高中數(shù)學 一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計 課件

1、主講人：松崗中學 陳爽深圳市新課程新教材高中數(shù)學在線教學8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計 為了研究兩個變量之間的相關關系，我們建立了一元線性回歸模型，表達式 刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關關系，其中參數(shù)a和b未知，需要根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)進行估計. 由模型的建立過程可知，參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關系,因此通過成對樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)，相當于尋找一條適當?shù)闹本€，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近.問題1從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”？思路1：先畫出一條直線，測量出各點到直線的距離，然后移動直線，到達一個使距

2、離的和最小的位置，測量出此時的斜率和截距，就得到一條直線160 165 170 175 180 185圖 8.2-2兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160問題1從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”？思路2：可以在散點圖中選兩點畫一條直線，使得直線兩側點的個數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線160 165 170 175 180 185圖 8.2-3兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160問題1從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”？160 165 170 17

3、5 180 185圖 8.2-4兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160思路3：在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距160 165 170 175 180 185圖 8.2-5兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2), (xn,yn)設 表示點 到直線 的距離，表示點 到直線的豎直距離， 表示直線 的傾斜角，則 ，所以思路1可以用中的距離可以用豎直距離替換. 160 165 170 175 18

4、0 185圖 8.2-5兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2), (xn,yn)由 ，得 .顯然 越小，表示點 與點 的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點離直線的豎直距離越小.因此可以用這n個豎直距離之和 來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線 的“整體接近程度”. 問題2如何求a，b的值，使 最??？記注意到所以當 取最小值時， 取最小值0，即 .此時上式是關于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當且僅當b的取值為綜上，當a,b的取值為時， Q達到最小.我們將 稱為Y 關于x 的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸

5、函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估計易得:（1）經(jīng)驗回歸直線必過樣本中心 ; （2） 與相關系數(shù)r符號相同.問題3如何理解經(jīng)驗回歸直線？160 165 170 175 180 185圖 8.2-6兒子身高/cm父親身高/cm1901851801751701651601)當x=176時， ,如果一位父親身高為176cm,他兒子長大后身高一定能長到177cm嗎？為什么？2)根據(jù)模型，父親身高為多少時，兒子的平均身高與父親的一樣？1)當x=185時， 1)當x=170時， 問題3如何理解經(jīng)驗回歸直線？160 165 170 175 180 185圖 8.2-6兒子身高/cm父親身高/cm1901851801751701651603)斜率0.839有什么含義？對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的 稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.問題4如何判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果？圖 8.2-7父親身高/cm160 165 170 175 180 18554321012345殘差/cm問題5觀察以下四幅殘差圖