【22專用】余弦定理

1、余弦定理【必修五】第一章 解三角形1.1.2吳川一中高二【22、16】專用 陳智敏1.正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= = =2R（R為ABC外接圓半徑）與變換式、性質(zhì)。2.正弦定理的應(yīng)用: 從理論上正弦定理可解決三類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角； 2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的 邊和角。若A為銳角時:一、復(fù)習(xí)引入3. 判定三角形的形狀！若A為直角或鈍角時: babababaa已知邊a,b和A僅有一個解有兩個解僅有一個解無解a?bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACHACB1ABACB2CHHH？B創(chuàng)設(shè)情

2、景 引出問題 隧道工程設(shè)計(jì)，經(jīng)常需要測算山腳的長度，技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A與山腳B,C的張角，最后通過計(jì)算求出山腳的長度BC。這是如何計(jì)算出來的？CAcb化歸問題在ABC中，已知AB = c ，AC = b ，A = A，求a也即邊BC的長?！緦?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題】我們怎么辦呢？正弦定理行嗎？我們先看熟悉的三角形：ABCcba我們已經(jīng)學(xué)過向量,下面試著用向量的方法給予證明【證法一】ABCabc？【證法二】ABCabcD同理有： 即：a2=b2+c22bc cosA b2=a2+c22ac cosB c2=a2+b22ab cosC注意

3、：1、熟悉定理的形式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，注意“平方”“夾角”“余弦”等 2、每個等式中包含四個量，它們分別是三角形的三條邊和其中一角，知三求一 3、當(dāng)C90時，則cosC0，c2a2b2，即余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例【余弦定理】三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2= b2+c2 -2bccosA 結(jié)論！ 由大邊對大角可推得a與A有怎樣的關(guān)系呢？角Aa與角A的關(guān)系 0a2= b2+c2-2bc = b2+c2-2bc1 a2= b2+c2 = b2+c2-2bc0 a2= b2+c2+2bc = b2+c2-2bc(-1) 相同點(diǎn)：都含

4、有 b2+c2 不同點(diǎn)：-2bc的系數(shù)不同【考慮角的極端情況】CcBAbaCabCba當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時， 在ABC中【推論】【余弦定理的變形與應(yīng)用】判斷三角形形狀 利用余弦定理可以解決什么類型的三角形問題？ 利用余弦定理，可以解決：（1）已知兩邊及夾角，求第三邊和 其他兩個角.（2）已知三邊，求三角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC我們來試一試?。?）三角形的形狀判定！千島湖 3.4km6km120）情景問題島嶼B島嶼A島嶼C?千島湖 千島湖 情景問題3.4km6km120）島嶼B島嶼A島嶼C?3.4km6km120ABC 在ABC中，已知AB=6km

5、，BC=3.4km，B=120o，求 AC用正弦定理能否直接求出 AC？）余弦定理呢？解：（1）b2=a2+c22accosB =(2 )2+( + )2+22 ( + )cos45 =8b=2 例1、在ABC中，a= 2 ，c= + ，B=45求b及A。（2） cosA = = = A=60已知兩邊及夾角，求第三邊和 其他兩個角.練習(xí)1.在三角形ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41，解三角形（角度精確到1，邊長精確到1cm）【課本P7例3】2.3.在三角形中b=3，c= ，A=30，解三角形。ADCB)300)4504.如圖所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=4

6、50，求AC的長。小結(jié)余弦定理：推論:余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題：已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。推論：由邊的關(guān)系判定形狀！課后作業(yè)課本：P8 練習(xí) 1. P10習(xí)題1.1 第3題同學(xué)們 再見！課前回顧余弦定理：推論:余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題：已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。怎樣判定三角形的形狀？那么！已知三邊我們怎樣去求三角呢？例 2：在ABC中，已知a7，b10， c6，求A、B和C.解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36 B180(AC)100.sinC 0.5954, C 36或144

7、(舍).c sinA a()【解法二】練習(xí)1.ABCOxy例 2：ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365ABCOxy A84.ABCOxy例 2：ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法二： A84. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).ABCOxy例 2：ABC三個頂

8、點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = ABCOxy2.在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判斷ABC的 形狀.3.在ABC 中，已知 a=10, b=8, c=6,判斷ABC 的形狀.例3.練習(xí)【余弦定理的應(yīng)用】在ABC中,（1）a4，b3，C60，則c_；1314.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 則C = _.104.5（3）a2，b4，C135，則A_.（基礎(chǔ)練習(xí)反饋訓(xùn)練 消除誤點(diǎn)課堂練習(xí)：平行四邊形的兩條鄰邊的長分別是4 cm和4 cm，它們的夾角為45。求這個平行四邊形的兩條對角線

9、的長和它的面積。課堂小結(jié) 完善認(rèn)知余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律, 勾股定理是其特別。余弦定理的兩個基本應(yīng)用，一是已知三邊求角。 二是已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。余弦定理和正弦定理是同一個三角形的約束條件 的不同表現(xiàn)形式，在本質(zhì)上是一致的。小結(jié) 余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題：1、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。2、已知三邊求三個角；3、判斷三角形的形狀余弦定理：推論:總結(jié)B、A、正弦定理可解決的有關(guān)三角形問題：1、已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角2、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。(注意解的情況) 余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題：1、已知兩邊及其夾

10、角，求第三邊和其他兩個角。2、已知三邊求三個角；C、都可以判定三角形的形狀！課后作業(yè)課本：P8 練習(xí) 2. P10習(xí)題1.1 A第4題. B第2題.同學(xué)們 再見！ 問題： 若 ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：證明猜想，建構(gòu)新知ABCabcD（1）當(dāng)角C為銳角時過A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中證法2：（2）當(dāng)角C為鈍角時過A作AD CB交BC的延長線于D在Rt 中在 中bAacCBD（3）當(dāng)角C為直角時，由勾股定理知仍然成立。bAacCB證法3：以CB所在的直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：證法四：c2= a2+b22abcosC (2RsinC)2=(2RsinA)2+(2RsinB)22(2RsinA)(2RsinB)cosC s