2021-2022學(xué)年湖南省株洲市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

1、2022年上學(xué)期高一年級期末試卷數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1已知集合，則( )AABCD“a0,b0”是“ab0”的()AA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.設(shè)，若，則()CA. B. C. D. 解：，又，故選：4.在中，為的中點(diǎn)，為上靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則()DABCD5.若，且，則的最小值為AA. 12B. 6C. 14D. 16解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取得最小值為12，故選：A6.某班有n位同學(xué)，統(tǒng)計一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均分與方差在第一次計算時漏過了一位同學(xué)的成績，算得位同學(xué)的平均分和方差分別為、，所以只好再算第二次，算

2、得n位同學(xué)的平均分和方差分別為、，若已知該漏過了的同學(xué)的得分恰好為，則（）BA，B，C，D，解：設(shè)這個班n位同學(xué)的成績分別是，第一次漏過了第i位同學(xué)的成績，第一次計算時總分是，方差是第二次計算時，方差故，故選：B7. 饕餮(toti)紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長江下游地區(qū)的良渚文化玉器上有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為1，有一點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為()CA. 116B. 14C.18解：點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，每次

3、向右或向下跳一個單位長度，則有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)共8種不同的跳法(線路)，符合題意的只有(下，下，右)這1種，所以三次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為188.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動A. 1B. 5C.3D. 6解：取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)A1E，A1F，EF，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)A1O，點(diǎn)M，AM/A1E，MN/EF，AMMN=M平面AMN/平面A1EF，動

4、點(diǎn)P在正方形BCC1B1(點(diǎn)P的軌跡是線段EF，A1E=A1當(dāng)P與O重合時，PA1的長度取最小值，為當(dāng)P與E(或F)重合時，PA1的長度取最大值，為A1取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)A1E，A1F，EF，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)A1O二、多選題（本大題共4小題，共20分）9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(2i)=iA. 復(fù)數(shù)z的模為5B. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 -2C. 復(fù)數(shù)z的虛部為-1D. 復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限ABD解：z=2i2i2+i=2i復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為-25+15i，故B正確；復(fù)數(shù)z的虛部為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(25,15已知，是單位向量，且，則A. B.

5、 與垂直C. 與的夾角為D. BC解：因?yàn)?，所以，所以所以，所以，故B正確，A錯誤;，因?yàn)?，所以，所以與的夾角為，故C正確，D錯誤.11.下面敘述正確的是()A. 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；B. 正三角形的平面直觀圖一定不是等腰三角形C. 圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為2:3D.若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直BCD解：正方體同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，則垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯誤；正三角形的直觀圖中高為原來的一半且與底邊成45，不為等腰三角形，選項(xiàng)B正確；圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑2R，則球的體積

6、為4R33與圓柱的體積為2R3，球與圓柱的體積之比為2:3，選項(xiàng)C正確若兩個平面，垂直，假設(shè)平面內(nèi)與它們的交線l不垂直的直線與平面垂直，因?yàn)?，且平面，的交線，所以可得，這與條件l與不垂直相互矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立，故只有D正確12下列表述正確的有（ABC ）A. 在平行四邊形中，.B. 在中，若，則是鈍角三角形.C. 在中，邊上的高等于，則.D. 函數(shù)的最小正周期為三、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 一組數(shù)據(jù)為12，5，7，11，15，30，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是12解：因?yàn)椋堰@組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，7，11，12，15，30；所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第4個數(shù)，為14.

7、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其外接圓半徑R=c, ab=3，則ABC的面積為_解：由由正弦定理得csinC=2R=2c，sinC=15. 將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移3個單位長度，再將圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=f(x)的圖象，若函數(shù)y=f(x)解：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移3個單位長度，可得y=再將圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=f(x)=sin(x+3)的圖象，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,)上有且僅有一個零點(diǎn)，16. 已知一個球與一個正三棱柱ABC-A1B1C1的三個側(cè)面和兩個底面都相

8、切，且這個球的體積為，那么這個三棱柱的側(cè)面積為_，二面角A-B1C1-A1的正弦值為_答案：解：設(shè)球的半徑為r，則，得r2，所以正三棱柱的高為2r4又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為，所以正三棱柱的側(cè)面積，二面角A-B1C1-A1的正弦值為四、解答題（本大題共6小題，共70分）17（10分）已知在某次招考測試中，甲乙兩人各自能否通過測試相互獨(dú)立，且甲乙能夠通過測試的概率分別為求：（1）恰有1人通過測試的概率；（2）至少有1人通過測試的概率（1） （2）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，mn=ab, b+c，且(1)求角C的值；(2)若AB

9、C為銳角三角形，且c=1，求1+3解：(1)因?yàn)閙=(sinA,sinBsinC)，n=(ab,b+c)，且所以sinA(ab)+(sinBsinC)(b+c)=0，（1分）利用正弦定理化簡得：a(ab)+(b+c)(bc)=0，即a2+由余弦定理可得cosC=a2又因?yàn)镃(0,)，所以C=3(2)由(1)得A+B=23，即又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以023A因?yàn)閏=1，由正弦定理得：asinA所以a=23sinA所以1+=sinAcosA=2sin(A因?yàn)?A所以1322sin(A19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn).求證：平面在線段AB上是否存

10、在點(diǎn)F，使直線PF與平面PAD所成的角為？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由？解：連接AC，設(shè)AC交BD于O，連接OQ，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，則O是AC中點(diǎn)，又點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)，故OQ是三角形CPA的中位線，則，又平面BDQ，平面BDQ，故平面（6分）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，又底面ABCD是矩形，則，又PD，面PAD，則面PAD，則面PAD，（8分）故就是直線PF與平面PAD所成的角，（9分）又則，故（11分）故當(dāng)時，在線段AB上是存在點(diǎn)F，使直線PF與平面PAD所成的角為（12分）20.如圖，三棱錐P-ABC中，平面ABC，（1）求三棱錐A-PBC的體積；（2）點(diǎn)M在線

11、段PC上，且滿足解：（1）因?yàn)锳B1，BAC60，所以由得由平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，又PA1，所以三棱錐A-PBC的體積（或由余弦定理得AC=2）（6分）（2）如圖，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)M作交AC于N，連接BN，BM由平面ABC知，所以由知，所以，在中，所以，即由于，故平面MBN又平面MBN，所以（12分）或建系解決21.某大型教育集團(tuán)準(zhǔn)備采購某款智能音箱，目前有生產(chǎn)這款音箱的甲、乙兩家企業(yè)可供選擇.為比較這兩家企業(yè)所生產(chǎn)的這款電器的質(zhì)量，集團(tuán)派出質(zhì)檢人員從兩家企業(yè)所生產(chǎn)的智能音箱中分別隨機(jī)抽取100臺，并分析了它們的質(zhì)量指標(biāo)值，得到甲企業(yè)所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分

12、布直方圖如圖所示，乙企業(yè)所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下表所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率)質(zhì)量指標(biāo)值100,110110,120120,130130,140140,150頻數(shù)203030155(1)規(guī)定：智能音箱的質(zhì)量指標(biāo)值平均值越高，說明該企業(yè)智能音箱的質(zhì)量越好.試?yán)媒y(tǒng)計知識判斷甲、乙兩家企業(yè)中哪家企業(yè)所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量更好;(2)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值不小于120的智能音箱為一等品，質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間100,120)內(nèi)的智能音箱為二等品. 按比例分配的分層抽樣的方法從企業(yè)乙所抽取的100臺智能音箱中再抽出6臺智能音箱作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，并從中再隨機(jī)抽取2臺

13、帶回教育集團(tuán)，試求恰好帶走1臺一等品智能音箱的概率;(3)將這次抽查所得的樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別視為總體平均數(shù)x、總體標(biāo)準(zhǔn)差s.若在一天內(nèi)所抽查的智能音箱中，出現(xiàn)質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間x3s,x+3s的左側(cè)的智能音箱，則認(rèn)為生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.經(jīng)計算，企業(yè)乙所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的方差為124.75，若該天企業(yè)乙抽查到一臺智能音箱的質(zhì)量指標(biāo)值為82，則是否需對企業(yè)乙當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查試說明理由.解：(1)企業(yè)甲所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x甲=1050.05+1150.4+1250.3+1350.2+1450.05=123企

14、業(yè)乙所生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x乙=1050.2+1150.3+1250.3+1350.15+1450.05=120.5故企業(yè)甲的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值平均數(shù)更高,故企業(yè)甲生產(chǎn)的智能音箱質(zhì)量更好;（3分）(2)由頻數(shù)分布表可知，100臺智能音箱中一等品、二等品各有50臺、50臺，由分層抽樣可知，所抽取的6臺智能音箱中一等品、二等品各有3臺、3臺，（4分）記這3臺一等品為a，b、c、3臺二等品為d、e、f，則從6臺智能音箱中抽取2臺的可能結(jié)果有：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)共15種，（6分）其中恰有1臺一等品的可能結(jié)果有9種，（7分）故恰好帶走1臺一等品智能音箱的概率為P=915(3)由(1)知，企業(yè)乙所抽查的智能音箱質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為120.5，故x=120.5，則總體標(biāo)準(zhǔn)差s=s所以x3而82位于區(qū)間(86.99,154.01)左側(cè)，故需對企業(yè)乙當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（12分）22.已知函數(shù)，試判斷在其