44聲傳播時(shí)聲壓與密度的變化規(guī)律以聲壓表示的聲波方程

1、4.4聲傳播時(shí)聲壓與密度的變化規(guī)律以聲壓表示的聲波方程(摘自林達(dá)悃錄音聲學(xué)基礎(chǔ)，中國(guó)廣播電視出版社，2003)在前兩節(jié)中，我們從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，描述了質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移等物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律，并簡(jiǎn)略地提到了聲壓、密度等在描述聲波過(guò)程中的意義。本節(jié)將進(jìn)一步從聲波在媒質(zhì)中傳播的內(nèi)在關(guān)系出發(fā)，探討聲壓、密度等系，并導(dǎo)出聲波方程的另一種形式壓隨時(shí)間和空間變化的微分形式?；瘮?shù)學(xué)推導(dǎo)，仍然以平面波為例進(jìn)行然后再推廣到三維情況。4.4.1運(yùn)動(dòng)方程的導(dǎo)出聲壓點(diǎn)振動(dòng)速度的關(guān)系設(shè)有一沿正向傳播的平面聲波，4.4.1所示?，F(xiàn)考慮媒質(zhì)中某一微小單元內(nèi)的空氣(可視為質(zhì)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)圖x分析。情況。若該體元的厚度為x，其橫截面與聲

2、傳播方向垂直，截面面積為S，因此，元空氣質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m顯然可用下式表示：Sx0(4.4.1)由于聲擾動(dòng)，空氣質(zhì)點(diǎn)就要離開平衡位置產(chǎn)生振動(dòng)。當(dāng)空氣質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，右邊的空氣變密，聲壓相應(yīng)變大；左邊空氣變稀，聲壓相應(yīng)變小。換句話說(shuō)，在這種情況下，體元右側(cè)所承受的作用力F必然大于左側(cè)所承受的作用力2F。如果在x距離內(nèi)，1聲壓的增量為p，則該體元所承受的合力應(yīng)為F一F=p-S12(4.4.2)，它與作用力(4.4.3)px(4.4.4)上述合力的方向是使空氣趨向平衡位置。根據(jù)牛頓第二定律，在此作用力作用下的空氣質(zhì)點(diǎn)就將獲得一定加速度之間有以下關(guān)系：F二ma2亦即,Sx-=p-S0由此可得(4.4.4)式

3、的右邊反映了聲壓隨距離變化的快慢程度，稱為壓力梯度。當(dāng)x趨向于零時(shí)，p/x趨向于p關(guān)于x的偏(4.4.4)式的物理意義是：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)空氣質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量所獲得的加速度與單位距離內(nèi)的聲壓增量成正比，但方向相反。單位距離內(nèi)的聲壓增量導(dǎo)數(shù)，即4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系,ppzxX(當(dāng),xTO時(shí))4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系因?yàn)榧铀俣萢是速度v對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，因此，(4.4.4)式可以寫成以下形式：vtpx這是以微分形式表示的媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，與聲壓聯(lián)系起來(lái)了：知道了聲壓隨距離的變化情況，

4、化情況。換句話說(shuō)，只要知道了聲壓隨距離的變化情況，之亦然。例如，對(duì)于平面聲波而言，以質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移表示的波動(dòng)方程是(4.4.5)通常稱為運(yùn)動(dòng)方程。它把質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度就可以求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變就可以求得質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的加速度，反由此可以求得振動(dòng)的速度與加速度分別為v西Acos(t-)tc(4.4.6)4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系(4.4.7)v2vxa一Ae2sine(t)tt2c4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系(4.4.7)

5、式代入(4.4.5)式，有4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系(4.4.8)式中的t看成常數(shù)，并對(duì)其關(guān)于x積分一次，得(4.4.8)pApe2sine(t-)x0c4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系(4.4.9)pApeccose(t一)+C0c4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系式中C為積分常數(shù)。因?yàn)楫?dāng)A=0，即聲波不存在時(shí)，C=00,因此4.4.2連續(xù)性方程的導(dǎo)出密度(隨時(shí)間的變化)與振速的關(guān)系這樣，(4.4.9)式就可以改寫成(4.4.9a)pApeccose(t

6、一)0c(4.4.9a)式若以v表示，則有ppcv(4.4.10)0(4.4.10)式是聲壓與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度之間的基本關(guān)系，是一個(gè)十分重要的公式。它表明，在平面聲波中，聲壓與振速成正比，并且相位相同。乘積pc稱為質(zhì)點(diǎn)的特性阻抗。它是表0征媒質(zhì)傳播波動(dòng)特性的重要物理量。x與聲壓類似，以平面聲波為例進(jìn)行討論。試考慮如圖4.4.2所示的微設(shè)想這一體元的表面在空間中固而允許空氣質(zhì)點(diǎn)自由出入。如果左氣密度為,速度為v,右邊的空11與速度分別為、v，那么，在At22從左邊流入該體元的空氣質(zhì)量為SAt，從右邊流出的該體元p，S，v，At511質(zhì)量為PS-v，At，因此，在該體2，2空氣凈增量應(yīng)為在聲波傳播過(guò)程

7、中，媒質(zhì)的密度也隨時(shí)間與空間的變化而變化。圖4.4.2有聲波時(shí)，體元AV內(nèi)的質(zhì)量增量(pv-pv)SAt(4.4.11)1122若從總體效果上看，設(shè)該體元內(nèi)的密度增量為Ap,則其質(zhì)量的增量應(yīng)為我們?nèi)匀恍◇w元。定不動(dòng)，邊的空氣密度時(shí)間內(nèi)，的空氣元內(nèi)的Ap，S，Ax(4.4.12)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，(4.4.11)式與(4.4.12)式應(yīng)當(dāng)相等，因此，Ap-S-Ax(pv-pv)SAt1122經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理可得Ap-A(pv)AtAx(4.4.13)xx與前面的討論一樣，當(dāng)At0時(shí)，(4.4.13)式也可以寫成微分形式:xxQpdtQ(pv)Qx(4.4.14)x(即密度的增加率)與單位距離(4.4

8、.14)式的物理意義是：內(nèi)空氣質(zhì)量流的變化相等，疏”的狀況。如果考慮的小振幅聲波式可以改寫成單位時(shí)間內(nèi)空氣密度的增加但方向相反。后者反映了由于聲擾動(dòng)，(這在一般情況下都成立)空氣中形成“稠密”與“稀，略去高階微量，則(4.4.14)xxp竺Qt0Qx(4.4.15)x式中p為平衡態(tài)時(shí)的空氣密度，p=pp為密度的變化量。(4.4.15)式通常稱為連續(xù)性00方程。所謂“連續(xù)性”指的是空氣質(zhì)量既不會(huì)突然增加，也不會(huì)突然消失。當(dāng)流進(jìn)體元的空氣多于流出的空氣(QvQx為負(fù))時(shí)，空氣“稠密”起來(lái)，這一部分的空氣密度就增大；反之，如果流進(jìn)體元的空氣少于流出體元的空氣(QvQx為正)時(shí)，空氣就“稀疏”起來(lái)，這

9、時(shí)該部分的空氣密度就將減小。連續(xù)性方程把空氣密度與振速聯(lián)系起來(lái)了。同樣地，知道了其中的一個(gè)，就可以通過(guò)(4.4.15)式求出另一個(gè)。例如，對(duì)于沿x軸正向傳播的平面聲波而言，已知振速vAcos(t-)c0把t看成常數(shù)，對(duì)x微分一次，有,vAo2sin(t一)c(4.4.16)(4.4.16)式代入(4.4.15)式，則有,pAP再把x看成常數(shù)，對(duì)式中t為積分常數(shù)。式可以寫成以下形式：若以振速表示，則4.4.3物態(tài)方程,tt積分一次，可得當(dāng)聲波不存在時(shí)，現(xiàn)在我們進(jìn)一步考慮有聲波存在時(shí)，察媒質(zhì)中的某一體元。毫無(wú)疑義，(4.4.17)Ap0cxcos(t一)+CcA=0,p=p,可見，0積分常數(shù)(4.

10、4.18)C=0。這樣，(4.4.18)Ap-0c巴coso(t-)c(4.4.18a)式具有以下形式：=pP=空氣中聲速的計(jì)算Pv0c媒質(zhì)的壓力與密度之間的關(guān)系。在沒有聲擾動(dòng)時(shí)，媒質(zhì)中的某一體元應(yīng)處于平衡狀態(tài)。壓強(qiáng)P,密度就是在大氣壓強(qiáng)下的空氣密度0要發(fā)生變化。由于聲振動(dòng)過(guò)程進(jìn)行的如此迅速，聲過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程的。對(duì)于理想氣體而言，決熱壓縮或膨脹服從泊松方程式PVY式中C為常數(shù)，它是由氣體性質(zhì)所確定的物理常數(shù)。而密度(4.4.20)式可得P+p_0P0=()y(4.4.18a)(4.4.19)誠(chéng)然，我們?nèi)匀豢歼@時(shí)，壓強(qiáng)就是大氣p。在聲波傳播過(guò)程中,體元內(nèi)的壓強(qiáng)與密度就0以致于來(lái)不及與周圍

11、的媒質(zhì)進(jìn)行熱交換，(4.4.20)p與體積(4.4.21)v成反比，因此，從式中p為大氣壓強(qiáng)，0將(4.4.21)式對(duì)時(shí)間求一階偏微分,得Y為定壓比熱與定容比熱之比值。對(duì)于空氣，=1.40。同樣地，在小振幅的情況下，1,pP,t0Lpv-i空pY0,t(4.4.22)p0,這樣，(4.4.22)式可以改寫成以下形式：,p,tYP，0,t(4.4.23)(4.4.23)式通常稱為物態(tài)方程。式中yP0為一常數(shù)，而且必須是正值，其量綱0克-厘米秒2克厘米3從這一量綱可以看出，它與速度平方的量綱相同，為此令yPc2，0P0(4.4.24)由此可以得出氣體中的聲速若以絕對(duì)溫度表示，則yPc，00(4.4

12、.25)式可以改寫成(4.4.25)yRTc，(4.4.26)此處為氣體克分子量，子度。R為普適常數(shù)。若采用米千克秒(MKS)制，R=8.31焦耳/克分對(duì)于空氣而言，28.8x10-3千克/克分子，因此，聲速式中t為攝氏溫度。例如，當(dāng)+40C范圍內(nèi)是足夠準(zhǔn)確的。4.4.4波動(dòng)方程的導(dǎo)出c匕331+0.6t(OC)t=15C時(shí)，聲速(4.4.27)340米/秒。(4.4.27)式在30Ct從運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程和物態(tài)方程可以消去p、v、三個(gè)變量中的任意兩個(gè)，從而建立p是實(shí)然后再對(duì)t求偏微分，即(4.4.5)式對(duì)dvc2，0Rxdxdpdt(4.4.28)c20d2Vdxdtd2pdt2(4.4.2

13、9)求一次偏微分后代入(4.4.29)式，最后可得起某一參量隨時(shí)間與空間變化的關(guān)系式，這就是波動(dòng)方程的微分形式。誠(chéng)然，聲壓際中最常用的聲學(xué)參量，因此，求出以聲壓表示的波動(dòng)方程是必要的。(4.4.23)式代入(4.4.15)式，有(4.4.30)它在聲學(xué)中具有十分重要的1R2pcRt2(4.4.30)式就是在均勻理想媒質(zhì)中小振幅聲波的波動(dòng)方程。意義。在以上的討論中，我們始終假定聲場(chǎng)在個(gè)向是均勻的，從而得出了一維的聲波方程。實(shí)上，在許多情況下，X、y、z三個(gè)方向的聲場(chǎng)并不一定是均勻的。這時(shí)聲壓不僅隨時(shí)間的變化而變化，而且還隨著空間位置的不同而不同。這時(shí)就要用三維的波動(dòng)方程表示。其推導(dǎo)方法與一維情況

14、完全類似，只不過(guò)這時(shí)的空間變量除x外，還應(yīng)包括y、z。不難看出，在一維波動(dòng)方程的（4.4.30）式中，與空間坐標(biāo)有關(guān)的僅僅是方程的左邊。為了簡(jiǎn)便期間，我們直接推論，若以拉普拉斯算符TOC o 1-5 h z222 HYPERLINK l bookmark176V2，+x2y2z2取代2x2，就可以很容易地得到三維情況下的聲波方程：12pV2p，p（4.4.31）ct2這就是極其重要的聲波方程的普遍形式。義。但是，無(wú)論是一維的聲波方程還是三維的聲波方程，它對(duì)于解決具體的聲學(xué)問題具有非常重要的指導(dǎo)意都沒有考慮聲源初始情況和邊界的必須結(jié)合具體問題的聲源和邊界狀況求解。從數(shù)學(xué)上講，就是還應(yīng)列出初始條件

15、和邊界條件，才可能得出解決具體實(shí)際問題的結(jié)果。習(xí)題二1設(shè)有一點(diǎn)聲源以500赫的頻率、10瓦的聲功率將球面波輻射到自由空間中去。試求距聲源徑向1米處的（1）聲強(qiáng)度；（2）聲壓；（3）質(zhì)點(diǎn)振速；（4）質(zhì)點(diǎn)位移；5）聲能密實(shí)際狀況，因此，它們描述的是媒質(zhì)中聲現(xiàn)象的共同規(guī)律。對(duì)于具體的實(shí)際問題，度；（6）聲壓級(jí)。2試問夏天（氣溫高達(dá)40C）空氣中的聲速比冬天（氣溫為0。0高多少？如果平面聲波的聲壓保持不變，媒質(zhì)的密度也近似地認(rèn)為不變，試求在上述兩種情況下聲強(qiáng)的變化率及聲強(qiáng)級(jí)之差。3如果兩列聲脈沖到達(dá)人耳的間隔在1/20秒以上，聽覺就可以辨認(rèn)出來(lái)。試問：發(fā)音人至少離一垛高墻多遠(yuǎn)才能聽到自己發(fā)聲的回聲？4

16、D020C的空氣中有一平面聲波，若已知其聲壓級(jí)為74分貝，試求其有效聲壓及聲強(qiáng)。5已知在20C時(shí)空氣和水的特性阻抗分別為415瑞利和1.48x106瑞利，試求：1）當(dāng)平面聲波由空氣垂直入射到水面上時(shí)反射聲壓的大小及聲透射系數(shù)；（2）如由水入射到空氣時(shí)，相應(yīng)值又是多少？6設(shè)有不同頻率的兩列平面聲波，它們可分別表示為p，pcostkxp)和11A111p，pcostkx-p)22A2122式中初相位均為常數(shù)。試求它們合成聲場(chǎng)的平均聲能密度。7試計(jì)算入射波與反射波振幅相等的平面駐波場(chǎng)中的平均聲能密度。8若某錄音現(xiàn)場(chǎng)的本底噪聲聲壓級(jí)為40分貝?，F(xiàn)已知某聲源在接收點(diǎn)上產(chǎn)生的聲壓70級(jí)為70分貝。試求置于該點(diǎn)上的傳聲器將接收到的總聲壓級(jí)是多少？如果本底噪聲高達(dá)分貝，那么總聲壓級(jí)又是多少？9在某錄音室中有幾件樂器同時(shí)演奏。假定每一樂器在接收點(diǎn)產(chǎn)生的聲壓級(jí)均為貝，試問這幾件樂器產(chǎn)生的總聲壓級(jí)是多少？10如果某錄音室的本底噪聲級(jí)比信號(hào)的聲壓級(jí)低n分貝，證明因本底噪聲的存在而使接收到的信號(hào)所受的影響貝數(shù)表示）為（這種影響用本底噪聲加信號(hào)總聲壓級(jí)比信號(hào)的聲壓級(jí)高出的分AL，lOlog（1+10吃）（分貝）101若已知某倍頻程的上、下限頻率分別為（1）頻帶寬度；（2）中心頻率；2若已知某倍頻程的上、下限頻率分別為（1）頻帶寬度