等值面與梯度和通量與散度

1、02等值面與梯度和通量與散度11.3 標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：2標(biāo)量場的等值面等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整

2、個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)：意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。標(biāo)量場的等值線(面)32. 方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念： u(M)沿 方向增加； u(M)沿 方向減??； u(M)沿 方向無變化。 M0M方向?qū)?shù)的概念 特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 式中： 4梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場的梯度（ 或 ）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向5標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的

3、方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）6 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為 例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求： (1) 該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。 (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。7表征其方向的單位矢量 (2) 由方向?qū)?shù)

4、與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為8而該點(diǎn)的梯度值為 顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。91.4 矢量場的通量與散度 1. 矢量線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場 的方向。矢量線OM102. 矢量場的通量 問題：如何定量描述矢量場的大?。?引入通量的概念。 通量的概念其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量。 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對(duì)閉合曲

5、面的通量是面積元矢量11通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義123. 矢量場的散度 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。13圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：14直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP15根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為164. 散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)