高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)專題30圖論與對策(解析版)_第1頁
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1、第第 頁共42 25(14+6四(病+27。22+ 22 575(14 + 6V5)(V5 + 2)455=(70 行 + 150)(9 + 45)20115 300 x 17=011S20.在次數(shù)學(xué)競賽中，某些選手是朋友關(guān)系.記所有選手的集合為X,對集合X的夕集Y,若可以將這些人兩 兩分組，且每組中兩名選手均是朋友關(guān)系，則稱集Y ”可兩兩分組”.已知集合X不可兩兩分組，且對于任意 選手力、BWX,若A、B不是朋友關(guān)系，則XAB可兩兩分組，且X中沒有個(gè)人與其他所有人均為朋友關(guān)系 證明：對任意選手* b、CSX，若a、b為朋友關(guān)系，b、c為朋友關(guān)系，則a、c也為朋友關(guān)系【答案】見解析【解析】考慮

2、個(gè)圖G,頂點(diǎn)由集合X組成，若X中兩人認(rèn)識，則將這兩人相連，否則不相連若個(gè)圖中的點(diǎn)可以兩兩分 組，且每組中兩個(gè)點(diǎn)均相連，則稱這種分組為圖G的個(gè)“完美匹配”(可以看成是圖G的個(gè)子圖).于是， 題目的條件變成了圖G不存在完美匹配，且若x、y不相連，則G+xy (表示把這個(gè)圖G的xy也相連)存在個(gè) 完美匹配，且沒有個(gè)點(diǎn)與所有點(diǎn)均相連.用反證法.若存在a、b、c使得a、b認(rèn)識，b、c認(rèn)識，但a、c不認(rèn)識，由于沒有人認(rèn)識其他所有人，故存在dWx,使得 b、d不認(rèn)識.由假設(shè)可得G+ac有個(gè)完美匹配，記為3；G+bd也有個(gè)完美匹配記為F廠 考慮巳與己的對稱差5 = F/Fz = FUE F1AE:-則容易得到S是一些互不相交的圈，且每個(gè)圈均由偶數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，設(shè)ac屬于圈G，bd屬于圈分兩種情形討論若如去心，則在圈G外的點(diǎn)按照A的分組方式分組，在圈G中按照F二的分組方式即可得到原圖G的個(gè)完美匹 配，即得矛盾.若6 = ,則這個(gè)圈從b出發(fā)沿邊bd開始，不妨設(shè)首先連到點(diǎn)a,即b到a的路徑(首先經(jīng)過邊bd)為P,于 是，P+ab為個(gè)圈，其中，有半的邊(間隔地)屬于F二對P+ab這個(gè)圈外的點(diǎn)按F2的

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