離散型隨機變量分布

1、關(guān)于離散型隨機變量的分布第一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 二項分布一、二項分布的定義P98(Binomial Distribution)二項分布是從著名的貝努里實驗中推導(dǎo)出來的。所謂貝努里實驗是指只有兩種可能結(jié)果的隨機實驗。二項分布是一種應(yīng)用非常廣泛，也非常重要的一種分布。第二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月我們以投硬幣為例，投一次硬幣，只有兩種結(jié)果，正面朝上或反面朝上，單次實驗就形成一個二點分布；正面朝上的次數(shù)取值只有兩個，要么1次，要么0次；我們這樣來表達：P(X=1)=p，P(X=0)=q接下來，我們來四次擲幣，每次拋幣都不會影響下一次拋幣的結(jié)果，所以是獨立

2、實驗；正面朝上的次數(shù)這個隨機變量的取值就不會只是兩個，而是會有41個取值。即：正面出現(xiàn)0次和1、2、3、4次。我們用小p來表示正面朝上的概率，用q來表示反面朝上的概率，我們把X的取值相應(yīng)寫成：X=0, X=1, X=2, X=3, X=4 ，來求這個隨機變量X的概率分布。第三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（1）X=0時，P(X0)1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/160.0625（2） X=1時，P(X=1)=p*q*q*q*4= =1/40.25（3） X=2時，P(X=2)=p*p*q*q*6= =6/160.375（4）X=3時，P(X=3)=p*p*p*q

3、*4= =1/40.25（5） X=4時，P(X=4)=p*p*p*p= =1/160.0625第四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月我們推廣到n次，則可以寫出一般性的二項分布的概率分布公式： (X共有n+1個取值)第五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二項分布的定義如果在相同條件下進行n次獨立試驗，每次試驗只有2種可能的結(jié)果，事件A出現(xiàn)的概率P(A)=p, 事件A不出現(xiàn)的概率P( )=q,那么，n次試驗中事件A出現(xiàn)次數(shù)（隨機變量X）的概率分布為： x=(0,1,2,.n) ，可以簡寫為：B(n，p)(Binomial Distribution)，其中n為獨立試驗次數(shù)，p為每次

4、試驗中A出現(xiàn)的概率。第六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由于pq1，所以只要知道了n和p，該二項分布就已經(jīng)被確定。我們可以不用計算，而是通過查表的方法非常方便的了解隨機變量的概率分布的全貌。二項分布表的用法。第七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機變量取值在某一區(qū)間內(nèi)的概率：（1）事件A至多（最多）出現(xiàn)m的概率：（2）事件A至少出現(xiàn)m次概率：（3）事件A出現(xiàn)次數(shù)不少于a，不大于b的概率為：（4）事件A出現(xiàn)的全部概率之和：第八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二項分布的討論（1）二項分布是離散型隨機變量的分布。X的取值有n+1個。（2）二項分布的圖形當(dāng)p=0.5時

5、是對稱的；當(dāng)p0.5時則是非對稱的。但是當(dāng)n越大的時候，越趨向于對稱。（3）二項分布的特征值：（4）二項分布由概率p和實驗次數(shù)n兩個參數(shù)決定，也可以簡單記為B(n，p)。（5）二項分布的概率值即可以通過公式計算，也可以通過查表求得。（6）二項分布的特點是，已經(jīng)知道兩種結(jié)果發(fā)生的概率，實際上對總體的情況已經(jīng)有所了解。這是求抽樣時（任何樣本量下）每得到一個樣本個體的概率。第九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】根據(jù)生命表，年齡為60歲的人，可望活到下年的概率是0.95。設(shè)某單位年齡為60歲的人共有10人，問：（1）其中9人活到下年的概率為多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？解：

6、任選一人能否活到下一年與他人無關(guān)，因此是獨立事件。因為只有兩種結(jié)果，所以符合二項分布。n=10，p=0.95第十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例2】一場火星文的考試，共10道單項選擇題（五選一），你隨機猜測答案。試問：（1）能夠及格的概率是多少？（2）一道也答不對的概率是多少？（3）答對13道的概率是多少？（4）答對的期望值和方差。解：由題意得，p=0.2， n=10，第十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗，你在5點半到5點40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90。一個星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時等車都不會超過10分鐘概率時多少？

7、至少有2天等車會超過10分鐘的概率是多少？求期望值和方差?！揪毩?xí)2】設(shè)離散型隨機變量 ，概率 ，求：（1）參數(shù)p值； （2）概率P(X=2) ；（3）數(shù)學(xué)期望 ；（4）方差【例3】某人在每天上班途中要經(jīng)過3個設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標準差。第十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗，你在5點半到5點40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90。一個星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時等車都不會超過10分鐘概率時多少？至少有2天等車會超過10

8、分鐘的概率是多少？求期望值和方差。第十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 超幾何分布（Hypergeometric distribution）一、超幾何分布二項分布的適用有一個非常重要的條件，那就是獨立實驗，只有在大群體的情況下，這種獨立實驗的要求才能近似的得到滿足。但如果研究對象不是社區(qū)、大群體，而是一個小群體，比如是一個班組或者一個科室等等，這時總體不大，一般最多只有幾十個人。假定總體分為兩類A和非A，如果這是從總體中抽取n名，那么每個抽取對象出現(xiàn)A類的概率將不再恒定，也就是不滿足二項分布所要求的獨立實驗的條件。超幾何分布將適

9、合這類小群體研究。第十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例1】設(shè)小組共有10名成員，7男3女。任抽3名，問其中男性的概率分布?！窘狻扛鶕?jù)題意有N10 男7 女3 n3第十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月超幾何分布定義定義：總體性質(zhì)共分兩類：A類與非A類?？傮w總數(shù)為N，A類K個，設(shè)從總體中任抽n個（nN-K），則n中含有A類個數(shù)X的概率分布為：注意：（1）為什么是nN-K？ （2）X的取值是n+1或者K1，取小的那個。第十七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差：如果用p=K/N q=1-p，則有：第十八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于202

10、2年6月【例1】以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性人數(shù)的概率分布，期望值和變異數(shù)。第十九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【練習(xí)1】班里學(xué)生30名,兄弟民族有13名,問任抽5名,抽中兄弟民族人數(shù)的概率分布。解：由題意得：N=30 ，K=13， n=5 ，X有6個取值，代入超幾何分布公式：第二十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、超幾何分布與二項分布的關(guān)系超幾何分布適合小群體研究，但如果群體規(guī)模逐漸增大，以致抽樣個體間的改變可以忽略不計，這時也可以采用二項分布來討論。且兩種分布計算的結(jié)果應(yīng)該是逐漸的接近。數(shù)學(xué)上也可以證明，當(dāng)N很大（N）時超幾

11、何分布將趨向于二項分布。第二十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 泊松分布（Poisson Distribution）一、泊松分布泊松分布是由法國數(shù)學(xué)家泊松Simeon Denis Poisson提出的，Poisson對于小概率事件特別著迷，特別是許多情況下可能出現(xiàn)的事件。他研究了在那個騎兵仍舊騎馬而不是用坦克的時代里普魯士士兵被馬踢死的人數(shù)的數(shù)據(jù)。他的成果發(fā)表于1837年。第二十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月泊松利用二項分布的公式推導(dǎo)出泊松分布的公式：x0，1，2，。 (e=2.718)泊松分布只有一個參數(shù)，確定了，就確定了泊松分布。第二十三張，PPT共二十八頁

12、，創(chuàng)作于2022年6月二、泊松分布的性質(zhì)（1）泊松分布隨機變量X的取值為0和一切正整數(shù)。比如被馬踢死了幾個人。（2）泊松分布圖形是非對稱的，但是隨著的增大，圖形將變得接近對稱。（3）泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)= D(X)= 泊松分布的這個性質(zhì)很重要，在N較大，p較小的情況下，我們只要確定了X的期望值（出現(xiàn)概率最大的那個值）實際上就是,這時就可以確定這個隨機變量的分布了。第二十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】見張彥教材P131，發(fā)生在18751894年普魯士軍隊中，10個師團被馬踢死士兵的事故記錄如下表。試與泊松理論分布相比較。分析：要了解泊松分布的理論分布，必須要知道參數(shù)，根據(jù)泊松分布的非常重要的性質(zhì)= E(X) =D(X) ，如果我們知道了數(shù)學(xué)期望或者方差就可以知道了。第二十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】已知任抽一張卡片，上面的錯字數(shù)服從泊松分布?，F(xiàn)在有1000張卡片，一共有錯字300個，求所抽卡片上錯字數(shù)的概率分布?！窘狻縓一張卡片上的錯字數(shù)，x=0,1,2,.300，= E(X), 平均每張卡片上出現(xiàn)的錯字數(shù)實際上是X的期望值，E(X)=0.3介紹表的查法，VERY TRICKY!這個表中的X實際上指的是“至少X”第二十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、二項分布和泊松分布的關(guān)系泊松發(fā)現(xiàn)，