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文檔簡介

1、一、余弦定理余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦222222c a b 2abC .222為了敘述的方便與統(tǒng)一,我們證明以下問題即可:A222 證法一:如圖 1,在ABC中,由 可得:C2222AB1222證法二:本方法要注意對A進(jìn)行討論.A2222222(2)當(dāng)A是銳角時,如圖 2-1,過點C作CD AB,交于點D,則在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.C 222(cbcosA) (bsin A)22ADB2圖2-1.下載可編輯.222說明:圖 2-1 中只對 是銳角時符合,而 還可以是直角或鈍角.若 是直角,圖中的BBBBBDA在 Rt

2、ACD中,bAC222(cbcosA) (bsin A)222ABD222222ADCBDAD在RtABD中,sin ccDCDAD在RtACD中,sin bbAB3 2cb2 2 c b 222222222222222abcc A B C AB).下載可編輯.A將,平方相加可得a (cbcos) (bsin ) b c bccosA.22222222證法五:建立平面直角坐標(biāo)系(如圖 4),則由題意可得yCA可得a (cbcosA) (bsin A) c 2cbAb .22222xA(O)B圖4222證法六:在ABC中,由正弦定理可得a 2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a

3、4R sin A 4R sin (BC)22222 4R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin BsinCcosBcosC)22222 4R (sin Bsin C2sin Bsin C2sin BsinCcosBcosC)22222 4R (sin Bsin C 2sin BsinCcos(BC)222 4R (sin Bsin C 2sin BsinCcos)222(2RsinB) (2RsinC) 2(2RsinB)(2RsinB)cos A2222222 4R sin A4R sin B4R sin C8R sinBsinCA2222222 2sin A2sin B2sin C4sin BsinCA222 2sin A2cos2Bcos2C4sin BsinCA2 22cos A 22cos(BC)cos(BC)4sin BsinCcos A2 cos Acos(BC)cos(BC)2sin BsinCcosA2.下載可編輯.FFEAcaGbbAC由相交弦定理可得: ,bc bA cb a b aD5222證法九:如圖6,過C作CD,交ABC的外接圓于D,則AD BC a,BD AC b.的垂線,垂足分別為 , ,則E FAACDbaa222證法十:由圖 7-1 和圖7-2 可得a (cbcosA) (bsin

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