大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義-弦振動(dòng)與駐波研究

1、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義主講教師：鄧小輝 弦振動(dòng)與駐波研究1 觀察在弦上形成的駐波；2確定弦線振動(dòng)時(shí)駐波波長(zhǎng)與張力的關(guān)系；3學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)作圖和最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。在一根拉緊的弦線上，其中張力為T ，線密度為，則沿弦線傳播的橫波應(yīng)滿足下述運(yùn)動(dòng)方程：2y t2T 2yx2(1)式中 x 為波在傳播方向(與弦線平行)的位置坐標(biāo)，y 為振動(dòng)位移。將(1) 式與典型的波動(dòng) 方程相比較，即可得到波的傳播速度若波源的振動(dòng)頻率為f ，橫波波長(zhǎng)為，由于波速V f ，故波長(zhǎng)與張力及線密度之間的關(guān)系為：(2)1T f為了用實(shí)驗(yàn)證明公式(2) 成立，將該式兩邊取對(duì)數(shù)，得：11lg 2lgT 2lg lg(3)固定頻率f 及線

2、密度，而改變張力T ，并測(cè)出各相應(yīng)波長(zhǎng)，作 lg -lg T 圖，若得一直線，計(jì)算其斜率值(如為1 ) ，則證明了 T 12的關(guān)系成立。2弦線上的波長(zhǎng)可利用駐波原理測(cè)量。當(dāng)兩個(gè)振幅和頻率相同的相干波在同一直線上相向傳播時(shí)，其所疊加而成的波稱為駐波，一維駐波是波干涉中的一種特殊情形。在弦線上出現(xiàn)許多靜止點(diǎn)，稱為駐波的波節(jié)。相鄰兩波節(jié)間的距離為半個(gè)波長(zhǎng)?！緦?shí)驗(yàn)儀器】1、可調(diào)頻率數(shù)顯機(jī)械振動(dòng)源；2、振動(dòng)簧片；3、弦線（銅絲）； 4、可動(dòng)刀片支架；5、可動(dòng)刀口支架；6、標(biāo)尺；7、固定滑輪；8、砝碼與砝碼盤；9、變壓器;10 、實(shí)驗(yàn)平臺(tái)；11、實(shí)驗(yàn)桌1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖51 、電源開(kāi)關(guān)實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示

3、，金屬弦線的一端系在能作水平方向振動(dòng)的可調(diào)頻率數(shù)顯機(jī)械振動(dòng)源的振簧片上，頻率變化范圍從0-200Hz 連續(xù)可調(diào)，頻率最小變化量為0.01Hz，弦線一端通過(guò)定滑輪懸掛一砝碼盤；在振動(dòng)裝置（ 振動(dòng)簧片） 的附近有可動(dòng)刀片支架，在實(shí)驗(yàn)裝置上還有一個(gè)可沿弦線方向左右移動(dòng)并撐住弦線的可動(dòng)刀口?；喒潭ㄔ趯?shí)驗(yàn)平臺(tái)上，其產(chǎn)生的摩擦力很小，可以忽略不計(jì)。若弦線下端所懸掛的物體的質(zhì)量為m （包含砝碼和砝碼盤及懸線的質(zhì)量），張力 T mg 。當(dāng)波源振動(dòng)時(shí)，即在弦線上形成向右傳播的橫波；當(dāng)波傳播到可動(dòng)刀口與弦線相交點(diǎn)時(shí)，由于弦線在該點(diǎn)受到刀口兩壁阻擋而不能振動(dòng)， TOC o 1-5 h z 波在切點(diǎn)被反射形成了向左

4、傳播的反射波。這種傳播方向相反的兩列波疊加即形成駐波。當(dāng)振動(dòng)端簧片與弦線固定點(diǎn)至可動(dòng)刀口與弦線交點(diǎn)的長(zhǎng)度L 等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，即可得到振幅較大而穩(wěn)定的駐波，振動(dòng)簧片與弦線固定點(diǎn)為近似波節(jié)，弦線與可動(dòng)刀口相交點(diǎn)為波節(jié)。它們的間距為L(zhǎng) ，則L n（4）2其中 n 為任意正整數(shù)。利用式（4） ，即可測(cè)量弦上橫波波長(zhǎng)。由于簧片與弦線固定點(diǎn)在振動(dòng)不易測(cè)準(zhǔn)，實(shí)驗(yàn)也可將最靠近振動(dòng)端的波節(jié)作為L(zhǎng) 的起始點(diǎn)，并用可動(dòng)刀口指示讀數(shù)，求出該點(diǎn)離弦線與可動(dòng)刀口相交點(diǎn)距離L 。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將變壓器（黑色殼）輸入插頭與220V交流電源接通，輸出端（五芯航空線） 與主機(jī)上的航空座相連接。打開(kāi)數(shù)顯振動(dòng)源面板上的電源開(kāi)關(guān)（振動(dòng)

5、源面板如圖2 所示） 。面板上數(shù)碼管顯示振動(dòng)源振動(dòng)頻率. Hz。 根據(jù)需要按頻率調(diào)節(jié)中（增加頻率）或（減小頻率）鍵，改變振動(dòng)源的振動(dòng)頻率，調(diào)節(jié)面板上幅度調(diào)節(jié)旋鈕，使振動(dòng)源有振動(dòng)輸出；當(dāng)不需要振動(dòng)源振動(dòng)時(shí)，可按面板上復(fù)位鍵復(fù)位，數(shù)碼管顯示全部清零?！緦?shí)驗(yàn)步驟】組 裝好實(shí)驗(yàn)裝置。將變壓器（黑色殼）輸入插頭與220V 交流電源接通。打開(kāi)數(shù)顯振動(dòng)源面板上的電源開(kāi)關(guān)，并能頻率調(diào)節(jié)鍵，設(shè)定一個(gè)波源振動(dòng)的頻率（ 一般取為100Hz，若振動(dòng)振幅太小，可將頻率取小些，比如90Hz） 。在砝碼盤上添加不同質(zhì)量的砝碼，以改變同一弦上的張力T（ 見(jiàn)數(shù)據(jù)記錄表） 。每改變一次張力（ 即增加一次砝碼） ， 均要左右移動(dòng)可

6、動(dòng)刀口的位置，使弦線出現(xiàn)振幅較大而穩(wěn)定的駐波，并把可動(dòng)刀片支架移至第二個(gè)節(jié)點(diǎn)。用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的標(biāo)尺測(cè)量每種情況下支架和之間的距離L 值，數(shù)出L 范圍內(nèi)的半波數(shù)，根據(jù)式（4） 算出波長(zhǎng)，并記錄對(duì)應(yīng)砝碼質(zhì)量?！緮?shù)據(jù)記錄與處理】列表記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)波源振動(dòng)頻率f （） Hz， m0為砝碼盤和懸線的質(zhì)量，L 為產(chǎn)生駐波的弦線長(zhǎng)度，n 為在 L 長(zhǎng)度內(nèi)半波的波數(shù)（n 不能太?。?，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。 附： 重力加速2度 g 9.794m /s ； m0 = （+h ） k , 其 中 h 為 懸 線 長(zhǎng) 度 、0.001604kg / m 是銅線的線密度。表 1 給定頻率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表m/kg(m+m0)/

7、kgT/NlgTL/mn /mlg3175.00 10-3150.00 10-33125.00 10-3100.00 10-375.00 10-3下面取如下數(shù)據(jù)作為例子，給出理論值。波源振動(dòng)頻率f （100） Hz， m0為砝碼盤和懸線的質(zhì)量，L 為產(chǎn)生駐波的弦線長(zhǎng)度，n 為在 L 長(zhǎng)度內(nèi)半波的波數(shù)（ n 不能太?。?，2實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。 附： 重力加速度g 9.794m /s ； m0 =（ 38.50*10 + h ） k =0.03880kg, 其中h=21.00*10 -2m 為懸線長(zhǎng)度、0.001604kg /m 是銅線的線密度。表 2 給定頻率f =100Hz, m0 =0.

8、03880kg 的理論數(shù)據(jù)表（此表不要寫(xiě)進(jìn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告冊(cè)）m/kg( m+m0 )/kgT/N /m25.00 10-363.80 10-30.62490.1974350.00 10-3388.80 10-30.86970.232975.00 10-3113.80 10-31.1150.2637-3100.00 10-3-3138.80 10-31.3590.2911125.00 10-3163.80 10-31.6040.3162理論上，不同條件下的波長(zhǎng)差應(yīng)該滿足如下規(guī)律：iMi) 0.781( Mi 1 Mi)0.781Mi1 Mi25 克 0.781大家可以根據(jù)上述理論結(jié)果來(lái)粗略地判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)

9、果的準(zhǔn)確性。數(shù)據(jù)處理（ 1） 利用最小二乘法擬合出log log T的線性回歸方程（最小二乘法見(jiàn)附錄部分）要求用計(jì)算機(jī)打印出擬合曲線圖并在圖上給出擬合公式和相關(guān)系數(shù)（令x logT ，y log ） 。（ 2）寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)總結(jié)（包括自己對(duì)實(shí)驗(yàn)的看法或者體會(huì)，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性以及是否達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康模??！咀⒁馐马?xiàng)】1、須在弦線上出現(xiàn)振幅較大而穩(wěn)定的駐波時(shí)，再測(cè)量駐波波長(zhǎng)。2、張力包括砝碼與砝碼盤的質(zhì)量，砝碼盤的質(zhì)量用天平稱量。3、當(dāng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)波源發(fā)生機(jī)械共振時(shí)，應(yīng)減小振幅或改變波源頻率，便于調(diào)節(jié)出振幅大且穩(wěn)定的駐波?！舅伎碱}】求 時(shí)為何要測(cè)幾個(gè)半波長(zhǎng)的總長(zhǎng)？為了使 log - log T 直線圖上的數(shù)據(jù)

10、點(diǎn)分布比較均勻，砝碼盤中的砝碼質(zhì)量應(yīng)如何改變？附錄：最小二乘法線性擬合設(shè)兩個(gè)物理量x、 y 滿足線性關(guān)系y = a+bx， 等精度地測(cè)得一組互相獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（來(lái)推算a 和 b）xi ， yi i = 1, .,nyi 值與擬合直線上的a +bxi之間偏差的平方和最小，即殘差(A-1)(A-2)yixin xi yii1 i i1ii1i in 2 n2xi nxii1i1(A-3)ni1xi yinn2yi xi2i1 i 1nxii1nnxi2i12xy x x yy bx . (a-4)n2Qyi (a bxi ) i1取小。所得系數(shù)a,b最好 ,擬合公式即為最佳經(jīng)驗(yàn)公式。由QnQ2yi(a bxi )( 1) 0a i1QnQ 2yi(a bxi )( xi ) 0bi1 ii i得 出 a,b 最佳值為x y xyxx將 a和 b 值帶入線性方程y a bx，即得到線性回歸方程。我們根據(jù)(A-3)和 (A-4)，就可以擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到線性回歸方程。但是，不論測(cè)量數(shù)據(jù)xi , yi 是不是