線性代數(shù)方程組解法

1、關(guān)于線性代數(shù)方程組的解法第一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5 向量和矩陣的范數(shù)一、 向量范數(shù)（/*Vector Norm*/）設(shè) 是 的一個映射，若對存在唯一實數(shù) 與之對應(yīng)，且滿足非負(fù)性：齊次性：三角不等性：且則稱 為 中向量 的范數(shù)。非負(fù)實值函數(shù) 稱為賦范線性空間第二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月常用的幾種向量范數(shù)：設(shè) 1-范數(shù)： 2-范數(shù)： -范數(shù)：上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P-范數(shù)(或者Holder范數(shù))第三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：設(shè) 是n階實對稱正定矩陣，則是 中的一種向量范數(shù)。證明：只需驗證范數(shù)的3個條件成立即可。 非負(fù)性： 齊次性： 三角

2、不等性：存在非奇異下三角陣第四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月向量范數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1證明：同理性質(zhì)2的所有向量范數(shù)是彼此等價的。第五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（等價性/*Equivalence Property*/）設(shè) 和 是 上定義的兩種范數(shù)，如果存在正數(shù)滿足則稱 和 是 上等價的向量范數(shù)。這個性質(zhì)說明， 中的一切范數(shù)都是等價的。第六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月等價性質(zhì)舉例：第七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 矩陣范數(shù)（/*Matrix Norm*/）非負(fù)性：齊次性：三角不等性：且則稱 為 中矩陣 的范數(shù)。 賦范線性空間設(shè) 是 的一個映

3、射，若對存在唯一實數(shù) 與之對應(yīng)，且滿足第八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月其中稱之為矩陣 的跡是 的特征值設(shè) 是 上的范數(shù)， 是 上的范數(shù)如果對 滿足則稱上述矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。Def4第九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月從屬性（/*Subordination*/）設(shè)矩陣范數(shù) 與向量范數(shù) 相容，且對每一個都存在一個非零向量 滿足則稱 是從屬于向量范數(shù) 的矩陣范數(shù)。以后若不特別聲明，所用范數(shù)均滿足相容性和從屬性第十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月對于 中的每一種向量范數(shù) ， 中 至少存在一種從屬于它的矩陣范數(shù)：Def 6稱為矩陣A的算子范數(shù)。第十一張，PPT共二

4、十六頁，創(chuàng)作于2022年6月上述定義中分別取向量的1、2、 范數(shù)從而得到常用的3種分別從屬于它們的矩陣范數(shù)：列范數(shù)：記行范數(shù)：譜范數(shù)：其中 是 的最大特征值譜半徑第十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3：給定矩陣求矩陣 的1、2、 范數(shù)。若 是實對稱矩陣，則矩陣 的特征值為第十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、方程組的性態(tài)和條件數(shù) 由實際問題得到的方程組的系數(shù)矩陣或者常數(shù)向量的元素，本身會存在一定的誤差；這些初始數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中就會向前傳播，從而影響到方程組的解。初始數(shù)據(jù)誤差和方程組的近似解的誤差之間關(guān)系例12 考

5、察方程組：精確解為第十五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)方程組存在擾動精確解為上例說明該方程組的解對初始元素的擾動非常敏感。設(shè)方程組為系數(shù)矩陣 和常數(shù)向量 的擾動分別記為： 和實際求解的方程組為第十六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月反之，如果 和 微小時， 也微小，則稱方程組 為良態(tài)(/*Well-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣 為關(guān)于求解方程組良態(tài)矩陣。 病態(tài)方程組對任何算法都將產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性 如果 和 很小，而 很大，則稱方程組 為病態(tài)(/*ill-conditioned*/)方程組，稱系數(shù)矩陣 為關(guān)于求解方程組病態(tài)矩陣；7第十七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若矩陣范數(shù)取2-范數(shù)，則得到譜條件數(shù)：若矩陣范數(shù)取1-范數(shù)，則得到1-條件數(shù)：若矩陣范數(shù)取 -范數(shù)，則得到 -條件數(shù)： 設(shè) 為可逆陣， 為一種從屬矩陣范數(shù)，則稱 為矩陣 的條件數(shù) 8第十八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例 5第二十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共二十六頁，