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1、3.4 (2) 曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)Concavity and Points of Inflection1一、曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)觀(guān)察：曲線(xiàn)的彎曲方式曲線(xiàn)弧：上凹曲線(xiàn)?。荷贤瓜以诨∩戏较以诨∠路?凹弧的定義：3凸弧的定義：4如何判斷曲線(xiàn)的凹凸？設(shè)曲線(xiàn)弧上凹單增Concave upward下凸5設(shè)曲線(xiàn)弧上凸單減Concave downward下凹6反之，能否由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷曲線(xiàn)的凹凸？答案是肯定的定理 2 (曲線(xiàn)凹凸性的判定定理）設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo)，那么 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 0，則曲線(xiàn) y = f(x)在a, b上是凹的 若在

2、(a, b) 內(nèi) f (x) 0，則曲線(xiàn) y = f(x)在a, b上是凸的7證8設(shè)將函數(shù)在(a, b)內(nèi)展開(kāi)為一階 Taylor 公式：9正的不等式成立10推論：可以推廣到 n 個(gè)數(shù)的情形11拐點(diǎn)inflection point拐點(diǎn) (x0, f(x0): f(x0) 在點(diǎn) x0 兩側(cè)異號(hào)12拐點(diǎn)inflection point可能出現(xiàn)拐點(diǎn)的點(diǎn) x0: f (x0) = 0 或 f (x0) 不存在13求曲線(xiàn)凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟：p.14914例 9 求下列曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解15求下列曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)凸區(qū)間：凹區(qū)間：拐點(diǎn)：16with(plots):A:=plot(2*x3+3*x2-12*x+14,x=-4.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);證明：三次曲線(xiàn)恰有一個(gè)拐點(diǎn)且三次曲線(xiàn)關(guān)于其拐點(diǎn)對(duì)稱(chēng)17例 10 求下列曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解18求下列曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)拐點(diǎn)：19with(plots):A:=plot(3*x4-4*x3+1,x=-0.5.1.3):display

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