航天器軌跡規(guī)劃的變分技術(shù)

1、1航天器軌跡規(guī)劃的變分技術(shù)摘要：本文描述了一種基于變分法的軌跡規(guī)劃算法，它可以解決六自由度的航天器對(duì)接和接近操作問(wèn)題。目標(biāo)函 數(shù)綜合考慮燃料消耗、避障距離和到達(dá)時(shí)間。以非線性軌道動(dòng)力學(xué)方程作為動(dòng)力學(xué)約束條件，推導(dǎo)了歐拉-拉格 朗日方程，依據(jù)龐德里亞金原理推導(dǎo)了最優(yōu)控制的輸入，給出了推力器實(shí)際的開(kāi)關(guān)曲線。采用對(duì)初始條件不敏感 的間接配點(diǎn)法解決相應(yīng)的邊值問(wèn)題，解的開(kāi)拓可以進(jìn)一步改進(jìn)算法的魯棒性。文章討論了對(duì)歐拉-拉格朗日方程 和橫截條件的處理，以使其適合目前的配點(diǎn)法的應(yīng)用形式。文章最后通過(guò)一個(gè)與翻滾衛(wèi)星進(jìn)行首尾相連的對(duì)接機(jī) 動(dòng)對(duì)所研究的方法和結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：航天器，軌道，空間探測(cè)，算法，航

2、天器任務(wù)規(guī)劃1.1引言一個(gè)成功的自主航天器必須能夠?qū)崿F(xiàn)智能導(dǎo)航。智能導(dǎo)航能夠找到并沿著無(wú)碰撞的路徑以合 理的時(shí)間和燃料穿過(guò)預(yù)定空間。很多自主航天任務(wù)目前已經(jīng)發(fā)射，還有一些其他任務(wù)，包括 DAPPA（美國(guó)國(guó)防高級(jí)研究計(jì)劃局）的SUMO/FREND服務(wù)航天器，AFRL （美國(guó)空軍研究實(shí)驗(yàn)室） 和Lockheed-Martin公司的ANGELS觀察衛(wèi)星，目前都在設(shè)計(jì)之中。尤其是，DARPA的軌道快 車任務(wù)，該任務(wù)在技術(shù)方面向我們展示了自主交會(huì)、抓捕、燃料加注和重構(gòu)等技術(shù)，并在2007 年7月成功完成了其主要任務(wù)。軌道快車 項(xiàng)目的目的是研發(fā)新一代在軌服務(wù)航天器。 SUMO/FREND目的是通過(guò)交會(huì)對(duì)接

3、和機(jī)械臂的抓捕技術(shù)，為失效的客戶衛(wèi)星提供軌道定位服務(wù)。 所有的這些飛行器必須在限定的環(huán)境中運(yùn)動(dòng)，SUMO/FREND和軌道快車之后的服務(wù)航天器也需 要在預(yù)定的環(huán)境中與目標(biāo)接觸。為了能夠完成滿足需求的先進(jìn)的自主任務(wù)，必須找到一種燃料消耗較低同時(shí)又能避免碰撞的 軌跡規(guī)劃算法。這是一個(gè)很困難的問(wèn)題，因?yàn)檫@些飛行器相對(duì)于它們的對(duì)接目標(biāo)一般是從不同的 （初始）軌道開(kāi)始的；因此，這些航天器的軌跡規(guī)劃必須綜合考慮遠(yuǎn)程軌道機(jī)動(dòng)和近程的臨近操 作，而遠(yuǎn)程機(jī)動(dòng)伴隨有非線性動(dòng)力學(xué)和燃料消耗問(wèn)題，避免碰撞對(duì)近程臨近操作是極為重要的。軌道機(jī)動(dòng)中的軌跡規(guī)劃技術(shù)已經(jīng)成功使用了很多年，但是這些技術(shù)通常并不能處理避障問(wèn) 題。另

4、一方面，大部分處理避障的軌跡規(guī)劃技術(shù)都在陸地應(yīng)用，如輪式機(jī)器人或機(jī)械臂。遺憾的 是，這些算法不能很好地在空間中應(yīng)用，因?yàn)樗鼈兯诘募僭O(shè)在空間并不適用。特別是動(dòng)力學(xué) 效應(yīng)不能被忽略。而且，在燃料的節(jié)省和保存方面，空間應(yīng)用比地面應(yīng)用更重要。對(duì)于給定的軌 道機(jī)動(dòng)問(wèn)題，到達(dá)時(shí)間也是一個(gè)很重要的方面，燃料消耗最少的軌跡可能需要無(wú)窮大的轉(zhuǎn)移時(shí)間。 因此，需要這樣的軌跡規(guī)劃技術(shù)，這些技術(shù)能夠生成滿足軌道和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)限制的路徑，權(quán)衡燃 料消耗和避障距離的約束，滿足寬變的終端范圍限制，能應(yīng)對(duì)和躲避移動(dòng)障礙物，以及能優(yōu)化完 成時(shí)間。本文提出了一套基于變分法的算法，能夠滿足以上要求。該算法以懲罰燃料消耗和障礙 物

5、間距離為目標(biāo)函數(shù)，找到一條滿足一系列邊界約束條件且使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的軌跡，這些邊界約 束條件允許終端位置和時(shí)間固定或自由。1.2假設(shè)航天器軌跡規(guī)劃的研究領(lǐng)域極度寬闊，不同的研究者在試圖解決特定的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)采用不 同的假設(shè)。比如，不同的研究者，要么包括，要么不包括多引力體作為次要影響因素；有些考慮 地球非均勻重力場(chǎng)和牛頓均勻場(chǎng)的作用（稱為J2影響）。類似的，有些研究者試圖直接包含導(dǎo) 航誤差，而另一些人則沒(méi)有。一般的軌跡規(guī)劃研究，主要來(lái)自移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域，它們的假設(shè)條件 通常不同于空間飛行器的軌跡規(guī)劃條件。特別是，機(jī)器人的研究者們通常（盡管不是一直）忽略 所有系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，他們假設(shè)機(jī)器人能夠精確跟蹤任

6、何給定軌跡，即使軌跡是分段線性的，這是由 于距離很近時(shí)動(dòng)力學(xué)作用可以忽略。反而文獻(xiàn)中主要關(guān)注在約束環(huán)境中找到無(wú)碰撞的路徑。顯然， 航天器在約束環(huán)境中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是不能忽略的。本文將兩個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合。所以，為了使問(wèn)題既模型簡(jiǎn)單又易于運(yùn)算，這里采取一定 的假設(shè)。特別是，航天器動(dòng)力學(xué)采用標(biāo)準(zhǔn)的二體模型，J2項(xiàng)攝動(dòng)、N體動(dòng)力學(xué)、大氣阻力等都忽 略不計(jì)。這些作用是影響航天器軌跡規(guī)劃的重要因素，近幾年的航天器軌跡優(yōu)化在這方面做了很 多工作。但是，本文的目的是提出一種算法，能夠在一定約束條件下找到轉(zhuǎn)移軌跡，并不是在處 理擾動(dòng)方面開(kāi)辟一個(gè)新領(lǐng)地，因此這里對(duì)攝動(dòng)項(xiàng)不加以考慮?？傊?，盡管這些擾動(dòng)會(huì)使數(shù)學(xué)模型

7、 變復(fù)雜，但是不能從根本上改變算法。在有障礙物限制的軌跡規(guī)劃問(wèn)題中，尋找全局最優(yōu)解的方法中有我們熟知的NP-hard問(wèn)題， 它被列為已知的最困難的計(jì)算問(wèn)題之一。因此，很多有障礙物限制的軌跡規(guī)劃算法，并不會(huì)試圖 解決全局問(wèn)題，而是試圖得到局部最優(yōu)的結(jié)果。在很多情況下，尤其障礙物相對(duì)較少時(shí)，局部的 最優(yōu)解是可以接受的。本文也考慮這種情況，我們并不會(huì)試圖尋找全局最優(yōu)解，因?yàn)檫@對(duì)現(xiàn)有的 動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算太困難了。曾用到過(guò)的尋找全局最小值的方法的綜述在下一節(jié)給出。1.3研究背景解決特定的軌道機(jī)動(dòng)問(wèn)題有很多經(jīng)典的方法，這些方法在軌道力學(xué)領(lǐng)域是大家所熟知的。轉(zhuǎn) 移時(shí)間自由的軌道轉(zhuǎn)移，如霍曼轉(zhuǎn)移1和雙橢圓轉(zhuǎn)

8、移2已經(jīng)使用很多年了，同樣的情況還有時(shí)間 自由或受限制特殊點(diǎn)攔截3,4。對(duì)于更加復(fù)雜的軌道機(jī)動(dòng)，如考慮多引力體情況，圓錐曲線拼接 法通常被認(rèn)為是已知的首選方法。盡管這些算法所獲得的結(jié)果并不是最精確的，但是它能夠?yàn)楦?復(fù)雜最優(yōu)化方案得到一個(gè)比較合適的初始值。這些方法一般都能得到燃料最優(yōu)解，而且考慮動(dòng)力 學(xué)限制。雖然這些方法假設(shè)推力是脈沖形式且大小不受限，但是考慮到化學(xué)推力器的輸出能力， 以及大多數(shù)軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題的時(shí)間尺度，這個(gè)假設(shè)通常是有效的。但是這些方法既不能處理避障問(wèn) 題，也不能處理姿軌耦合的機(jī)動(dòng)問(wèn)題。有很多研究將線性或者非線性最優(yōu)方法應(yīng)用在航天器軌跡規(guī)劃中。大體來(lái)說(shuō)，線性方法僅僅 在近距離操

9、作中很有效，因?yàn)檎嬲能壍绖?dòng)力學(xué)，甚至是最簡(jiǎn)單的二體問(wèn)題也還是有很強(qiáng)的非線 性。而當(dāng)兩個(gè)航天器在相對(duì)于軌道周期的短時(shí)間內(nèi)近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以被線 性化，這就是著名的Hill方程。通過(guò)這樣的簡(jiǎn)化，線性化最優(yōu)方法可以有效使用。例如，目前 有很多基于線性或者非線性的創(chuàng)新方法，解決單個(gè)或者多個(gè)合作航天器的機(jī)動(dòng)問(wèn)題。在這些方法 當(dāng)中，對(duì)于航天器的軌跡規(guī)劃來(lái)說(shuō)，MILP（混合整數(shù)線性規(guī)劃）法在解決有約束線性最優(yōu)問(wèn)題時(shí) 是一種很有效的方法5問(wèn)。MILP方法已經(jīng)應(yīng)用在包括碰撞規(guī)避及羽流的接近操作和編隊(duì)飛行中。 這種方法必須使用樣條或者其它近似方法對(duì)解空間（即所有可能的軌道集合區(qū)間）進(jìn)行近似。定

10、 義一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，采用MILP法找到滿足給定約束條件使目標(biāo)函數(shù)最小化的樣條曲線。因此，這 種方法是將軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為限制性最優(yōu)問(wèn)題，進(jìn)而用一種已有的優(yōu)化算法解決。MILP法在 計(jì)算方面異常高效。遺憾的是，MILP法似乎不能應(yīng)用于明顯非線性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，因此，它不 能使用在軌道注入或者軌道（平移）和姿態(tài)（旋轉(zhuǎn)）耦合的問(wèn)題中。單元分解法也已經(jīng)被用在最優(yōu)軌跡規(guī)劃中。單元分解法通常是形成一個(gè)離散化的網(wǎng)格狀的狀 態(tài)空間，然后使用一些標(biāo)準(zhǔn)的搜索技術(shù)搜索得到的離散空間。單元分解法已經(jīng)用于解決航天器的 軌跡規(guī)劃問(wèn)題，著名的有文獻(xiàn)7，他使用基于A *的尋找方法，應(yīng)用于航天器近距離操作，得到 一個(gè)六自由度的軌跡

11、。路線圖方法也能夠產(chǎn)生一個(gè)鄰接圖表示搜索空間，然后用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圖像 搜索方法從圖像中得到一個(gè)路徑。但是，與單元分解法不同的是，圖像法不是狀態(tài)空間離散分解 的結(jié)果，相反圖像法試圖獲得空間的“內(nèi)在連續(xù)性”。Generalized Voronoi diagrams在航天器在 軌跡規(guī)劃中的應(yīng)用被廣泛接受8,9 這些方法主要用來(lái)處理避障問(wèn)題，它們并不是燃料最優(yōu)，盡 管燃料消耗在處理要求相對(duì)小間距的問(wèn)題時(shí)似乎很合理。它們不能解決終端時(shí)間或者終點(diǎn)位置限 制的問(wèn)題，并且不能夠使用實(shí)際的推力器模型。也不能解決實(shí)際的軌道動(dòng)力學(xué)（附加擾動(dòng)）和姿 態(tài)耦合的問(wèn)題。但是，對(duì)于大部分近距離操作，相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)特性可以忽略，

12、而且軌道和姿態(tài) 運(yùn)動(dòng)可以解耦，那么，這種方法可以得到很好的結(jié)果。人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法是一種最簡(jiǎn)單并且最流行的軌跡規(guī)劃方法。在它的基本形式中，建立了 一個(gè)叫做勢(shì)函數(shù)的數(shù)學(xué)函數(shù)，它在目標(biāo)點(diǎn)上取得全局最小值，在每個(gè)障礙物的中心取得局部最大 值（這是一種緊約束）Ji。該路徑的產(chǎn)生是通過(guò)一個(gè)基于勢(shì)函數(shù)的梯度下降算法完成的，然后 將得到的軌跡投影到基本的歐式空間中。人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法在航天器軌跡規(guī)劃中的應(yīng)用也很廣 泛1214。以上的這些方法都考慮是實(shí)際的推力器，固定的障礙物，自由的到達(dá)時(shí)間。它們并沒(méi)有直接 最小化燃料消耗，但是他們使用的是Hill方程并且應(yīng)用在近程接近操作中，所以燃料消耗很少。 另一個(gè)方面，

13、它們也不適用于遠(yuǎn)程軌道機(jī)動(dòng)，不能處理自由終端位置和移動(dòng)的障礙物問(wèn)題。它們 沒(méi)有考慮姿態(tài)規(guī)劃，因此就不能解決與旋轉(zhuǎn)目標(biāo)對(duì)接的姿態(tài)與軌道耦合問(wèn)題。最近，有人提出了用于解決多顆衛(wèi)星星座重構(gòu)的軌跡規(guī)劃問(wèn)題的一種兩階段的優(yōu)化方法。在 這種方法中，可以利用快速擴(kuò)展隨機(jī)樹(shù)法得到一個(gè)可行但不是最優(yōu)的軌道。該軌道可以作為平滑 或者優(yōu)化算法的初始估計(jì)。該算法或者是由針對(duì)線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的線性優(yōu)化方法Pl，或者是由 非線性優(yōu)化方法如偽光譜法16組成。這種方法可以被成功應(yīng)用在考慮碰撞和定向約束，為重構(gòu) 衛(wèi)星星座尋找合理的軌道上。與以上方法不同的是，該算法可以尋找到燃料最優(yōu)軌跡，可以處理 姿態(tài)規(guī)劃和移動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題。但是該

14、方法僅僅能夠應(yīng)用在軌道動(dòng)力學(xué)并不重要的深空星座當(dāng)中。也有將非線性優(yōu)化方法應(yīng)用在航天器軌道優(yōu)化問(wèn)題中。一般的，非線性方法通常使用在單個(gè) 航天器在單一引力體的不同軌道間或者在不同引力體間機(jī)動(dòng)多個(gè)軌道周期的情況。這些方法可以 分為直接法和間接法?；旧?，直接法是將最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為NLP（非線性規(guī)劃問(wèn)題），通 過(guò)采用一種非線性規(guī)劃算法求解。最常用的方法是直接打靶法和直接配點(diǎn)法。直接打靶法主要通 過(guò)參數(shù)化受設(shè)計(jì)器控制的變量（通常是控制輸入）實(shí)現(xiàn)。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型從初始時(shí)刻至終端時(shí)刻 計(jì)算，進(jìn)而計(jì)算結(jié)果的優(yōu)化值；然后反復(fù)調(diào)整參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)。直接配點(diǎn)法通常被認(rèn)為 是另一種可供選擇的方法，軌跡和控

15、制輸入都通過(guò)樣條函數(shù)來(lái)參數(shù)化，進(jìn)而調(diào)整樣條函數(shù)的系數(shù) 來(lái)改進(jìn)優(yōu)化結(jié)果。但是，Betts指出，配點(diǎn)法也可以看作是打靶方法的一個(gè)特例，就是將打靶法 的積分器采用Hermite-Simpson算法，并且參數(shù)化的參數(shù)數(shù)量與積分器時(shí)間步長(zhǎng)數(shù)量相一致。間接法則是推導(dǎo)一組微分方程：Euler-Lagrange方程，方程的解即是最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題的極 值曲線。簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)，必須解決邊值問(wèn)題去得到這些解。相比直接法是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，間接法是 一個(gè)尋根問(wèn)題。像直接法一樣，有很多解決邊值問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，包括間接打靶法，間接多重打 靶法，間接配點(diǎn)法。直接法漸漸的成為軌跡優(yōu)化問(wèn)題中的首選方法是有原因的。首先，直接法比 間接法

16、更具有魯棒性，有更廣泛的收斂范圍。此外，由于間接法以伴隨變量的形式引入其他狀態(tài) 變量，一定要保證對(duì)這些變量進(jìn)行合理估計(jì)才會(huì)使迭代收斂。但是由于伴隨變量并沒(méi)有直接的物 理意義，所以提供一個(gè)好的初始估計(jì)往往很困難。并且使用間接法要求對(duì)每個(gè)問(wèn)題推導(dǎo) Euler-Lagrange方程，這就使得這種方法在完成一般的軌道優(yōu)化中更具有挑戰(zhàn)性。但是，在某些情況下，間接法比直接法更有優(yōu)勢(shì)。特別是它能直接（至少在理論上）包含幾 乎所有假設(shè)約束條件，不用事先用數(shù)值解對(duì)約束條件進(jìn)行修正。使用直接法，通過(guò)數(shù)值解直接滿 足約束條件，因此，它的解要么很籠統(tǒng)，要么僅適合于特定的問(wèn)題。特別是在處理較強(qiáng)約束條件 的問(wèn)題上，例如使

17、用自由開(kāi)關(guān)推力器時(shí)，就很難使用直接法，因?yàn)樵诮鉀Q這個(gè)問(wèn)題之前需要知道 推力器點(diǎn)火的時(shí)刻，這樣才能在整個(gè)過(guò)程中處理變化中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。間接法在解決非常困難的 軌道優(yōu)化問(wèn)題中相當(dāng)成功，比如小推力的多體轉(zhuǎn)移問(wèn)題17,18。與直接法類似，這些方法通常是基于牛頓法的變形形式。遺憾的是，這些方法的普遍特點(diǎn)是 其局部最優(yōu)性；它們?nèi)啃枰锰荻刃畔?，?duì)梯度的模或指標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行迭代改進(jìn)。結(jié)果都是 趨于收斂到局部最小值，在不對(duì)目標(biāo)函數(shù)形式作附加要求或者滿足微分、代數(shù)約束時(shí)，結(jié)果不能 保證收斂到全局最小值。對(duì)與這些優(yōu)化算法在航天器軌跡優(yōu)化中應(yīng)用的綜述，見(jiàn)文獻(xiàn)19。直接 法和間接法在“六自由度軌道機(jī)動(dòng)”章節(jié)有詳細(xì)討

18、論。以上提到的方法中，沒(méi)有哪個(gè)方法是普遍全局最優(yōu)的。然而，有很多人試圖解決全局最優(yōu)問(wèn) 題，至少是在統(tǒng)計(jì)的意義上。模擬退火法就是其中之一2。21。在模擬退火法中，隨機(jī)擾動(dòng)可以應(yīng) 用于最優(yōu)解最好的估計(jì)。擾動(dòng)大小的變化是依據(jù)“退火過(guò)程”，擾動(dòng)大小本質(zhì)上是隨著時(shí)間減小的一個(gè)函數(shù)。此外，擾動(dòng)的大小還是隨著當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)的值而減小的函數(shù)。這樣的話，這種算法 可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方式搜索到很大部分的解空間。遺憾的是，很難嚴(yán)格保證軌跡規(guī)劃問(wèn)題的隨機(jī)退 火的全局收斂性，而且選擇合理的退火過(guò)程通常需要反復(fù)試驗(yàn)。尋找全局最優(yōu)的另一種方法是遺傳算法22對(duì)于不同類型的遺傳算法通常使用不同的變量， 但是一般來(lái)說(shuō)首先需要為可能的問(wèn)

19、題解建立一個(gè)編碼表。在軌跡規(guī)劃中，編碼表由一些基向量的 權(quán)重或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重組成。一組候選解的產(chǎn)生，通常是從編碼表中隨機(jī)選出。這些候選解通過(guò) 一個(gè)適應(yīng)性函數(shù)進(jìn)行評(píng)估，選擇一部分子集作為新的候選解。對(duì)這些留存的候選解隨機(jī)的擾動(dòng)或 交叉，會(huì)產(chǎn)生新的候選解集合。反復(fù)迭代，直到達(dá)到最大設(shè)定迭代次數(shù)或候選解達(dá)到滿意的品質(zhì)。 遺傳方法很普遍，可以應(yīng)用到任何其他優(yōu)化方法可以應(yīng)用到的地方。但是，遺憾的是，遺傳方法 不能很好利用梯度信息，因此對(duì)問(wèn)題的計(jì)算量很大。因此還沒(méi)有被廣泛應(yīng)用到軌跡規(guī)劃問(wèn)題中。1.4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.4.1直接法形式。本文使用Lagrange表述，目標(biāo)函數(shù)取成積分形式，并對(duì)末端時(shí)刻f的狀態(tài)進(jìn)行懲

20、罰:J L(),u(),= j七 L L(),u(),山o直接法解決最優(yōu)問(wèn)題開(kāi)始是構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)和一些約束條件。目標(biāo)函數(shù)有很多不同的規(guī)范動(dòng)態(tài)約束條件：z(z(),u；根據(jù)待解決的問(wèn)題本身的特點(diǎn)，狀態(tài)變量雙)、控制量 u也需要代數(shù)約束：g - gL,uo,k為。最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)控制量u*()和相應(yīng) 狀態(tài)量x*()，通過(guò)滿足一些約束條件使得目標(biāo)函數(shù)最小。有很多特定的情況，其中一種典型的情況是狀態(tài)變量和輸入控制量都是二次的，微分約束條 件是線性的，沒(méi)有代數(shù)約束條件。這樣的優(yōu)化問(wèn)題可以求得解析解。對(duì)于不滿足這些標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題， 可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到數(shù)值解。事實(shí)上這是相當(dāng)復(fù)雜的，除了相當(dāng)少的情況下，

21、允許的控制輸入 是一個(gè)無(wú)限維數(shù)的函數(shù)空間。直接法通過(guò)限制函數(shù)控制量輸入搜索空間使得最優(yōu)化問(wèn)題容易計(jì) 算。這個(gè)近似函數(shù)通常是B樣條。因此，軌道最優(yōu)問(wèn)題可重新表示為：u* w w*b(t)% L z(t), wtb(t), t dto切 g V g r x (t), wb(t), t ! g和j L滿足約束：” 2 M(t), wt,u。因此，問(wèn)題變?yōu)镹LP(非線其中，b(t)是基函數(shù)向量，w是常數(shù)權(quán)重向量。尋找權(quán)重向量w*最小化下式: J r Z (), wtb(t), t = j性規(guī)劃問(wèn)題)。有很多解決非線性規(guī)劃問(wèn)題的方法，包括：直接打靶法、多次直接打靶法和直接配點(diǎn)法。1.4.2間接法Eule

22、r-Lagrange 方程本文采用基于間接配點(diǎn)法的變分方法。變分法的提出，是為了解決找到使特定約束最小化(或 最大化)的函數(shù)。變分問(wèn)題描述如下：23,24J z(t),u(t),t= jlf Lz(t),u(t),tdt問(wèn)題一：給定指標(biāo)函數(shù)t0，找到最優(yōu)軌跡z*(t)和輸入控制量u*(t)，使得指標(biāo)函數(shù)加最小(或最大)，并且滿足動(dòng)態(tài)約束條件)=f z,(t),t。變分法的軌跡規(guī)劃允許對(duì)燃料消耗和避障進(jìn)行折中。使用間接優(yōu)化方法允許非線性動(dòng)態(tài)約束 和開(kāi)關(guān)控制，滿足推力器閾值約束。此外，到達(dá)時(shí)刻和終端位置都是最優(yōu)的。這里，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要 求總結(jié)出一個(gè)可以完成6自由度軌跡規(guī)劃的間接配點(diǎn)法方法?！伴g接”這個(gè)

23、詞是用來(lái)區(qū)分這兩種方法，其中一種試圖通過(guò)直接在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)近似空間中近 似最小指標(biāo)函數(shù)J日，如順序二次規(guī)劃法(“直接”法)；另一種試圖通過(guò)解一組微分方程來(lái) 最小化指標(biāo)函數(shù)(間接法)。間接變分優(yōu)化方法的目的是要推導(dǎo)一組微分方程，它的解可使J日 最小。首先，通過(guò)在指標(biāo)函數(shù)中加入時(shí)變Lagrange乘子項(xiàng)來(lái)強(qiáng)制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)約束：J z(t),v(t),t=j Lz(t),v(t),t+Xt(t)f z(t),v(t),tldt jf L z(t),v(t),tdtt0其中，e = f 如,知扇a,at0Lagrange乘數(shù)* (t)叫做協(xié)態(tài)向量，它們可以以Euler-Lagrange方程的解的形式表示:X

24、 (t)=牛z *(t), v* (t), X (t), t(2)J d!z (t ) = 7 .7 (t ) = z最小化 ，需滿足邊界約束條件z(0) z0,z(f) zf和動(dòng)態(tài)約束條件 z = (t) = fz(t),v(t),t, 一,24,25。注意到，Euler-Lagrange方程是與邊界條件耦合的二階微分方程組。除了一些特殊情況，即當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)函數(shù)f (D是線性的，并且指標(biāo)函數(shù)僅包含二次型項(xiàng)，Euler-Lagrange方程通常是非線性的。如果推力器不受限制，可以通過(guò)下式解得最優(yōu)控制輸入少(t) 250 = a z(t), V(t), tav如果推力器是有飽和的或者有其他限制(如

25、bang-bang推力器)，最優(yōu)控制輸入V*(t)根據(jù)龐德 里亞金極小值原理25 來(lái)選擇：L z(t), X(t), v*(t), t L z(t), X(t), v(t), t 其中，許可控制輸入v(t)是滿足約束條件的任意輸入值。另一種情況，通常可能會(huì)通過(guò)狀態(tài)向量 和協(xié)態(tài)向量得到v*(t)的解v*(t)=nz *(t ),X*(t)。解決任何微分方程的問(wèn)題，都需要有邊界條件。對(duì)于變分問(wèn)題，邊界條件通常是分開(kāi)的，部分邊界條件在t=0時(shí)是已知的，部分邊界條件.t=t在 f時(shí)是已知的。這就被稱為BVP (邊值問(wèn)題)。確切的邊界條件取決于問(wèn)題本身。例如，如果到達(dá)時(shí)間、起始點(diǎn)位置和終點(diǎn)位置給定，則邊

26、界條件可以通過(guò)以下形式表示：z (t0) = Z0z (t f ) = Zf如果終端時(shí)刻自由，終端位置取決于終端時(shí)刻，即z =0，則邊界條件是I-1dOL rz(t ),v*(t ),X(t ),t -Xt(t )(t ) = 0Lf f f f f dt fz (t f ) =O (t f) z (t0) = z01.4.3配點(diǎn)法求解邊值問(wèn)題有很多方法。最流行的是打靶法和它的變體25。打靶法必須為初始條件的未 知部分確定一個(gè)初始估計(jì)，對(duì)微分方程從0到tf積分，用理想值與實(shí)際值的差，用Newton法或 者其他相關(guān)方法更新估值。打靶法相當(dāng)精確，但是對(duì)初始條件估計(jì)的準(zhǔn)確性很敏感。遺憾的是， 協(xié)態(tài)方

27、程沒(méi)有一個(gè)明顯的物理意義，因此確定一個(gè)精確的初始估計(jì)可能很困難。配點(diǎn)法雖然不能和打靶方法一樣精確，但是它對(duì)初始解估計(jì)的準(zhǔn)確性沒(méi)有那么敏感。配點(diǎn)法 使用三次樣條或者其他的逼近方法去逼近微分方程的解2629。z(t) w cTb(t)zX (t) w cTb(t)這里向量Cz和向量CX是權(quán)重矢量，b(t)為基函數(shù)向量。每個(gè)基函數(shù)都以離散的時(shí)間節(jié)點(diǎn)t t t ., 一 cc .(t0，t1，.，m-1)為中心。配點(diǎn)法選擇權(quán)重矢量z和cX，使得插值解滿足邊界條件和每個(gè)節(jié)點(diǎn)上 的微分方程。cb(t) = fb(t), 丫 cTb(t), cTb(t), t , tz i L z i X i i i/J

28、- r-|cTb(t) = - 一 Ub(t), cTb(t), 丫 cTb(t), cTb(t), t , tX i6zz i X iz i X iiicTb（t0） = z0crb（t 1） = Zf其中，前兩個(gè)方程來(lái)自配點(diǎn)法要求，后兩個(gè)方程確保滿足邊界條件。邊界值問(wèn)題由此轉(zhuǎn)化為求解 權(quán)重矢量Cz和土的一個(gè)AME（代數(shù)矩陣方程）。對(duì)于一個(gè)4 -m的代數(shù)方程，其中n是狀態(tài)空 間的大小，m是節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，它的結(jié)果是：0 =中（cz, zJ = W （提該方程必須解出系數(shù)&。為了完成轉(zhuǎn)化，假設(shè)微分方程的右邊是利普希茨條件。對(duì)本文來(lái)說(shuō)， AME通過(guò)Levenberg-Marquardt方法進(jìn)行求解，

29、該方法同時(shí)具有梯度下降法的魯棒性和Newton 法的快速收斂性。為了能夠進(jìn)一步加強(qiáng)配點(diǎn)法的魯棒性，AME求解器可以融合延拓算法。這種算法可以用來(lái) 針對(duì)高非線性問(wèn)題改進(jìn)配點(diǎn)法的收斂性2729。用延拓修正方程，再去求解，例如，可以通過(guò)在 微分方程中為非線性項(xiàng)乘以一個(gè)增益。該增益起初為零，成為一個(gè)線性問(wèn)題，這樣可以很容易求 解。在每一步的迭代中，增益不斷增加，前一步的解作為當(dāng)前步的初始估計(jì)使用。當(dāng)增益達(dá)到一 致之后，這個(gè)方法就可以找到原問(wèn)題的解。1.4.5姿態(tài)描述為了規(guī)劃六自由度軌跡，必須在系統(tǒng)狀態(tài)空間中增加姿態(tài)的描述。所有的最小的（三參數(shù)） 姿態(tài)描述都在取值范圍內(nèi)某處有奇點(diǎn)。這一事實(shí)部分解釋了非最

30、小描述，如四元數(shù)法，普及應(yīng)用 的原因，因?yàn)樗鼪](méi)有奇點(diǎn)。但是遺憾的是，對(duì)于軌跡規(guī)劃問(wèn)題，使用非最小姿態(tài)描述的方法會(huì)帶 來(lái)一個(gè)很嚴(yán)重的問(wèn)題：配點(diǎn)法的AME雅克比行列式是奇異的，這樣就會(huì)給基于梯度的如Levenberg-Marquardt的AME求解器帶來(lái)問(wèn)題?？朔@種問(wèn)題的一個(gè)解決辦法就是在有利的地方 使用具有動(dòng)力學(xué)奇異的最小姿態(tài)描述。一種描述方法就是修正的Rodrigues向量，一個(gè)相對(duì)新的 三參數(shù)描述方法，僅僅是在從原姿態(tài)旋轉(zhuǎn)360時(shí)才會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)30。修正Rodrigues向量的元素=+ 2氣卞，用四元數(shù)q=m，河定義為:8 b =1 +門2b8 =相反的:1 + b Tb1 -b Tb1 +

31、 b T b修正Rodrigues向量與Euler軸k和角度之間的關(guān)系如下，,/中、b = k tan()4其中，定義Euler角的范圍0 V中 . . . U其中，p代表在非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的航天器位置，此坐標(biāo)系的原點(diǎn)固連于對(duì)接目標(biāo)航天器；v為相 關(guān)的平動(dòng)速度向量；at為對(duì)接目標(biāo)的加速度，b為修正Rodrigues向量，為在體坐標(biāo)系中 的角速度向量；m為航天器的質(zhì)量，H為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量向量。矩陣*(b)為旋轉(zhuǎn)矩陣，將體坐標(biāo)系轉(zhuǎn) 化為慣性坐標(biāo)系。該矩陣可方便地用等價(jià)的四元數(shù)法表示為R(q)=(中-t8)1 + 2跖t 2qS()1.5六自由度軌道機(jī)動(dòng)本節(jié)推導(dǎo)了有障礙物情況下姿軌耦合軌道機(jī)動(dòng)問(wèn)題的指標(biāo)函數(shù)

32、。算例中將用到的指標(biāo)函數(shù)具有以下形式J=七Lz,v, T + Lz + L+ 人tf (z,v, T)dtt controlobstacletime,，V、一 1=ftf |u(t)| + t(t)tRt(t) + aEg (v) h (p) + y +人 tf z,呼(z, X) I dt TOC o 1-5 h z t0 L 1i=1 (7)式中f ()表示航天器動(dòng)力學(xué)方程(6) ； Lcontrol =U(t)1 + T(t)T Wt為控制力的罰項(xiàng)；L =ag( v)h (p)T =obStaCl(；i=1i i 為障礙間距罰項(xiàng)；time-為完成時(shí)間罰項(xiàng)。1.5.1燃料消耗當(dāng)軌跡指標(biāo)函數(shù)

33、具有以下形式時(shí)，軌跡燃料消耗最小25J = f tf |u(t )| + t1(8)然而，由該指標(biāo)函數(shù)得到的控制律:u X -1/ mu * (t) = 0-1/ m X 1/ mI maxv ,i是不連續(xù)的，因此導(dǎo)致歐拉一拉格朗日方程右端也不連續(xù)。為克服該問(wèn)題，需使用與方程(9 )近似的連續(xù)控制律(見(jiàn)圖1)圖1控制律10 max 1。和m 1_ mu (e -1)1 2( e 1)e + 2m 2u(u m2 一 1)e + um2 一 122m(um2 + 1)e + u m2 一 1 TOC o 1-5 h z maxmax._ (2u2 m2 一 u)e1 (um2 一 1)e + u

34、m2maxmax._ (um2 一 1)e 2 一 (3u m2 一 1)eI = maxmax22m2(um2 + 1)e + u m2 一 1maxmaxu (t)=umas X+i1 v,i1s X+i2 v ,i21 f2m 2v ,iX ,i - i2S2X ,i - i1umaxX -2m - u-2m-u X , -(1 E)m-u +e /m-(1 -詞-u+e /m X . -1/m-1/ m X 1/ m1/ m X . (1 -e )m - u +e/m (1-e)m-u+e/m X 2m - u(10)當(dāng)式中e等于1時(shí)，上述控制律與最小燃耗律完全相同。本文中大部分例子將

35、使用該連續(xù)方法，e取值范圍從0開(kāi)始增長(zhǎng)到e約等于1。姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)最小能量指標(biāo)函數(shù)如下:J = j tf p T(t)t t(t) +t0式中，p為正常數(shù)。由此可得控制律為TmaxT*(t) = (人tH-1) /2p i廣，max(人tH-1) 2p T-2 p T (人tH-1) 2 p t(11)1.5.2障礙間隔作為燃料消耗懲罰項(xiàng)的補(bǔ)充，在指標(biāo)函數(shù)中引入障礙距離懲罰項(xiàng):(12), P t , 一 j . 一一 ，一式中，Oj為與第j個(gè)障礙固聯(lián)的坐標(biāo)系原點(diǎn)位置O ，b 一 ,，一j與Oj表示障礙坐標(biāo)系的方向。d(.)為航天器到障礙的距離，是障礙物外形的函數(shù)；5j為常值標(biāo)量增益。障礙罰函數(shù)g

36、()值隨著到障礙物邊緣的距離的減小而增大，且當(dāng)與障礙物的距離為某值時(shí)，罰函數(shù)值很小或?yàn)?。為使歐拉一拉格朗日方程滿足利普希茨光滑條件，英嚴(yán)七須滿足利普希茨條件；例如當(dāng)g 為C 2時(shí)，該條件成立。一種滿足這樣要求的方程由分段三次函數(shù)組成:d = d (p, p , c ) sn rOjOjk (a d 3 + a d 2 + a d + a )1 n 2 n 3 n 4式中，S通過(guò)對(duì)相對(duì)距離dr進(jìn)行縮放決定了 g ()非零區(qū)間的大小；k決定了罰函數(shù)的最大值;數(shù)3，a4的選擇標(biāo)準(zhǔn)是使g ( 40 k)，g (s) = 0島(d )/dd (s) = 0a2g(d)/dd2(s) = 0胞?r rr

37、 r；見(jiàn)見(jiàn)圖2。圖2分段三次障礙罰函數(shù)，光滑化的速度標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)有兩種策略可以使方程(12)最小。一種是通過(guò)使軌跡離開(kāi)障礙物以減小障礙物間距。另一種 是通過(guò)增大接近速度以減少接近障礙物消耗的時(shí)間(事實(shí)上，只需令-0就能使消耗任意小)。顯然，第二種方法是不適用的。作為對(duì)相對(duì)于障礙物速度增加的補(bǔ)償，需要引入：0j=1(13)J()丁 +a jgdr (p，pq .)叫(p，pq ，v，氣.)+j jj jj j,“，_-,V 式中，0.為第j個(gè)障礙坐標(biāo)系的速度，0.為其角速度。航天器與障礙物的相對(duì)速度r可由相 對(duì)距離對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得出，且速度標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)”隨七的增大而增大。很容易看出，要對(duì)速度改變進(jìn)行精確

38、校正，h(Vr )應(yīng)為七；但是絕對(duì)值的偏導(dǎo)在V廣0時(shí) 無(wú)意義，因此，歐拉一拉格朗日方程在七=0處也無(wú)意義。為解決此問(wèn)題，可以在= 0附近對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行三次插值以使其平滑:h(v )=rb v 3 + b v 2 + b v + b1 r 2 r 3 r 4V 其它其中，系數(shù)b1,，b4需滿足h( )邛dh(v )/dv () = 152h(v )Mv2() = 0，r r，r rJ且枷匕)/叩(0) = 0 (見(jiàn)圖2)。由于仞牧,)/存在且有界，該方程滿足利普希茨條件。1.5.3歐拉一拉格朗日方程與性能函數(shù)對(duì)應(yīng)的歐拉一拉格朗日方程為:V = bl |3口 p + R(b)u(t)(.a.=扁

39、F入=X +E vp j=iq = G (q)wq、ppt入1+ E ah(v )j=iOh(v) Ova t.jOvr, jOg(d ) OdOh(v ) OvFTrg (d )OdOpOvOpr ,jW = H-1S(Hw)w + T(t)O哄wOq0S(Hw)wOwTH-1,t XG (q)人 q q(14)g,h,d的大小如前文定義。式中，U(t)由方程(10)計(jì)算，T(t)由方程(11)計(jì)算。1.6結(jié)果翻滾目標(biāo)對(duì)接下面的例子描述了一個(gè)對(duì)自主衛(wèi)星服務(wù)來(lái)說(shuō)很現(xiàn)實(shí)的任務(wù)，但超出了現(xiàn)有航天器軌跡規(guī)劃程 序的能力。一個(gè)與ISS同軌道且在其后方約63km處的衛(wèi)星發(fā)生故障并開(kāi)始翻滾。將衛(wèi)星視作直

40、徑3m的球體，且兩側(cè)各有一沿y軸伸出體外7m的太陽(yáng)能電池板。電池板寬3m。衛(wèi)星上對(duì)接 點(diǎn)位于兩太陽(yáng)能電池板正中的星體上。衛(wèi)星相對(duì)于慣性系的俯仰角速率為0，即相對(duì)ISS的俯仰 角速率約為1.14X 10-3rad/s （每92min旋轉(zhuǎn)一周）。其偏航角速率約為5.2X 10-2rad/s （每2min 旋轉(zhuǎn)一周）。要求設(shè)計(jì)一條服務(wù)星軌跡，軌跡的起點(diǎn)位于服務(wù)星在ISS上對(duì)接位置，距ISS中心 的距離為10m，且面向地球，終點(diǎn)是服務(wù)星要與翻滾衛(wèi)星對(duì)接。翻滾衛(wèi)星如圖3所示。圖3翻滾衛(wèi)星模型（衛(wèi)星俯仰角速率為1.14X10-3rad/s,偏航角速率為5.2X 10-2rad/s。初始軌道速度方向沿z軸正

41、向）假設(shè)機(jī)器人服務(wù)航天器的質(zhì)量為2000kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1=32。 ml S 2。沿各軸 的最大作用力為1000N，最大作用力矩為2000Nm。力矩罰函數(shù)增益是10，時(shí)間增益Y是 0。如前例，采用千米、分和服務(wù)衛(wèi)星質(zhì)量單位構(gòu)成非標(biāo)準(zhǔn)單位制對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述。而在表示結(jié) 果時(shí)，須轉(zhuǎn)化回標(biāo)準(zhǔn)單位制。結(jié)果如圖4所示。該軌跡需要81611際的推力，66.5Nms的力矩?？倷C(jī)動(dòng)時(shí)間為2728s （45.46 min ）。整個(gè)軌道攔截軌跡見(jiàn)圖4。衛(wèi)星最后逼近段的時(shí)序顯示在圖5中。近距離觀 察顯示服務(wù)衛(wèi)星在對(duì)接前“起旋”并持續(xù)了數(shù)分鐘，以應(yīng)對(duì)目標(biāo)衛(wèi)星的偏航轉(zhuǎn)動(dòng)。圖4服務(wù)衛(wèi)星對(duì)接問(wèn)題軌跡。每隔約30s顯示一次服務(wù)衛(wèi)

42、星體坐標(biāo)軸圖5服務(wù)衛(wèi)星逼近軌跡，每2s顯示一次服務(wù)衛(wèi)星體坐標(biāo)軸該算例證明此軌跡規(guī)劃程序能夠解決需要質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)高度協(xié)調(diào)的問(wèn)題。在前面的例 子中，也可以獲得滿足bang-coast-bang （開(kāi)-關(guān)-開(kāi)）推力器約束的軌跡。最后，這個(gè)例子也說(shuō)明 了該軌跡規(guī)劃器能解決航天器飛行足夠遠(yuǎn)距離的問(wèn)題，這種情況下不能使用Hill方程或其他線性 化相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道方程。因此該軌跡規(guī)劃器能夠解決那些現(xiàn)有的軌跡規(guī)劃器所不能解決的問(wèn)題。1.7結(jié)論由以上算例可以看出，文中論述的變分軌跡規(guī)劃算法能夠滿足引言中提出的要求。該算法具 有下列特點(diǎn)：能夠在存在靜止或運(yùn)動(dòng)障礙的情況下獲得自由路徑；能夠在有引力場(chǎng)和其它環(huán)境力作

43、用的情況下尋找得到最小燃料消耗軌跡；能夠處理大范圍端點(diǎn)約束與時(shí)間尺度問(wèn)題；考慮了現(xiàn)實(shí)的航天器動(dòng)力學(xué)模型；考慮了現(xiàn)實(shí)的推力器，包括bang-coast-bang(開(kāi)-關(guān)-開(kāi))推力器。同時(shí)，本文使用的動(dòng)力學(xué)模型并非其它大部分軌跡規(guī)劃法所采用的線性化模型。因此，相比 其它軌跡規(guī)劃法，該算法能獲得更大距離范圍的最小燃料消耗軌跡。另外，變分軌跡規(guī)劃法不局 限于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃；如最后一個(gè)例子所示，該方法能夠解決姿軌緊耦合問(wèn)題。綜合以上特點(diǎn), 可以看出，本文介紹的變分軌跡規(guī)劃法對(duì)當(dāng)前的軌跡規(guī)劃有著深遠(yuǎn)的意義。參考文獻(xiàn)Hohmann, W.(1925) Die erreichbarkeit der himm

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