于細(xì)微之處見嚴(yán)謹(jǐn)

1、于細(xì)微之處見嚴(yán)謹(jǐn) 如何培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性摭談 【摘要】思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一.然而學(xué)生有時(shí)會想當(dāng)然地去考慮問題，把問題主觀化、簡單化，從而使問題的思考不嚴(yán)謹(jǐn).而這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S又直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，本文主要從混淆解題方向、相關(guān)的界定以及處理出了偏差、對概念的理解不準(zhǔn)確、忽視變形的等價(jià)性、考慮不到相關(guān)細(xì)節(jié)等幾個(gè)方面淺談對學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng).【關(guān)鍵詞】思維 細(xì)節(jié) 嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的根本特征，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一.然而，解題思維中的不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象在學(xué)生當(dāng)中常常出現(xiàn).根本原因是忽視知識的細(xì)微之處，想當(dāng)然地去考慮問題，把問

2、題主觀化、簡單化，這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，本文從以下幾個(gè)方面淺談培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免解題錯(cuò)誤，以作警覺.一、混淆解題方向而導(dǎo)致錯(cuò)誤或不能順利求解對問題把握不夠準(zhǔn)確，解題思路混亂，解題方向不明確，從而導(dǎo)致出現(xiàn)思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象.例1 已知且是大于0的常數(shù)， 的最小值為9， 則= 【思路一】以為本題考查三角函數(shù)的變形或化簡，想利用三角公式對函數(shù)解析式作變形，然后再求最值；【思路二】令變量=，通過換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值（用表示），再利用最小值為9，求得的值；【分析】這兩種想法看上去似乎都很合乎邏輯，但通過探究發(fā)現(xiàn)，第一種思路，走不下去，沒有辦法通

3、過變形轉(zhuǎn)化為可求最值的形式；第二種思路運(yùn)算量相當(dāng)復(fù)雜，并且極值點(diǎn)與參數(shù)有關(guān)，還需進(jìn)一步對參數(shù)做討論，一般同學(xué)是很難順利解決的. 【思路三】注意到等于常數(shù)1，所以可以考慮令，則問題轉(zhuǎn)化為：已知，的最小值為9， 求的值.這樣一來可以考慮利用基本不等式求解：因?yàn)?1+(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，由=9解得.二、（范圍）相關(guān)的對應(yīng)、界定以及處理出了偏差而導(dǎo)致錯(cuò)誤差之毫厘，謬以千里，范圍的變化，對應(yīng)的不準(zhǔn)確勢必導(dǎo)致問題的本意發(fā)生變化，從而得到錯(cuò)誤的解答.例2 【錯(cuò)解】 最容易形成的錯(cuò)解是： （）+（）：（）+（）4：.所以.【分析】 這樣的解法往往都使的變化范圍不精確（擴(kuò)大）.注意先使用、表示出來，再確定其范

4、圍.正解： ，令，則易得,從而，可得三、對概念的理解不準(zhǔn)確而導(dǎo)致錯(cuò)誤概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念，概念含糊不清是思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn)，也是解題出錯(cuò)的主要原因之一.例3 求函數(shù)f(x)= 的最小正周期 . 【錯(cuò)解】：， 所以f(x)的最小正周期是T=.【分析】：不妨取x=0時(shí)，則f(x+) 無意義，以上錯(cuò)誤原因，沒有考慮到原函數(shù)的定義域，誤認(rèn)為原函數(shù)與函數(shù)等價(jià)，實(shí)際上，由原函數(shù)得xk ，且xk= (kZ)，而由函數(shù)得，xk (kZ).顯然變形后擴(kuò)大了原函數(shù)的定義域，由圖象知原函數(shù)周期T=.四、忽視變形的等價(jià)性而導(dǎo)致錯(cuò)誤.利用化歸思想，將復(fù)雜的陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的問題，這是常用的解

5、題手段，但若不慎重，往往造成非等價(jià)的轉(zhuǎn)換，出現(xiàn)似是而非的假象.例4：設(shè)實(shí)數(shù)b，使曲線與直線有一解、兩解、無解，求b的取值范圍.【錯(cuò)解】：將與聯(lián)立方程組用代入法轉(zhuǎn)化為方程，據(jù)一元二次方程有實(shí)根的充要條件解得. 所以當(dāng)時(shí)方程組有一解，當(dāng)有兩解,當(dāng) 時(shí)無解.【剖析】：當(dāng)時(shí)直線與曲線就不會有公共點(diǎn)了.解題錯(cuò)誤在于認(rèn)為方程與原方程組等價(jià)，簡單應(yīng)用了判別式，因此便產(chǎn)生了錯(cuò)誤結(jié)論.正解：由得且， 因?yàn)?x的取值范圍受到限制故不應(yīng)用“”判別式，解決此類問題應(yīng)根據(jù)圖象.根據(jù)圖象可知：（1）時(shí)，方程有兩解，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).（2）方程組有一解，曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，方程組無解，曲線與直線沒有交點(diǎn).

6、五、考慮不到相關(guān)細(xì)節(jié)而導(dǎo)致錯(cuò)誤高中數(shù)學(xué)每一章中都有細(xì)節(jié)問題容易忽略，如定義域、判別式、公式成立的條件、含參數(shù)問題的討論、問題的特殊情形等等，解題缺乏縝密思維，遺漏各種情況，不能給出問題的完整答案，以偏代全而導(dǎo)致思維的不嚴(yán)謹(jǐn).例5：已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件： ， 其中為常數(shù)，為非零常數(shù).(I)令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(II)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對于第()問,許多同學(xué)都是這樣證明的:由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí) 因此，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.這樣求解有沒有破綻？許多同學(xué)找不出毛病,其實(shí),按照等比數(shù)列的定義,應(yīng)該證明與的比是一個(gè)常數(shù),而要求比,就要證明數(shù)列的各項(xiàng)均不為0這一細(xì)節(jié),而上面的證明恰恰忽略了這一點(diǎn).第()問求數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及到求等比數(shù)列的前項(xiàng)之和.而對等比數(shù)列求和,又要對公比是否為1進(jìn)行分類討論,這樣一個(gè)細(xì)節(jié),在平時(shí)教學(xué)中,老師肯定多次提醒,但是,換了一個(gè)解題環(huán)境：“求數(shù)列的通項(xiàng)公式”,就有不少考生忽略了分類.正解： (I)證明：由可得由數(shù)學(xué)歸納法可證 由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí) 因此，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.(II)解：由(I)知， 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 而 所以，當(dāng)時(shí) 上式對也成立.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 當(dāng)時(shí) 上式對也成立.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式