高中物理必修二第五章 專題強(qiáng)化 小船渡河與關(guān)聯(lián)速度問題

1、專題強(qiáng)化小船渡河與關(guān)聯(lián)速度問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用運(yùn)動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題和關(guān)聯(lián)速度問題.2.建立兩種模型的一般分析思路和解法.一、小船渡河問題1.運(yùn)動分析小船渡河時，同時參與了兩個分運(yùn)動：一個是船相對水的運(yùn)動(即船在靜水中的運(yùn)動)，一個是船隨水漂流的運(yùn)動.2.兩類常見問題(1)渡河時間問題渡河時間t取決于河岸的寬度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即teq f(d,v).若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可，如圖1所示，此時teq f(d,v船).圖1(2)最短位移問題若v水v船，如圖乙所示，從出發(fā)點(diǎn)A開始作矢量v水，再以v水末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，自出

2、發(fā)點(diǎn)A向圓弧作切線即為船位移最小時的合運(yùn)動的方向.這時船頭與河岸夾角滿足cos eq f(v船,v水)，最短位移x短eq f(d,cos ).(多選)(2019宜賓市高一質(zhì)檢)如圖3所示為長江一段平行江道，一輪船的船頭始終垂直指向江岸方向，輪船在靜水中運(yùn)動的速度保持不變，水勻速流動(假設(shè)整個江道水流速度相同)，下列說法正確的是()圖3A.水流速度越大，輪船行駛位移越大B.水流速度增大，輪船行駛位移不變C.水流速度越大，過江時間越短D.水流速度增大，過江時間不變答案AD解析因為船垂直于江岸方向的速度不變，而水流方向是垂直于這個方向的，在這個方向上沒有分速度，設(shè)江道寬為d，船垂直于江岸的速度為v，

3、teq f(d,v)，所以不論水速多大，船過江時間不變，故C錯誤，D正確.若水速越大，相同時間內(nèi)沿水速方向的位移就越大，船在水中運(yùn)動的總位移也就越大，故B錯誤，A正確.已知某船在靜水中的速度為v15 m/s，現(xiàn)讓船渡過某條河，假設(shè)這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d100 m，水流速度為v23 m/s，方向與河岸平行，(1)欲使船以最短時間渡河，渡河所用時間是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用時間是多少？(3)若水流速度為v26 m/s，船在靜水中的速度為v15 m/s不變，船能否垂直河岸渡河？答案(1)20 s20eq r(34) m(2)25 s(3)不能解析(1

4、)由題意知，當(dāng)船在垂直于河岸方向上的分速度最大時，渡河所用時間最短，河水流速平行于河岸，不影響渡河時間，所以當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時，所用時間最短，最短時間為teq f(d,v1)eq f(100,5) s20 s.如圖甲所示，當(dāng)船到達(dá)對岸時，船沿平行于河岸方向也發(fā)生了位移，由幾何知識可得，船的位移為leq r(d2x2)，由題意可得xv2t320 m60 m，代入得l20eq r(34) m.(2)當(dāng)船的實(shí)際速度方向垂直于河岸時，船的位移最小，因船在靜水中的速度為v15 m/s，大于水流速度v23 m/s，故可以使船的實(shí)際速度方向垂直于河岸.如圖乙所示，設(shè)船斜指向上游河對岸，且與河岸所成夾角為

5、，則有v1cos v2，cos eq f(v2,v1)0.6，則sin eq r(1cos2 )0.8，船的實(shí)際速度vv1sin 50.8 m/s4 m/s，所用的時間為teq f(d,v)eq f(100,4) s25 s.(3)當(dāng)水流速度v26 m/s時，則水流速度大于船在靜水中的速度v15 m/s，不論v1方向如何，其合速度方向總是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.1.要使船垂直于河岸橫渡，即路程最短，應(yīng)使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，這種情況只適用于v船v水時.2.要使船渡河時間最短，船頭應(yīng)垂直指向河對岸，即v船與水流方向垂直.3.要區(qū)別船速v船及船的合運(yùn)動速度v合，前者是發(fā)

6、動機(jī)(或劃行)產(chǎn)生的分速度，后者是合速度.針對訓(xùn)練1(2018瀘州市高一檢測)一艘船的船頭始終正對河岸方向行駛，如圖4所示.已知船在靜水中行駛的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d.則下列判斷正確的是()圖4A.船渡河時間為eq f(d,v2)B.船渡河時間為eq f(d,r(voal( 2,1)voal( 2,2)C.船渡河過程被沖到下游的距離為eq f(v2,v1)dD.船渡河過程被沖到下游的距離為eq f(v2,r(voal( 2,1)voal( 2,2)d答案C解析小船正對河岸運(yùn)動，渡河時間最短，teq f(d,v1)，沿河岸運(yùn)動的位移s2v2teq f(v2,v1)d，故A、B、D錯

7、誤，C正確.二、關(guān)聯(lián)速度問題關(guān)聯(lián)速度分解問題是指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題(下面為了方便，統(tǒng)一說“繩”)：(1)物體的實(shí)際速度一定是合速度，分解時兩個分速度方向應(yīng)取沿繩方向和垂直繩方向.(2)由于繩不可伸長，一根繩兩端物體沿繩方向的速度分量大小相等.(3)常見的速度分解模型(如圖5)圖5(多選)如圖6所示，人在岸上用跨過定滑輪的繩子拉船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為Ff，當(dāng)輕繩與水面的夾角為時，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時()圖6A.人拉繩行走的速度大小為vcos B.人拉繩行走的速度大小為eq f(v,cos )C.船的加速度大小為eq f(Fcos Ff,m)D.船的

8、加速度大小為eq f(FFf,m)答案AC解析船的運(yùn)動產(chǎn)生了兩個效果：一是使滑輪與船間的繩縮短，二是使滑輪與船間的繩偏轉(zhuǎn)，因此將船的速度按如圖所示(沿繩方向與垂直于繩方向)方式進(jìn)行分解，人拉繩行走的速度大小v人vvcos ，選項A正確，B錯誤；繩對船的拉力大小等于人拉繩的力的大小，即繩的拉力大小為F，與水平方向成角，因此Fcos Ffma，解得aeq f(Fcos Ff,m)，選項C正確，D錯誤.針對訓(xùn)練2(2019鶴壁市期末)如圖7所示，物體A套在豎直桿上，經(jīng)細(xì)繩通過定滑輪拉動物體B在水平面上運(yùn)動，開始時A、B間的細(xì)繩呈水平狀態(tài)，現(xiàn)由計算機(jī)控制物體A的運(yùn)動，使其恰好以速度v沿桿勻速下滑(B始

9、終未與滑輪相碰)，則()圖7A.繩與桿的夾角為時，B的速率為vsin B.繩與桿的夾角為時，B的速率為vcos C.物體B也做勻速直線運(yùn)動D.物體B做勻加速直線運(yùn)動答案B解析如圖所示，將A物體的速度按圖示兩個方向分解，繩子速率v繩vvcos ；而繩子速率等于物體B的速率，則物體B的速率vBv繩vcos ，故A錯誤，B正確；因物體A向下運(yùn)動的過程中減小，則cos 增大，vB增大，B物體加速運(yùn)動，但不是勻加速運(yùn)動，故C、D錯誤.1.(小船渡河模型)(多選)下列圖中實(shí)線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實(shí)際航線.則其中可能正確的是()答案AB解析小船渡河的運(yùn)動可

10、看成水流的運(yùn)動和小船運(yùn)動的合運(yùn)動.虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實(shí)際航線，即合速度的方向，小船合運(yùn)動的速度方向就是其實(shí)際運(yùn)動的方向，分析可知，實(shí)際航線可能正確的是A、B.2.(小船渡河模型)(多選)河水的流速與某河岸的距離的變化關(guān)系如圖8甲所示，船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖乙所示.若要使船以最短時間渡河，下列說法正確的是()圖8A.船渡河的最短時間為100 sB.船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C.船在河中航行的軌跡是一條直線D.船在河水中的最大速度為7 m/s答案AB解析由運(yùn)動的獨(dú)立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河時間越短，即船頭始終與河岸垂直，航行時所用時間最短，tmineq f(

11、d,v船)100 s，選項A、B正確；由題圖甲可知，水流速度在變化，船的合速度大小及方向均會隨位置發(fā)生變化，因此軌跡不是直線，選項C錯誤；船在靜水中的速度與水流速度方向垂直，水流速度最大值為4 m/s，則船在河水中的最大速度為5 m/s，選項D錯誤.3.(關(guān)聯(lián)速度模型)(多選)如圖9所示，一人以恒定速度v0通過光滑輕質(zhì)定滑輪豎直向下拉繩使小車在水平面上運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動到繩與水平方向成45角時()圖9A.小車運(yùn)動的速度為eq f(1,2)v0B.小車運(yùn)動的速度為eq r(2)v0C.小車在水平面上做加速運(yùn)動D.小車在水平面上做減速運(yùn)動答案BC解析將小車速度沿繩方向與垂直繩方向進(jìn)行分解，如圖所示人拉繩

12、的速度與小車沿繩方向的分速度大小是相等的，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系vcos 45v0，則veq f(v0,cos 45)eq r(2)v0，B正確，A錯誤；隨著小車向左運(yùn)動，繩與水平方向的夾角越來越大，設(shè)夾角為，由veq f(v0,cos )知，v越來越大，則小車在水平面上做加速運(yùn)動，C正確，D錯誤.4.(關(guān)聯(lián)速度模型)(2019泉港一中高一下學(xué)期期末)如圖10所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨過定滑輪的長繩拴住一條小船，開始時繩與水面的夾角為30.人以恒定的速率v3 m/s拉繩，使小船靠岸，那么()圖10A.5 s時繩與水面的夾角為60B.5 s時小船前進(jìn)了15 mC.5 s時小船的速率為5 m

13、/sD.5 s時小船到岸邊距離為10 m答案C解析5 s內(nèi)人前進(jìn)的距離svt35 m15 m，滑輪至船的距離leq f(h,sin 30)15 m25 m，設(shè)5 s時拉船的繩與水平方向夾角為，則sin eq f(20,25)eq f(4,5)，由此可知，53，cos eq f(v,v船)，故v船5 m/s，小船到岸邊的距離s20tan 37 m15 m，則5 s時小船前進(jìn)的距離為s1eq f(h,tan 30)s(20eq r(3)15) m，故A、B、D錯誤，C正確.一、選擇題題型一小船渡河模型1.小船船頭指向?qū)Π?，以相對于靜水的恒定速率向?qū)Π秳澣ィ?dāng)水流勻速時，它渡河的時間、發(fā)生的位移與水

14、速的關(guān)系是()A.水速小時，位移小，時間也短B.水速大時，位移大，時間也長C.水速大時，位移大，但時間不變D.位移、時間大小與水速大小無關(guān)答案C解析小船渡河時參與了順?biāo)骱痛怪焙影稒M渡兩個分運(yùn)動，由運(yùn)動的獨(dú)立性和等時性知，小船的渡河時間決定于垂直河岸的分運(yùn)動，等于河的寬度與垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向?qū)Π秳澣?，故渡河時間一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之則合位移小.2.(多選)在河道寬度為d的河中，水流速度為v2，船在靜水中速度為v1(且v1v2)，方向可以選擇，現(xiàn)讓該船開始渡河，則該船()A.可能的最短渡河時間為eq f(d,v2)B.可能的最短渡河

15、位移為dC.只有當(dāng)船頭垂直河岸渡河時，渡河時間才和水流速度無關(guān)D.不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水流速度均無關(guān)答案BD解析當(dāng)船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，為eq f(d,v1)，故A錯誤；當(dāng)合速度與河岸垂直時，渡河位移最小為d，故B正確；將船的實(shí)際運(yùn)動沿垂直水流方向和水流方向分解，由于各個分運(yùn)動互不影響，因而渡河時間等于沿船頭方向的分運(yùn)動時間，為teq f(x1,v1)(x1為沿船頭指向的分位移)，顯然與水流速度無關(guān)，故C錯誤，D正確.3.(2019山西平遙中學(xué)高一下期中)在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2

16、，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d，若戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為()A.eq f(dv2,r(voal( 2,2)voal( 2,1) B.0C.eq f(dv1,v2) D.eq f(dv2,v1)答案C解析摩托艇登陸的最短時間teq f(d,v2)，登陸點(diǎn)到O點(diǎn)的距離sv1teq f(dv1,v2)，故選C.4.一只小船在靜水中的速度為v15 m/s，它要渡過一條寬為d50 m的河，河水流速為v24 m/s，則()A.這只船過河位移不可能為50 mB.這只船過河時間不可能為10 sC.若河水流速改變，船過河的最短時間一定不變D.若河水流速改變，船

17、過河的最短位移一定不變答案C解析當(dāng)船頭垂直指向河岸航行時，渡河時間最短，tmineq f(d,v1)eq f(50,5) s10 s，B錯誤；由于船在靜水中的速度大于河水流速，船的實(shí)際航向可以垂直河岸，即過河最短位移為sd50 m，A錯誤；根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性，渡河最短時間為10 s，與水速無關(guān)，C正確；若河水流速大于船在靜水中的速度，則船過河最短位移大小大于河寬，D錯誤.5.(2019廈門市高一下學(xué)期期末)某人劃小船橫渡一條兩岸平行的河流，船在靜水中的速度大小不變，船頭方向始終垂直于河岸，水流速度與河岸平行，已知小船的運(yùn)動軌跡如圖1所示，則()圖1A.各處水流速度大小都一樣B.離兩岸越近水流速度

18、越小C.離兩岸越近水流速度越大D.無論水流速度是否變化，這種渡河方式耗時最長答案B解析從軌跡曲線的彎曲形狀上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游的加速度，故加速度是變化的，水流是先加速后減速，即越接近河岸水流速度越小，故A、C錯誤，B正確；根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性，船身方向垂直于河岸，這種渡河方式耗時最短，故D錯誤.6.(多選)(2019山東省實(shí)驗中學(xué)高一下期中)如圖2，河水由西向東流，河寬為800 m，河中各點(diǎn)的水流速度大小為v水，各點(diǎn)到較近河岸的距離為x，v水與x的關(guān)系為v水eq f(3,400)x(m/s)，讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船在靜水中的速度大小恒為v船4 m/s

19、，下列說法正確的是()圖2A.小船渡河的軌跡為直線B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船渡河的時間是200 sD.小船在距南岸200 m處的速度小于距北岸200 m處的速度答案BC解析小船在垂直河岸方向上做勻速直線運(yùn)動，在沿河岸方向上做變速運(yùn)動，合加速度的方向與合速度方向不在同一條直線上，做曲線運(yùn)動，選項A錯誤；當(dāng)小船行駛到河中央時水流速度最大，v水eq f(3,400)400 m/s3 m/s，那么小船在河水中的最大速度vmaxeq r(3242) m/s5 m/s，選項B正確；小船船頭垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的時間是teq f(d,v船)eq f(800,4) s200

20、s，選項C正確；在距南岸200 m處的河水速度大小與距北岸200 m處的河水速度大小相等，根據(jù)矢量的合成法則，則兩種情況下小船的合速度大小相等，選項D錯誤.7.如圖3所示為一條河流，河水流速為v，一只船從A點(diǎn)先后兩次渡河到對岸，船在靜水中行駛的速度為v靜，第一次船頭向著AB方向行駛，渡河時間為t1，船的位移為s1；第二次船頭向著AC方向行駛，渡河時間為t2，船的位移為s2，若AB、AC與河岸垂線方向的夾角相等，則()圖3A.t1t2，s1s2 B.t1t2，s1s2C.t1t2，s1s2 D.t1t2，s1s2答案D解析因為AB、AC與河岸的垂線方向的夾角相等，則在垂直于河岸方向上的分速度相等

21、，渡河時間teq f(d,u)，所以兩次渡河時間相等.設(shè)AB、AC與河岸夾角為，船頭向著AB方向時，沿河岸方向的分速度v1v靜cos v，船頭向著AC方向行駛時，沿河岸方向的分速度v2|vv靜cos |v1，水平方向上的位移x1x2，根據(jù)平行四邊形定則，s1s2，故D正確，A、B、C錯誤.8.如圖4所示，一條小船位于200 m寬的河中央A點(diǎn)處，離A點(diǎn)距離為100eq r(3) m的下游處有一危險的急流區(qū)，當(dāng)時水流速度為4 m/s，為使小船避開危險區(qū)沿直線到達(dá)對岸，小船在靜止水中的速度至少為()圖4A.eq f(4r(3),3) m/s B.eq f(8r(3),3) m/sC.2 m/s D.

22、4 m/s答案C解析小船剛好避開危險區(qū)域時，小船合運(yùn)動方向與水流方向的夾角設(shè)為，則tan eq f(100,100r(3)eq f(r(3),3)，則30，當(dāng)船頭垂直合運(yùn)動方向渡河時，小船在靜水中的速度最小，在靜水中的最小速度vminv水sin 302 m/s，C正確.題型二關(guān)聯(lián)速度模型9.人用繩子通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉物體A，A穿在光滑的豎直桿上，當(dāng)以速度v0勻速地拉繩使物體A到達(dá)如圖5所示位置時，繩與豎直桿的夾角為，則物體A實(shí)際運(yùn)動的速度大小是()圖5A.v0sin B.eq f(v0, sin ) C.v0cos D.eq f(v0, cos )答案D解析由運(yùn)動的合成與分解可知，物體A參與

23、兩個分運(yùn)動：一個是沿著與它相連接的繩子的運(yùn)動，另一個是垂直于繩子斜向上的運(yùn)動.而物體A的實(shí)際運(yùn)動軌跡是沿著豎直桿向上的，這一軌跡所對應(yīng)的運(yùn)動就是物體A的合運(yùn)動，它們之間的關(guān)系如圖所示.由幾何關(guān)系可得veq f(v0, cos )，所以D正確.10.如圖6所示，某人用繩通過定滑輪拉小船，設(shè)人勻速拉繩的速度為v0，小船水平向左運(yùn)動，繩某時刻與水平方向夾角為，則小船的運(yùn)動性質(zhì)及此時刻小船的速度vx為()圖6A.小船做變加速運(yùn)動，vxeq f(v0,cos )B.小船做變加速運(yùn)動，vxv0cos C.小船做勻速直線運(yùn)動，vxeq f(v0,cos )D.小船做勻速直線運(yùn)動，vxv0cos 答案A11.

24、(2019康杰中學(xué)期中)如圖7所示，汽車用跨過定滑輪的輕繩提升物塊.汽車勻速向右運(yùn)動，在物塊到達(dá)滑輪之前，下列說法正確的是()圖7A.物塊將豎直向上做勻速運(yùn)動B.物塊將處于超重狀態(tài)C.物塊將處于失重狀態(tài)D.物塊將豎直向上先加速后減速答案B解析設(shè)汽車向右運(yùn)動的速度為v，繩子與水平方向的夾角為，物塊上升的速度為v，則vcos v，汽車勻速向右運(yùn)動，減小，v增大，物塊加速上升，A、D錯誤；物塊的加速度向上，處于超重狀態(tài)，B正確，C錯誤.12.(2019眉山高中下學(xué)期期末質(zhì)檢)如圖8所示，人用輕繩通過定滑輪拉穿在光滑豎直桿上的物塊A，人以速度v0向左勻速拉繩，某一時刻，繩與豎直桿的夾角為，與水平面的夾

25、角為，此時物塊A的速度v1為()圖8A.v1v0sin cos B.v1eq f(v0sin ,sin )C.v1v0cos cos D.v1eq f(v0cos ,cos )答案D解析人和A沿繩方向的分速度相等可得v0cos v1cos 所以v1eq f(v0cos ,cos ).13.如圖9所示， 一根長直輕桿AB在墻角沿豎直墻和水平地面滑動.當(dāng)AB桿和墻的夾角為時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2，則v1、v2的關(guān)系是()圖9A.v1v2B.v1v2cos C.v1v2tan D.v1v2sin 答案C解析將A端的速度沿桿方向和垂直于桿的方向分解，沿桿方向的分速度為v1v1cos ，將B端的速度沿桿方向和垂直于桿方向分解，沿桿方向的分速度v2v2sin .由于v1v2.所以v1v2tan ，故C正確，A、B、D錯誤