理論力學(xué)第六

1、第六章：分析力學(xué)16.1 約束 自由度和廣義坐標(biāo)力學(xué)系統(tǒng)：由相互作用著的質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的系統(tǒng)，或稱為力學(xué)體系或體系位形：力學(xué)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置狀態(tài)稱為力學(xué)系的位形。包含 n 個質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)系位形需要 3n 個坐標(biāo)參量來確定2約束：在一個力學(xué)體系中，如若存在一些限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件，則這些限制條件稱為約束（其表現(xiàn)為在運(yùn)動過程中各質(zhì)點(diǎn)位置和速度必須滿足一定的關(guān)系）力學(xué)體系的約束可以表示為約束方程3若約束只是限制各質(zhì)點(diǎn)的幾何位置，則稱為幾何約束若約束方程中還包含有速度變量，則稱這種約束為微分約束4例如：a)長為 l 的剛性輕桿，一端被光滑鉸鏈懸掛在 o 點(diǎn)，另一端與小球連接組成球面擺，在直角坐標(biāo)系小球約束

2、方程為b)半徑為 R 的車輪沿水平直線軌道無滑滾動，由于接觸點(diǎn)速度為零，則約束方程為5不隨時間變化的約束稱為為穩(wěn)定約束若約束明顯地隨時間變化，則稱為不穩(wěn)定約束6對于完整系，確定系統(tǒng)位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該系統(tǒng)的自由度對于具有n個質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系，若存在k個約束方程，則確定體系位形變化的3n個坐標(biāo)參量中有s=3n-k個參量可以獨(dú)立變化，其中 s 稱為體系的自由度自由度為4！7廣義坐標(biāo)： 在給定的約束條件下能完全確定系統(tǒng)位置的一組獨(dú)立變量稱為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)對于一個給定的系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目是一定的，但廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的！8廣義坐標(biāo)的表示：廣義坐標(biāo)一般用符號 q 表示，如果系統(tǒng)有s個自

3、由度，就需要 s 個廣義坐標(biāo)，稱為拉格朗日廣義坐標(biāo)或力學(xué)體系中每個質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，其變換關(guān)系稱為坐標(biāo)變換方程9如果選用 作為廣義坐標(biāo)則坐標(biāo)變換方程為：廣義坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)稱為與該廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義速度：系統(tǒng)狀態(tài)由廣義坐標(biāo)和廣義速度共同描述106.2 虛功原理（一）實(shí)位移和虛位移質(zhì)點(diǎn)在真實(shí)運(yùn)動中的位移稱為實(shí)位移，是由真實(shí)運(yùn)動產(chǎn)生，與一定的時間相對應(yīng)，由動力學(xué)方程、初始條件和約束方程確定。在時間dt之內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移只有一個。11質(zhì)點(diǎn)在滿足當(dāng)時約束條件下一切可能的無限小位移，稱為該時刻質(zhì)點(diǎn)的虛位移質(zhì)點(diǎn)的虛位移用 表示稱為坐標(biāo)的變分，與微分運(yùn)算規(guī)則完全一致， ， ，為 沿坐

4、標(biāo)軸方向的投影，12虛位移和實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系虛位移和實(shí)位移都必須滿足約束條件！虛位移是在時間沒有變化，即dt=0時所設(shè)想的位移，并不曾發(fā)生，有無窮多個可能性；而實(shí)位移則是在dt0時間內(nèi)發(fā)生的真實(shí)位移13（二）理想約束和虛功原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F與質(zhì)點(diǎn)任一虛位移 的標(biāo)積，稱為此力在虛位移中的虛功虛功具有功（或能量）的量綱，但沒有能量轉(zhuǎn)化過程與之聯(lián)系。對于處于平衡狀態(tài)的體系，作用在各質(zhì)點(diǎn)上的力（主動力和約束力）所做的虛功之和為014若體系中各個約束力所做的虛功之和等于零，則這種約束稱為理想約束光滑曲面、曲線、光滑鉸鏈均為理想約束，受這些約束的質(zhì)點(diǎn)，約束力恒與相應(yīng)的虛位移垂直!如兩個質(zhì)點(diǎn)（研究對象

5、）被不可伸長的輕繩、或剛性桿連接的約束；兩個剛體表面光滑相互接觸，或無滑相互接觸的約束，固定點(diǎn)約束等。15虛功原理：受理想約束的力學(xué)系統(tǒng)，保持平衡的必要條件是作用于該系統(tǒng)的全部主動力在任意虛位移中的虛功之和為零16在直角坐標(biāo)系Oxyz中有虛功原理是分析力學(xué)中解決靜力學(xué)問題的基本原理，提供了解決各類力學(xué)體系（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體等）靜力學(xué)問題的統(tǒng)一方法，有很大的普適性對虛功原理不是用靜止的觀點(diǎn)去解決靜力學(xué)問題，而是采用變動的觀點(diǎn)，在變動（虛位移）中尋找平衡的條件17虛功原理與牛頓力學(xué)不同，分析力學(xué)的方法不是將注意力放在區(qū)分內(nèi)力和外力上，而是放在區(qū)分主動力和約束力上。虛功原理只涉及到主動力（外力和內(nèi)

6、力中的），而未知的約束力不會在虛功原理中出現(xiàn)。這是此原理的突出優(yōu)點(diǎn)。對虛功原理中所說的主動力所做虛功之和為零，是對任意的虛位移而言的，不是針對特殊的虛位移。18（三）虛功原理的廣義坐標(biāo)表述和廣義力則質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)變量的虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移之間的存在關(guān)系19代入虛功原理的表達(dá)式可得可寫為20其中稱為廣義力在方向 上的分量，所有這些力的分量構(gòu)成的總體 則是作用在體系上的廣義力根據(jù)廣義平衡方程21由于廣義坐標(biāo)是描寫力學(xué)體系位形的獨(dú)立參量，因此他們的虛位移變更也都分別相互獨(dú)立，則虛功原理的廣義坐標(biāo)表述的物理意義為：體系處于平衡時廣義力的各分量均為零（體系靜平衡的廣義平衡方程）從上述s個體系的平衡方程可以解

7、得體系處于平衡位形時未知的主動力！22例題課本176，例題6.1，例題6.2236.3 從牛頓力學(xué)到拉格朗日方程（一）達(dá)朗貝爾原理研究n個質(zhì)點(diǎn)組成的體系，每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動都服從牛頓定律：24意義：如果把 當(dāng)作作用在質(zhì)點(diǎn)上的力看待，那么任何瞬時作用在體系中任意質(zhì)點(diǎn)i上的主動力 ，約束力，和力 總是平衡的，質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)方程，此平衡原則稱為達(dá)朗貝爾原理稱為逆效力或達(dá)朗貝爾慣性力以靜制動!25達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程根據(jù)虛功原理，體系的靜平衡條件為：只考慮理想約束體系：得到在理想約束下，運(yùn)動的每一瞬間系統(tǒng)所受主動力和逆效力的虛功之和為零26基本形式的拉格朗日方程考慮n個質(zhì)點(diǎn)組成的自由度為s

8、的體系：先證明下述兩個恒等式27將坐標(biāo)變分代入虛功原理得到定義廣義力28由于s 個廣義坐標(biāo)的變分各自獨(dú)立，得到29受理想約束的拉格朗日方程30有勢系的拉格朗日方程對于有勢體系，廣義力為則拉格朗日方程變?yōu)?1移項(xiàng)整理得把 定義為拉格朗日函數(shù)，則拉格朗日方程變?yōu)槭芾硐爰s束的有勢系的拉格朗日方程32循環(huán)坐標(biāo)和廣義動量積分拉格朗日函數(shù)對廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)，稱為力學(xué)系的廣義動量若廣義坐標(biāo) 為線坐標(biāo)，則 是線動量若廣義坐標(biāo) 為角坐標(biāo)，則 是角動量若某一廣義坐標(biāo) 在拉格朗日函數(shù)中不出現(xiàn)，則有33根據(jù)拉格朗日方程可得則其所對應(yīng)的第一積分為在體系的拉格朗日函數(shù) L內(nèi)不出現(xiàn)的廣義坐標(biāo)，稱為該體系的循環(huán)坐標(biāo)，其所對應(yīng)

9、的第一積分為該循環(huán)坐標(biāo)的廣義動量積分346.4 拉格朗日方程的應(yīng)用例題6.4：體現(xiàn)了拉格朗日方程在力學(xué)體系的運(yùn)動時的優(yōu)勢35例題：一半徑為r，質(zhì)量為m 的小圓柱體沿一固定的半徑為R 的圓柱面內(nèi)表面做純滾動，用拉格朗日方程求圓柱體在其平衡位置（最低點(diǎn)）附近做微振動的周期。366.6 哈密頓函數(shù)和正則方程n個質(zhì)點(diǎn)組成的自由度為s的力學(xué)體系：稱為哈密頓函數(shù)(或哈密頓量)，是廣義坐標(biāo)和廣義動量的函數(shù)。37在穩(wěn)定約束下，動能是廣義速度的二次齊次函數(shù)對于僅有兩個廣義坐標(biāo)的系統(tǒng)：38則可得：同理，對于具有s個廣義坐標(biāo)的力學(xué)體系有39在穩(wěn)定約束情形下，哈密頓函數(shù)就是力學(xué)系的總機(jī)械能函數(shù)系統(tǒng)的動能為廣義速度的二

10、次齊次函數(shù)時，哈密頓函數(shù)變?yōu)?0對于不穩(wěn)定約束系統(tǒng)：41考察在無限小時間變化內(nèi)哈密頓函數(shù)的改變：42拉格朗日函數(shù)是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時間的函數(shù)：(1)(2)(3)43將(2)代入(3)得：(4)(5)對比（4）和（5）兩式可得到下述方程組44稱為哈密頓正則方程，其為力學(xué)系的運(yùn)動方程，廣義坐標(biāo)和廣義動量則稱為力學(xué)系的正則變量.45例題：半徑為r質(zhì)量為M的均質(zhì)圓盤,其盤心C處系一細(xì)繩并繞過滑輪O，繩的另一端系一質(zhì)量為m的重物，圓盤在水平面上作純滾動，不計(jì)滑輪質(zhì)量。試用哈密頓正則方程求盤心的加速度及盤沿與地面的摩擦力（初始時刻m在O點(diǎn)處）。46解：體系的自由度為1，選取 為廣義坐標(biāo)，設(shè)圓盤做純滾動的角速度為體系的動能為47以O(shè)點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則體系的勢能為則體系的拉格朗日函數(shù)為48則體系的哈密頓量為(1)(2)49代入正則方程有將(2)代入（1），得50得到體系的運(yùn)動學(xué)方