 且 ! ! 則 數(shù) 列 收 斂 ， 且 ! ， 則 ! ! ， 有數(shù) ， 當(dāng) 時(shí) ， 有注 ： 這 是 求 極 限 的 重 要 方 法 之 一 ， 是 求 極 限 的 第 三 種 方 法 （ 前 兩 個(gè) 分 別 是 按 極 限 的 定式 ） 重 點(diǎn) 是 考 生 要 對(duì) 常 見 的 數(shù) 列 極 限 （ 對(duì) 應(yīng) 定 理 中 的 和 ） 熟 悉 要 點(diǎn) ： 數(shù) 列 和 子 列 收 斂 的 關(guān) 系 數(shù) 列 收 斂 于 的

17、充 分 必 要 條 件 是 ： 它 的 任 意 子 列 也 收 斂 于 注 ： 此 定 理 經(jīng) 常 用 來 證 明 數(shù) 列 的 極 限 不 存 在 上 述 定 理 的 變 形 義 ， 按 運(yùn) 算 公數(shù) 列 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 它 的 任 意 子 列 也 收 斂 分 析 ： 這 只 需 要 證 明 所 有 的 子 列 均 收 斂 于 同 一 個(gè) 值 即 可 和 是 兩 個(gè) 子 列 子 列 ， 故 和 的 極 限 相 同 要 點(diǎn) ： 單 調(diào) 有 界 定 理 可 以 將 他 們 拼 成 一 個(gè) 新 子 列 和 是 的單 調(diào) 有 界 的 數(shù) 列 必 有 極 限 知 道 （ ）

18、存（ ） 作 為 應(yīng) 用 作 （ ） 反 例 在 ， 將 此 極 限 記 為 ， 以 其 為 底 的 對(duì) 數(shù) 稱 作 自 然 對(duì) 數(shù) ， 記!要 點(diǎn) ： 致 密 性 定 理 有 界 的 數(shù) 列 必 有 收 斂 的 子 列 致 密 性 定 理 是 單 調(diào) 有 界 定 理 的 弱 化 ， 即 條 件 減 弱 ， 結(jié) 論 也 減 弱 要 點(diǎn) ： 柯 西 條 件 的 定 義 設(shè) 是 一 個(gè) 數(shù) 列 如 果 對(duì) 任 意 的 則 稱 數(shù) 列 滿 足 柯 西 條 件 要 點(diǎn) ： 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 ， 存 在 正 整 數(shù) ， 使 得 當(dāng) ， 時(shí) ， ， 有數(shù) 列 收 斂 的 充 要 條 件 是 滿 足

19、柯 西 條 件 是 什 么 盡 管 注 ： 單 調(diào) 有 界 定 理 和 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 均 是 用 來 證 明 極 限 存 在 的 定 理 ， 并 沒 有 告 訴 極 限如 此 ， 它 也 蘊(yùn) 含 著 第 四 種 求 極 限 的 方 法 ： 先 證 明 極 限 的 存 在 ， 再 求 極 限 （ 二 ） 總 結(jié) 求 極 限 的 方 法 ：方 法 ： 按 定 義 證 明 極 限 等 式 已 知 極 限 ! 證 明 ! 下 面 的 道 題 是 書 上 ， 的 例 題 它 們式 希 望 是 這 一 類 題 的 標(biāo)準(zhǔn)模能 認(rèn) 真 研 讀 它 們 ， 并 將 結(jié) 果 當(dāng) 定 理 記 下 來 ）

20、證 明 ， 這 是 正 數(shù) ! 里） 證 明 ， 這 里!） 證 明 ， 其 中 ! 槡） 證 明 ! ?。?證 明 ! 槡 利 用 證 明 下 列 等 式 ： ； ；! 槡槡槡! 若 （ ） ， 則 ! !利 用 的也 可 以 證 明 ： 已 知 極 限 ! 且 （ ， ， ） 證 明 槡!此 題 留 給 做 課 后 練 習(xí) 會(huì) 在 后 繼 課 程 中 給 予 方 法 ： 根 據(jù) 極 限 運(yùn) 算 公 式 求 極 限 求 極 限 ! 求 極 限 !槡 槡 槡槡方 法 ： 利 用 夾 擊 法 求 極 限 證 明 （ ） （ ）!槡 槡 證 明 槡 !設(shè) ， ， ， 為 個(gè) 正 數(shù) ， 證 明 ：

21、 ， ， ， 槡!留 給 同 學(xué) 做 練 習(xí) ， 將 在 后 繼 課 程 中 給 予 方 法 ： 先 證 明 極 限 存 在 ， 再 求 極 限 設(shè) 槡 ， 槡 ， ， ， ， 求 極 限 ! 給 定 兩 正 數(shù) 和 （ ） ， 做 出 等 差 中 項(xiàng) 槡 ， ， ， 與 等 比 中 項(xiàng) 槡 一 般 地 令 ： ! 和， 證 明 ! 皆 存 在 且 相 等 與 上 道 題 類 似 的 是 下 邊 的 ， 留 給 在 以 后 的 后 繼 課 程 中 給 出思 考 設(shè) ， 記 ， ， ， ， 證 明 和 的 極 限 ，都 存 在 且 等 于槡 講 一 講 怎 樣 證 明 數(shù) 列 極 限 不 存 在

22、 這類 題 一 般 用 （ ） 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 （ ） 數(shù) 列 收 斂 的 最 后 ； 或充 分 必 要 條 件 ： 每 個(gè) 子 列 都 收 斂 （ 且 收 斂 于 同 一 個(gè) 值 ） （ ） 發(fā) 散 證 明 數(shù) 列 證 明 數(shù) 列 發(fā) 散 ， 這 里 ， ， ， 四 、 本 章 名 校 經(jīng) 典 試 題 回 顧 （ 華 東 師 范 大 學(xué) ， 年 ， 二 ， （ ） ， 分判 別 題 （ 正 確 的 說 明 理 由 ， 錯(cuò) 誤 的 舉 出 反 例 ）若 ， 則 ! 槡! （ 華 中 師 范 大 學(xué) ， 年 ， 一 ， （ ） ， 分） （ ，） ， 證 明 設(shè)!， 一 ， （ ） ，

23、分 ） （ 首 都 師 范 大 學(xué) ， 年求 極 限 !（ 槡 槡 槡） （ 書 本 上 的 習(xí) 題 ， 首 都 師 范 大 學(xué) ， 年 ， 四， 分 ）若 且 證 明 ! ! （ 復(fù) 旦 大 學(xué) ， 年 ， 三 ， 分 ） （ ）! （ ）求 極 限 五 、 本 章 小 結(jié) 截 至 目 前 介 紹 了 求 極 限 的 四 種 方 法 隨 著 課 程 的 進(jìn) 行 ， 還 會(huì) 有 別 的 求 極 限 的 方 法 ； 要 記 住 一 些 常 見 的 求 和 公 式 這 些 公 式 在 求 極 限 時(shí) 起 著 非 常 重 要 的 作 用 例 如 ：（ ）（ ） （ ）（ ） 要 記 住 一 些 常

24、見 的 數(shù) 列 極 限 這 些 極 限 在 求 別 的 極 限 時(shí) 會(huì) 用 到 的 ； 對(duì) 極 限 的 基 本 性 質(zhì) 要 幾 何 直 觀 ， 不 能 死 記 硬 背 在 下 一 章 中 會(huì) 看 到 數(shù) 列 極 限 的 性 質(zhì) 在 函 數(shù) 極 限 中 都 有 對(duì) 應(yīng) 的 定 理 因 此 對(duì) 數(shù) 列 極 限 的 理 解 和 掌 握 直 接 影 響 對(duì) 函 數(shù) 極 限 的 學(xué) 習(xí) 第 章函 數(shù) 的 極 限 、 本 章 考 情 分 析 可 以 把 一 個(gè) 數(shù) 列 因 此 數(shù) 列 極 限 可 以 看 成 是 看 成 是 一 個(gè) 定 義 域 為 全 體 正 整 數(shù) 集 合 上 的 函 數(shù) 特 殊 的 函

25、 數(shù) 極 限 反 之 ， 通 從 形 式 上 看 過 海 涅 定 理 ， 函 數(shù) 的 極 限 問 題 可 以 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 列 的 極 限 問 題 ， 函數(shù) 極 限 要 比 數(shù) 列 極 限 復(fù) 雜 但 本 質(zhì) 是 一 樣 的 ： 它 們 都 是 ， 和當(dāng) 自 變 量 趨 于 某 值 （ 包 含， 函 數(shù) 隨 自 變 量 的 趨 近 狀 態(tài) ） 時(shí)的 熱 點(diǎn) 之 一 題 型 從 填 空 題 考求 函 數(shù) 極 限 或 證 明 函 數(shù) 極 限 存 在 是 分 從 幾 分 到 十 幾 分 都 可 能 出 現(xiàn) 要 求 ：、 選 擇 題 、 計(jì) 算 題 到 證 明 題 會(huì) 用 定 義 或 公 式 求 函

26、 數(shù) 極 限 或 證 明 函 數(shù) 極 限 存 在 ； 根 據(jù) 極 限 （ 或 左 、 右 側(cè) 極 限 ） 存 在 求 參 數(shù) ； 利 用 兩 個(gè) 重 要 極 限 求 函 數(shù) 極 限 （ 即 求 極 限 的 第 五 種 方 法 ） ； 利 用 等 價(jià) 無 窮 小 量 求 極 限 （ 即 求 極 限 的 第 六 種 方 法 ） ； 掌 握 相 關(guān) 的 基 本 定 理 ， 注 意 函 數(shù) 極 限 定 理 和 和 數(shù) 列 極 限 定 理 之 間 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 函 數(shù) 極 限 的 六 種 形 式 ； 函 數(shù) 極 限 的 基 本 性 質(zhì) ； 兩 個(gè) 重 要 極 限 ；

27、 無 窮 小 量 和 無 窮 大 量 ；三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 要 點(diǎn) 函 數(shù) 極 限 的 六 種 形 式 ） 自 變 量 趨 于 某 實(shí) 數(shù) 時(shí) （ ） ； （ ） ， （ ） ） 自 變 量 趨 于 無 窮 大 時(shí) ! （ ） ； !（ ） ， !（ ） 數(shù) 學(xué) 分 析 語(yǔ) 言 熟 練 地 刻 畫 上 邊 六 注 ： 能 用 種 極 限 是 數(shù) 學(xué) 分 析 的 基 本 功應(yīng) 該 把 它 們 作 為 課 后 練 習(xí) 做 一 做 六 種 極 限 間 的 關(guān) 系 ：（ ）! （ ） 要 點(diǎn) 存 在 的 充 要 條 件 是 （ ） 和 （ ） 存 在 且 相 等 存 在 的 充 要 條 件

28、 是 !（ ） 和 !（ ） 存 在 且 相 等 函 數(shù) （ ） 在 時(shí)， 極 限 或 左 、 右 側(cè) 極 限 函 數(shù) 極 限 的 基 本 性 質(zhì) 知 道 函 數(shù) 的 極 限 有 六 種 形 式 因 只 要 大 家 此每 個(gè) 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 或 者 定 理 都 有 六 種 形 式 不 會(huì) 成 為 學(xué) 習(xí) 中 的 攔 路 虎 下 邊 以 為 例 ，掌 握 函 數(shù) 極 限 的 幾 何 直 觀 ， 這 些 形 式 上 闡 述 函 數(shù) 極 限 的 基 本 性 質(zhì) 和 定 理 ） 海 涅 定 理 設(shè) 在 （ ， ） 內(nèi) 有 定 義 （） ， ） 且 以 存 在 的 充 分 必 要 條 件 是

29、 ： 對(duì) 任 何 含 于（ 為 極 限 的 數(shù) 列 ， 極 限 !（ ） 都 存 在 （ 且 相 等 ） 注 ： 海 涅 定 理 是 數(shù) 列 極 限 和 函 數(shù) 極 限 之 間 的 橋 梁 此 定 理 蘊(yùn) 含 著 函 數(shù) 極 限 均 可 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 這 也 是一 再 強(qiáng) 調(diào) 數(shù) 列 極 限 重 要 性 的 原 因 之 一 列 極 限 注 ： 海 涅 定 理 對(duì) 應(yīng) 數(shù) 列 極 限 定 理 中 的 “ 數(shù) 列 和 子 列 收 斂 的 關(guān) 系 ” 定 理 注 ： 利 用 海 涅 定 理 可 以 證 明 函 數(shù) 極 限 不 存 在 ， 見 下 邊 的 例 題 證 明 ! 不 存 在 證 明 ：

30、若 為 周 期 函 數(shù) ， 且 !（ ） ， 則 對(duì) 任 意 的 取 值 為 ） 唯 一 性 定 理 若 （ ） 存 在 ， 則 此 極 限 是 唯 一 的 ） 局 部 有 界 性 ，（ ） ， 即 為 常 值 函 數(shù) 且 若 （ ） 存 在 ， 則 在 的 某 空 心 領(lǐng) 域 （ ） 內(nèi) 有 界 ） 局 部 保 號(hào) 性 若 （ ） （ ） ， 則 對(duì) 任 意 的 （ ， ） （ ， ） ， 存 在 （ 或的 某 空 心 領(lǐng) 域 （ ） ， 使 得 對(duì) 一 切 （ ）， 有 （ ） （ 或 （ ） ） 注 ： 類 似 與 數(shù) 列 極 限 ， 這 里 也 有 一 個(gè) 推 論 ， 書 中 沒 有

31、提 到 。） 保 不 等 式 性 設(shè) （ ） 和 （ ） 都 存 在 ， 且 在 的 某 空 心 領(lǐng) 域 （ ） 內(nèi) 有 （ ）（ ）， 則 （ ）（ ） ） 迫 斂 法 ， 又 名 夾 擊 法 設(shè) （ ） （ ） ， 且 在 的 某 空 心 領(lǐng) 域 （ ） 內(nèi) 有 （ ）（ ） （ ）， 則 （ ） ） 單 調(diào) 有 界 定 理 若 在（ ） 上 單 調(diào) 有 界 ， 則 （ ）存 在 ） 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 設(shè) 在 （ ， ） 上 有 界 ， 則 （ ） 存 在 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 任 給 ， 存 ， 使 得 對(duì) 任 在 意 的 ， （ ， ） （ ） （ ）， 有注 ：

32、上 述 這 些 定 理 除 過 書 上 給 出 的 證 明 外 ， 還 可 以 海 涅 定 理 給 予 證 明 數(shù) 列 極 限 性 質(zhì) 和 函 數(shù) 極 限 性 質(zhì) 的 對(duì) 比 圖 唯 一 性 唯 一 性 有 界 性 局 部 有 界 性 保 號(hào) 性 局 部 保 號(hào) 性 保 不 等 式 性 保 不 等 式 性 夾 擊 性 夾 擊 法 四 則 運(yùn) 算 四 則 運(yùn) 算 數(shù) 列 的 單 調(diào) 有 界 定 理 單 側(cè) 極 限 的 單 調(diào) 有 界 定 理 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 需 要 強(qiáng) 調(diào) 的 是 關(guān) 于 數(shù) 列 求 極 限 的 四 種 方 法 ， 即 根 據(jù) 定 義 ， 根 據(jù)

33、公 式 ， 夾 擊 法同 樣 也 適 用 于 求 函 數(shù) 極 限 ， 已知極 限 存 在 求 極 限 求 出 滿 足 下 述 條 件 的 常 數(shù) 與 ，要 點(diǎn) 兩 個(gè) 重 要 的 極 限 !） 變 形 ： ） 變 形 ： （ ） !的 熱 點(diǎn) 之 一 通 只 要 大 家 掌 握 規(guī) 利 用 兩 個(gè) 重 要 極 限 求 極 限 是 常 以 選 擇 題 和 填 空 題 形 式 出 現(xiàn) 律 ， 會(huì) 轉(zhuǎn) 換 形 式 ， 這 種 分 是 容 易 拿 到 手 的 這 也 是 求 極 限 的 第 五 種 方 式 求 極 限 分 析 ： 只 要 是 分 式 ， 有 和 出 現(xiàn) ， 待 定 型 ， 一 般 都

34、可 以 使 用 重 要 極 限 方 法 求 極 限 !極 限 式 ， 大 部 分 情 況 下 都 可 以 使 用 兩 個(gè) 重 要 極 限 中 的 第 二 個(gè) 分 析 ： 只 要 是 形 如 的 !要 點(diǎn) 無 窮 大 量 和 無 窮 小 量 約 定 （ ） 代 表 六 種 極 限 中 的 任 意 一 種 為 說 話 方 便 數(shù) 列 極 限 函 數(shù) 極 限 數(shù) 列 和 子 列 的 收 斂 關(guān) 系 海 涅 定 理 當(dāng) （ ） 時(shí) 例 如 ： 如 果 !（ ）就 說 是 在 自 變 量 趨 近 某 值 時(shí) 的 無 窮 小 量 就 說 是 !時(shí) 的 無 窮 小 量 注 意 無 窮 小 量 是 一 個(gè) 變

35、 量 ， 而 非 一 個(gè) 非 常 小 的 值 當(dāng) （ ） !， （ !， !） 時(shí)就 說 是 在 自 變 量 趨 近 某 值 時(shí) 的 （ 正 ， 負(fù) ） 無 窮 大 量 就 說 是 !時(shí) 的 正 無 窮 大 量 注 意 無 窮 大 量 是 一 個(gè) 變 量 ， 而 非例 如 ： 如 果 ! （ ） !一 個(gè) 非 常 大 的 值 為 了 比 較 同 一 狀 態(tài) 下 （ 即 自 變 量 趨 近 同 一 個(gè) 值 ） 兩 個(gè) 無 窮 小 量 收 斂 于 零 的 速 度 大 小引 進(jìn) 下列 概 念 為 方 便 起 見 以 為 例 （ ） ， 則 稱 當(dāng) 時(shí) ， 為設(shè) （ ） ， （ ） 如 果 的 高 階

36、 無 窮 小 量 ， 或 為 的 低 階 無 窮 小 量 （ ）， 記 作 （ ） （ （ ） ） （ ） 如 果 存 在 正 數(shù) 和； ， 使 得 在 （ ） 上 有 （ ） ， 則稱 和 為 當(dāng) 時(shí) 的 同 階 無 窮 （ ） （ ）小 量 特 別 當(dāng) 時(shí)， 和 為 當(dāng) 時(shí) 的 同 階 無 窮 小 量 ； （ ） （ ） 如 果 ， 則 稱 當(dāng) 時(shí) ， 為 的 等 價(jià) 無 窮 小 量 ， 記 作 （ ）可 以 用 來 替 換 求 極 限 ， 即 第 六 個(gè) 求 極 限 的 方 法 （ ） （ ） （ ）對(duì) 等 價(jià) 無 窮 小 量 乘 除 替 換 定 理 設(shè) 函 數(shù) ， ， 在 （ ） 上

37、有 定 義 ， 且 （ ） （ ） （ ） ， 則） 若 （ ） （ ） ， 則 （ ） （ ） ； （ ） （ ） 若 ， 則 ；（ ） （ ）慎 重 使 用 注 ： 此 方 法 只 對(duì) 乘 、 除 運(yùn) 算 起 作 用 ， 對(duì) 加 、 減 失 效 ， 希 望 求 極 限 ! 分 析 ： （ !）四 、 名 校 經(jīng) 典 試 題 回 顧 上 的 習(xí) 題 ， 華 東 師 大 ， ， 一 ， （ ） ）判 斷 下 列 說 法 是 否 正 確 ： （ ） ， （ ） ， 此 處 ， ， 均 為 實(shí) 數(shù) ， 則 （ （ ） ） 函 數(shù) 極 限 定 義 的 分 析 ： 這 道 題 是 用 來 大 學(xué) 年

38、年 ）上 的 習(xí) 題 設(shè) 函 數(shù) 在 （ ， !） 上 滿 足 條 件 （ ） （ ）， 且 ! （ ） ， 證 明 （ ） ， （ ， !） 的 證 明 題 不 會(huì) 簡(jiǎn) 單 到 直 接 使 用 定 理 就 可 以 得 出 證 明 你 一 定 要 分 析 分 析 ： 目 標(biāo) ， 條 件 ， 目 標(biāo) 和 條 件 之 間 的 聯(lián) 系 （ 即 定 理 ） （ 華 東 師 大 ， 年 ， 一 ， ， 分 ）求 極 限 （ ） 五 、 本 章 小 結(jié) 函 數(shù) 極 限 有 六 種 形 式 ， 因 此 每 一 個(gè) 定 理 也 有 六 種 變 形 ； 同 理 無 窮 大 量 有 十 八 種 形 式 ， 每 一

39、 個(gè) 定理 都 有 十 八 種 變 形 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 分 析 語(yǔ) 言 （ 即 語(yǔ) 言 ） 描 述 上 述 定 義 和 定 理 是 學(xué) 好 數(shù) 學(xué) 分 析 的 基 本 功 海 涅 定 理 是 連 接 數(shù) 列 極 限 和 函 數(shù) 極 限的 橋 梁 它 可 以 使 數(shù) 列 極 限 的 基 本 性 質(zhì) 和 定 理 很 容 易 地轉(zhuǎn) 換 為 函 數(shù) 極 限 的 定 理 正 因 為 如 此 ， 數(shù) 列 極 限 性 質(zhì) 和 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 有 著 天 然 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 截 止 目 前 已 總 結(jié) 了 六 種 求 極 限 的 方 法 ： 定 義 ， 公 式 ， 夾 擊 法 ， 極 限 方

40、程 ， 兩 個(gè) 重 要 的 極 限 ，等 價(jià) 無 窮 小 量 替 換 隨 著 課 程 的 進(jìn) 行 ， 還 會(huì) 有 新 的 方 法 出 現(xiàn) 第 一 章 和 第 二 章 重 要 概 念 和 定 義 的 聯(lián) 絡(luò) 圖 隨 著 課 程 的 進(jìn) 行 的 聯(lián) 絡(luò) 圖 將 會(huì) 逐 漸 豐 富 起 來 同 一 章 ， 同 一 篇 ， 同 一 部 分 及 整 個(gè) 數(shù) 學(xué) 分 析 的 重 要 概 念 最 終 要 在 同 一 個(gè) 聯(lián) 絡(luò) 圖 中 體 現(xiàn) 出 來 一 本 書 只 有 學(xué) 到 一 頁(yè) 紙 時(shí) ， 才 是 自 家 的 學(xué) 問 ！第 章函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 、 本 章 考 情 分 析 連 續(xù) 函 數(shù) 是 數(shù)

41、 學(xué) 分 析 的 主 要 研 究 對(duì) 象 初 等 函 數(shù) 均 為 連 續(xù) 函 數(shù) 本 章 的考 點(diǎn) 是 判 斷 連 續(xù) 點(diǎn) 、 間 斷 點(diǎn) 及 間 斷 點(diǎn) 的 分 類 ， 證 明 函 數(shù) 的 一 致 連 續(xù) 性 題 型 以 證 明 題 見 多 二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 連 續(xù) 點(diǎn) 及 連 續(xù) 函 數(shù) ； 間 斷 點(diǎn) 及 其 分 類 ； 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 要 點(diǎn) 連 續(xù) 點(diǎn) ） 若） 若） 若（ ） （ ） （ 即 極 限 號(hào) 和 函 數(shù) 符 號(hào) 可 以 交 換 順 序 ） ， 則 稱 在 處 連 續(xù) （ ） （ ）， 則 稱 在

42、處 右 連 續(xù) ， 則 稱 在 處 左 連 續(xù) （ ） （ ） 在 處 連 續(xù) 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 在 處 左 、 右 連 續(xù) 若 在 定 義 域 中 的 每 一 點(diǎn) 處 連 續(xù) ， 則 稱 為 連 續(xù) 函 數(shù) 初 等 函 數(shù) 為 連 續(xù) 函 數(shù) ， 所 以 讓 你 證 明 一 個(gè) 函 數(shù) 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 這 個(gè) 函 數(shù) 絕 對(duì) 不 會(huì) 是 初 等 函 數(shù) ， 而 是一 些 很 特 殊 的 函 數(shù) ， 例 如 分 段 函 數(shù) （ 像 狄 利 克 萊 函 數(shù) ， 黎 曼 函 數(shù) ） 等 等 ， ）設(shè) 為 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 常 數(shù) 記 ，若 （ ） （ ） （ ） ，（ ）若，若 （

43、 ） 證 明 在 上 連 續(xù) 要 點(diǎn) 間 斷 點(diǎn) 及 其 分 類 ） 非 連 續(xù) 點(diǎn) 稱 作 間 斷 點(diǎn) ；） 若 （ ） （ ） 存 在 ， 但 （ ） 沒 有 定 義 ， 或 有 定 義 ， 但 與 極 限 值 不 相 等 ， 則 稱 為 的 可 去 間 斷 點(diǎn) ） 若 （ ） （ ） ， 則 稱 為 的 跳 躍 間 斷 點(diǎn) ） 可 去 間 斷 點(diǎn) 和 跳 躍 間 斷 點(diǎn) 統(tǒng) 稱 為 第 一 類 間 斷 點(diǎn) ， 其 他 的 間 斷 點(diǎn) （ 即 左 、 右 側(cè) 極存 在 ） 統(tǒng) 稱 為 第 二 類 間 斷 點(diǎn) 限至少有一個(gè)不 ， ）下 列 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) 并 說 明 類 型 ：（ ）

44、 （ ）（ ）（ ）；（ ） ； （ ）要 點(diǎn) 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) ） 有 界 性 定 理 若 函 數(shù) （ ） 在 閉 區(qū) 間 ， ） 最 大 值 和 最 小 值 定 理 若 函 數(shù) （ ） 在 閉 區(qū) 間 ， 上 連 續(xù) ， 則 （ ）在 閉 區(qū) 間 上 有 界 上 連 續(xù) ， 則 （ ）在 閉 區(qū) 間 上 有 最 大 值 和 最 小 值 ） 介 值 定 理 若 函 數(shù) （ ） 在 閉 區(qū) 間 ， 上 連 續(xù) ， 是（ ）和 （ ）之 間 的 一 個(gè) 值 （ 不 包 含 （ ） 和（ ） ， 則 （ ， ）， 使 得 （ ） 存 在 ） 反 函 數(shù) 的 連 續(xù)

45、 性 若 函 數(shù) （ ） 在 閉 區(qū) 間 ， 上 嚴(yán) 格 單 調(diào) 且 連 續(xù) ， 則 反 函 數(shù) 在 （ ） ， （ ） 或 （ ） ， （ ） 上 連 續(xù) ） 一 致 連 續(xù) 性 若 函 數(shù) （ ） 在 閉 區(qū) 間 ， 上 連 續(xù) ， 則 （ ） 是 一 致 連 續(xù) 函 數(shù) 關(guān) 于 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) 的 考 點(diǎn) 往 往 是 去 掉 閉 性 ， 加 上 一 些 條 件 ， 證 明 上 述 定 理 仍立 例 如 下 邊 的 例 子 ：然 成 ， ）若 （ ） 在 ， !）上 連 續(xù) ， 且 !（ ）存 在 ， 證 明 （ ） 在 ， !）上 有 界 能 否 取

46、到 最 大 值 和 最 小 值 ？ 是 否 是 一 致 連 續(xù) 函 數(shù) ？四 、 名 校 經(jīng) 典 試 題 回 顧 （ 華 中 師 大 ）設(shè) （ ） 在 （ ， ） 上 有 定 義 ：（ ） 用 的 方 法 敘 述 （ ） 在 （ ， ） 上 一 致 連 續(xù) 的 概 念 ；（ ） 設(shè) ， 證 明 在 （ ， ） 上 一 致 連 續(xù) ；（ ） 證 明 在 （ ， ） 上 非 一 致 連 續(xù) 大 學(xué) ， 山 東 大 學(xué) ）在 有 限 開 區(qū) 間 （ ， ） 設(shè) （ ）上 連 續(xù) ， 證 明 （ ） 在 （ ， ） 上 一 致 連 續(xù) 的 充 分 必 要 條 件 是 （ ）和 （ ） 存 在 （ 北

47、師 大 ）設(shè) （ ） 在 （ ，五 、 本 章 小 結(jié) !）上 連 續(xù) ， 且 !（ （ ） ） 證 明 （ ） 在 （ ， !）上 一 致 連 續(xù) 連 續(xù) 是 局 部 性 質(zhì) ， 而 一 致 連 續(xù) 是 整 體 性 質(zhì) 證 明 定 義 域 為 非 有 界 閉 區(qū) 間 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) 是 一 致 連 續(xù) 函 數(shù) 或 有 界 函 數(shù) 是 基 本 概 念 聯(lián) 絡(luò) 圖 （ 極 限 ， 確 界 ， 連 續(xù) ， 一 致 連 續(xù) 性 ） 的 重 點(diǎn) 第 章實(shí) 數(shù) 的 完 備 性 、 本 章 考 情 分 析 實(shí) 數(shù) 完 備 性 的 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 是 數(shù) 學(xué) 分 析 的 理 論 基 礎(chǔ) ，

48、也 是 整 個(gè) 數(shù) 學(xué) 分 析 的 難點(diǎn) 之 一 因 為 這 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 與 實(shí) 數(shù) 的 完 備 性 等 價(jià) ， 故 稱 作 完 備 性 的 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 證 明 七 個(gè) 定 理 之 間 的 等 價(jià) 性 及 七 個(gè) 等 的 重 點(diǎn) 題 型 以 證 明 題 的 形 式 出 現(xiàn) 價(jià) 定 理 的 應(yīng) 用 是 二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 完 備 性 的 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 及 應(yīng) 用 ； 數(shù) 列 的 上 極 限 和 下 極 限 三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 要 點(diǎn) 完 備 性 的 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 ） 確 界 原 理 任 意 非 空 有 上 （ 下 ） 界 數(shù) 集

49、 必 有 上 （ 下） 單 調(diào) 有 界 定 理 單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 ） 致 密 性 定 理 ） 確 界 任 意 有 界 的 數(shù) 列 必 有 收 斂 的 子 列 ） 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 數(shù) 列 收 斂 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 滿 足 柯 西 條 件 ） 區(qū) 間 套 定 理 若 ， 是 一 個(gè) 區(qū) 間 套 ， 則 其 交 ， 為 單 點(diǎn) 集 ! ） 有 限 覆 蓋 定 理 若 是 閉 區(qū) 間 ， 的 一 個(gè) 開 覆 蓋 ， 則 可 以 由 中 選 出 有 限 個(gè) 開 區(qū) 間 覆 蓋 ， ） 聚 點(diǎn) 定 理 實(shí) 軸 上 任 意 有 界 的 無 限 點(diǎn) 集 必 有 聚 點(diǎn) （ ，

50、書 上 的 例 題 ）試 用 有 限 覆 蓋 定 理 證 明 聚 點(diǎn) 定 理 （ ， 書 上 的 例 題 ）試 用 聚 點(diǎn) 定 理 證 明 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 要 點(diǎn) 數(shù) 列 的 上 、 下 極 限 稱 ! ! 為 數(shù) 列 為 數(shù) 列 的 上 極 限 上 極 限 的 下 極 限 下 極 限 存 在 存 在 稱 ! !） 上 下 極 限存 在 ， 正 如 上 下 確 界 存 在 這 是 數(shù) 學(xué) 發(fā) 展 的 動(dòng) 力 之 一 ） 數(shù) 列 的 極 限 存 在 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 的 上 下 極 限 相 等 （ 求 極 限 的 第 七 個(gè) 方 法 ） ） 數(shù) 列 的 上 極 限 是 所 有 收 斂

51、子 列 極 限 的 最 大 者 ； 數(shù) 列 的 下 極 限 是 所 有 收 斂 子 列 極 限 的 最 小 者 ） 收 斂 子 列 的 極 限 數(shù) 列 的 聚 點(diǎn) （ ， 書 上 的 例 題 ）!證 明 ： 若 （ ， ， （ ， 書 上 的 例 題 ）證 明 ： 若 （ ， ， 四 、 名 校 經(jīng) 典 試 題 回 顧 ， 則 ）， 且! ， 則 數(shù) 列 收 斂 ）， 且 （ 首 都 師 大 ， 年 ， 六， 分 ）利 用 實(shí) 數(shù) 完 備 性 定 理 證 明 ： 閉 區(qū) 間 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) 有 界 （ 華 中 師 大 ， ）利 用 閉 區(qū) 間 套 定 理 證 明 ： 閉 區(qū) 間 上 的

52、 連 續(xù) 函 數(shù) 有 界 科 技 大 學(xué) ）： 若 一 組 開 區(qū) 間 覆 蓋 閉 區(qū) 間 ， ， 中 任 意 兩 點(diǎn) ， ， 使 得 對(duì) 證 ， 滿明， 則 存 在 一 個(gè) 正 數(shù) 時(shí)， 必 屬 于 某 區(qū) 間 足五 、 本 章 小 結(jié) 完 備 性 的 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 之 間 的 相 互 證 明 及 其 應(yīng) 用 是 的 熱 點(diǎn) 對(duì) 書 本 中 定 理 的 證 明 要 研 讀 這 些 定 理 完 全 可 能 以 題 的 形 式 出 現(xiàn) 基 本 概 念 聯(lián) 絡(luò) 圖 （ 極 限 ， 確 界 ， 連 續(xù) ， 一 致 連 續(xù) 性 ， 上 下 極 限 ， 數(shù) 列 的 聚 點(diǎn) ） 極 限 論 的

53、總 結(jié) ： 極 限 論 ， 微 分 論 ， 積 分 論 和 級(jí) 數(shù) 論 極 限 論 是 其 它 三 部 分 的 基 礎(chǔ) 一 元 數(shù) 學(xué) 分 析 由 四 大 部 分 其 它 三 部 分 可 以 看 成 特 殊 的 極 限大 門 極 限 論 由 以 下 四 節(jié)： 數(shù) 列 的 極 限 ； 函 數(shù) 的 極 限 ； 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ； 實(shí) 數(shù) 的 完 備 性 其 基 本 定 義 有 數(shù) 列 的 極 限 ； 函 數(shù) 的 極 限 ； 上 （ 下 ） 確 界 ； 數(shù) 列 （ 集 合 ） 的 聚 點(diǎn) ； 函 數(shù) 的 連 續(xù) 點(diǎn) 和 間 斷 點(diǎn) ； 一 致 連 續(xù) 性 其 高 頻 考 點(diǎn) 為 ：；論 因此

54、掌握好一元函 數(shù) 的 極 限 論 ， 就 等 于 打 開 了 數(shù) 學(xué) 分 析 的 求 極 限 ， 證 明 極 限 存 在 ； 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 基 本 性 質(zhì) 及 應(yīng) 用 ； 實(shí) 數(shù) 完 備 性 七 個(gè) 等 價(jià) 定 理 的 相 互 推 導(dǎo) 及 應(yīng) 用 第二篇微分論微 分 和 導(dǎo) 數(shù) 微 分 中 值 定 理 函 數(shù) 的 幾 何 性 質(zhì) 第 章第 章第 章微 分 論 的 總 結(jié) 第 章微 分 和 導(dǎo) 數(shù) 、 本 章 考 情 分 析 對(duì) 一 元 函 數(shù) 而 言 ， 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 是 相 互 存 在 的 它 們 之 間 的 關(guān) 系 為 ： 導(dǎo) 數(shù) 是 特 殊 的 極 限 它 反 映

55、 了 函 數(shù) 關(guān) 于 自 變 量 平 均 變 化 率 的 極 限 導(dǎo) 數(shù) 在 幾 何 上 就 是 切 線 的 斜 率 在 物 理 上 就 是 速 度 的 熱 點(diǎn) 之 一 題 型 多 為 選 擇 題 ， 填 空 題 和 計(jì) 算 題 求 導(dǎo) 數(shù) ， 證 明 導(dǎo) 數(shù) 存 在 或 不 存 在 ， 是二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 導(dǎo) 數(shù) 及 求 導(dǎo) 法 則 ； 高 階 導(dǎo) 數(shù) 及 求 導(dǎo) 法 則 ； 微 分 ， 一 階 微 分 形 式 不 變 性 ； 高 階 微 分 ， 高 階 微 分 不 具 有 形 式 不 變 性 三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 要 點(diǎn) ： 導(dǎo) 數(shù) 及 求 導(dǎo) 法 則 導(dǎo) 數(shù) （

56、） 及 幾 何 意 義 ； 單 側(cè) 導(dǎo) 數(shù) （ ） 和 （ ） ； 單 側(cè) 可 導(dǎo) 與 可 導(dǎo) 的 關(guān) 系 ； 可 導(dǎo) 和 連 續(xù) 的 關(guān) 系 設(shè) ， （ ），試 確 定 和 的 值 ， 使 在 處 可 導(dǎo) 導(dǎo) 函 數(shù) ； 求 導(dǎo) 法 則 ； 四 則 運(yùn) 算 ； 鏈 式 法 則 ； 參 變 量 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) ； 導(dǎo) 數(shù) 和 反 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 ； 基 本 初 等 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 表 ；（ ） （ ） 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 ： 例 如 ；（ ） （ ） 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 ： 例 如 已 知 為 可 導(dǎo) 函 數(shù) ， 求 （ ） （ （ ） ） 的 導(dǎo) 數(shù) 要 點(diǎn) ： 高 階

57、導(dǎo) 數(shù) 及 求 導(dǎo) 法 則 ） 高 階 導(dǎo) 數(shù) ； ） 萊 布 尼 茲 公 式 ： （ ） （ ） ； （ ） （ ） ） 參 數(shù) 函 數(shù) 的 高 階 導(dǎo) 數(shù) 設(shè) （ ）則 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 要 點(diǎn) ： 微 分） 微 分 及 幾 何 意 義 ；） 利 用 微 分 進(jìn) 行 近 似 計(jì) 算 （ ） 原 理 ： 因 為 ， 故 計(jì) 算 槡） 高 階 微 分 ；） 一 階 微 分 形 式 不 變 性 ；） 高 階 微 分 不 具 有 形 式 不 變 性 四 、 名 校 經(jīng) 典 試 題 回 顧 大 學(xué) ）（ ） （ ）設(shè) 在 為 可 導(dǎo) 函 數(shù) 證 明 ： 若 （ 復(fù) 旦

58、大 學(xué) ） 時(shí) ， 有， 則 必 有 （ ） 或 （ ） 已 知 （ ） （ ） （ ）（ ）在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 求 （ ） ， 其 中 （ 廈 門 大 學(xué) ）已 知 （ ） ， 為 常 數(shù) 求 （ ） 的 反 函 數(shù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) （ 西學(xué) ）設(shè) ， 求 （ ） （ ） 槡 五 、 本 章 小 結(jié) 會(huì) 通 過 各 種 方 法 求 導(dǎo) 數(shù) ： 按 定 義 ， 按 公 式 ， 鏈 式 法 則 ， 參 變 量 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 ， 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 會(huì) 利 用 微 分 進(jìn) 行 近 似 計(jì) 算 幾 何 直 觀 上 理 解 導(dǎo) 數(shù) ， 微 分 的 定 義 第 章微 分 中

59、 值 定 理 、 本 章 考 情 分 析 微 分 中 值 定 理 是 微 分 部 分 的 精 華 ， 是 下 一 章 利 用 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 研研 的 熱 點(diǎn) 題 型 為 證 明 題 抓 住 幾 何 本 質(zhì) ， 是 學(xué) 好 和 用 好 微 分 中 值 定 理 的 關(guān) 鍵 二 、 本 章 基 本 內(nèi) 容 費(fèi) 馬 定 理 ； 中 值 定 理 的 三 種 形 式 ； 應(yīng) 用 ： 洛 必 達(dá) 法 則 （ 求 極 限 的 第 八 種 方 法 ， 本 論 的 第 一 種 ） ； 導(dǎo) 數(shù) 的 極 限 定 理 （ 用 于 分 段 函 數(shù) 求 導(dǎo) 數(shù) ） ； 導(dǎo) 數(shù) 的 介 值 定 理 （ 達(dá) 布 定 理

60、） ； 利 用 中 值 定 理 證 明 不 等 式 ； 泰 勒 公 式 （ 求 極 限 的 第 九 種 方 法 ， 本 論 的 第 二 種 ） 三 、 本 章 要 點(diǎn) 精 講 要 點(diǎn) ： 費(fèi) 馬 定 理 究函數(shù)幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)， 是考設(shè) 函 數(shù) 在 的 某 鄰 域 上 有 定 義 ， 且 在 可 導(dǎo) 若 點(diǎn) 為要 點(diǎn) ： 中 值 定 理 羅 爾 中 值 定 理 若 函 數(shù) 滿 足 如 下 條 件 ： 的 極 值 點(diǎn) ， 則 必 有 （ ） （ ）（ ） 在 閉 區(qū) 間 ， 上 連 續(xù) ； 在 （ ， ） 上 可 導(dǎo) ；（ ）（ ） （ ） ；則 在 （ ， ） 上 至 少 存 在 一 點(diǎn) ， 使