2022年三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)情形：前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,我們是借助于單位圓推導(dǎo)出來的摸索：我們能否借助三角函數(shù)的圖象來推導(dǎo)或直接得出三角函數(shù)的一些性質(zhì)呢？1“ 五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)圖象的五個(gè)點(diǎn)是,答案: 0,0 ,1 ,0 3 2,1 2,0 22“ 五點(diǎn)法”作余弦函數(shù)圖象的五個(gè)點(diǎn)是,第 1 頁(yè),共 19 頁(yè)答案: 0,1 ,1 3 2 ,0 2,1 2 ,0 3作正,余弦函數(shù)圖象的方法有二：一是 來畫的幾何法答案: 描點(diǎn)法 三角函數(shù)線；二是利用4 作正弦函數(shù)的圖象可分兩步：一是畫出的圖象,二是把這一圖象向 個(gè)單位長(zhǎng)度連續(xù)平行移動(dòng)每次平移2答案: ysin x,x0,2 左右；余弦曲5正弦

2、曲線關(guān)于對(duì)稱；正弦函數(shù)是線關(guān)于對(duì)稱,余弦函數(shù)是偶函數(shù)答案: 原點(diǎn)奇函數(shù)y 軸6正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從1 增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從1 減小到1. 答案: 2k ,2k kZ 2k ,2k3 2 222 kZ 7余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從1 增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從1 減小到1. 第 2 頁(yè),共 19 頁(yè)答案: 2 k,2k kZ 2k,2k kZ 8正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得最小值1. 答案: 2k 2 kZ 2k2 kZ 9余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取得最小值1. ,值域?yàn)榇?/p>

3、案: 2kkZ 2k kZ 10正切函數(shù)ytan x 的定義域是；正,余弦函數(shù)的定義域是,值域是答案: x xk ,kZ RR 1,1 211正切函數(shù)為函數(shù)填“奇”或“偶” 答案: 奇12正切函數(shù)ytan x 在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)均為答案: k, k kZ 增函數(shù)2213利用正切線可以得到y(tǒng)tan x 在內(nèi)的圖象,把所得圖象左右連續(xù)平移個(gè)單位,可得ytan x 在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象答案: , 22第 3 頁(yè),共 19 頁(yè)14正切曲線的簡(jiǎn)圖可以用“三點(diǎn)兩線法”,這里的三個(gè)點(diǎn)為,；兩直線為 ,答案: k ,1 k,0 k,1 kZ 44xk xk 22 kZ 15正切函數(shù)ytan x 的對(duì)稱中心為答案:

4、 k ,0 kZ 216正,余弦函數(shù)的圖象是連續(xù)的,而正切函數(shù)的圖象不連續(xù),它被許多條垂直于x 軸的直線分隔開來而正切答案: xk 2 kZ 17正,余弦函數(shù)既有單調(diào)遞增區(qū)間又有單調(diào)遞減區(qū)間,函數(shù)在每一個(gè)上都是增函數(shù)答案: k ,k kZ 22第 4 頁(yè),共 19 頁(yè)五點(diǎn)法畫圖 函數(shù)ysin x 在x0,2 的圖象上,起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)只有 以下五個(gè)：0,0, ,1 ,0,3 2,1 ,2,02事實(shí)上,描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)ysin x 在x0 ,2 的圖象的形狀就基本上確定了因此,在精確度要求不太高時(shí),我們經(jīng)常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑曲線將它們連接起來,就可得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖今后,我們將經(jīng)

5、常使用這種近似的“五點(diǎn) 畫圖法”同樣,在函數(shù)ycosx,x0,2 的圖象上,起著關(guān)鍵作用的 點(diǎn)是以下五個(gè)：0,1, ,0 ,1,3 2,0 ,2,12與畫函數(shù)ysin x,x0,2 的簡(jiǎn)圖類似,通過這五個(gè)點(diǎn),可 以畫出函數(shù)ycosx 在x0,2 的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù),余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)ysin x,余弦函數(shù)ycos x,xR 的性質(zhì)：1定義域正弦函數(shù),余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集 R. 2值域正弦函數(shù),余弦函數(shù)的值域都是1,11,當(dāng)且僅正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x2 2k kZ 時(shí)取得最大值第 5 頁(yè),共 19 頁(yè)當(dāng) 1；而余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x x2 2k kZ 時(shí)取得最小值2kkZ 時(shí)取得最大值 得最小值

6、1. 3周期性1,當(dāng)且僅當(dāng)x2kkZ 時(shí)取正弦函數(shù),余弦函數(shù)都是周期函數(shù),并且周期都是 2 . 4奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；余弦函數(shù)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱5單調(diào)性 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間22k,22k kZ 上都是單調(diào)增函數(shù),其值從1 增大到 1 ；在每一個(gè)閉區(qū)間 3 22k,22k kZ 上都是單調(diào)減函數(shù),其值從1 減小到1. 類似地,余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間2 k1,2k kZ 上都是單調(diào)增函數(shù),其值從1 增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間2k,2k1 kZ 上都是單調(diào)減函數(shù),其值從 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 正切函數(shù)ytan x,xR,x 2 k,kZ 的圖象,叫做正 切曲線如

7、下圖所示正切函數(shù)的性質(zhì)：1定義域?yàn)?x xR,且x 2 k,kZ. 2值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R. 第 6 頁(yè),共 19 頁(yè)3周期性正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是 . 4奇偶性奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5單調(diào)性每個(gè)開區(qū)間 kZ 都是函數(shù)y 2 k,2 k tan x 的單調(diào)增區(qū)間難點(diǎn)釋疑：正切曲線是被相互平行的直線 所x2 k,kZ 隔開的無窮多支曲線組成的,直線x2 k,kZ 是圖象的漸近線 由于正切函數(shù)的定義域必需去掉x2k,kZ 各點(diǎn),故正切函數(shù)圖象與直線 x2k,kZ 無交點(diǎn)；又由于正切函數(shù)的值域?yàn)镽,無最大值,最小值,故其圖象向上,下無限延長(zhǎng)；由于周期是 ,所以圖象每隔 長(zhǎng)度重復(fù)顯現(xiàn)；由于正切函數(shù)的單

8、調(diào)性表現(xiàn)為在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)只增不減,故圖象是由一系列重復(fù)顯現(xiàn)的上升曲線構(gòu) 成,而在,2 2 內(nèi),當(dāng)x 向右無限接近于x時(shí),函數(shù)值不斷增 2 大,趨于正無窮大,圖象無限接近于x2 ,但永不相交；當(dāng) x 向左 無限接近于x2 時(shí),函數(shù)值不斷變小,趨于負(fù)無窮大,圖象無限 接近于x2 ,但永不相交,故 x 為正切函數(shù)圖象的漸近線,2第 7 頁(yè),共 19 頁(yè)由周期性知,直線 x2 k,kZ 是圖象的漸近線基礎(chǔ)鞏固1以下函數(shù)的圖象相同的是Aysin x 與ysinx Bysin x 與ysin x 22Cysin x 與ysinx Dysin2x與ysin x 答案：D 2函數(shù)y1sin x,x0,2上

9、的大致圖象是答案：B 3把函數(shù)ysin x 的圖象向 可得ycos x 的圖象答案：左 2平移個(gè)單位長(zhǎng)度第 8 頁(yè),共 19 頁(yè)4函數(shù)fxsin 2x3 2的奇偶性為答案：偶函數(shù)5已知a R,函數(shù)fxsin 于答案：0 x|a|,xR 為奇函數(shù),就a 等6使函數(shù)ysin2x為奇函數(shù)的 值可以是 C 3 D. 2A. 4 B. 2 答案：C 7y3tan 1 2 x 的一個(gè)對(duì)稱中心是3A. ,0 B. 2 3,3 36C. 2 ,0 D0,0 3答案：C 8函數(shù)y2sin x 0 x 9的最大值與最小值之和為63C 1 D13A23 B0 答案：A 9函數(shù)fxtan x0 的圖象的相鄰兩支截直線

10、y 所得4線段長(zhǎng)為 ,就f 的值是 44 A. 4 B0 C1 D2 第 9 頁(yè),共 19 頁(yè)解析：ytan x 的周期T , ,故 y4 與ytan x 的圖象的交點(diǎn)中相鄰兩點(diǎn)間的距離為 ,4,f xtan 4x. 4f tan 4 tan 0,應(yīng)選B. 44答案：B 10函數(shù)ysin xtan x 的定義域?yàn)榇鸢福簒|2k x2k ,kZ x|x2k,kZ 211函數(shù)ylg tan x16x2的定義域?yàn)榇鸢福? 0, ,4 22才能升級(jí)為12已知fxxsin x,xR.就f ,f1及f 的大小關(guān)系4 3解析：f sin 4 sin sin ,sin sin 1sin . 3 3 33第 1

11、0 頁(yè),共 19 頁(yè)f f1f . 0 xf1f 3413已知fx是定義在3,3上的奇函數(shù),當(dāng)?shù)膱D象如下列圖,那么不等式fxcos x0 的解集是解析：fx是3,3上的奇函數(shù),gxf x cos x 是3, 3 上的偶函數(shù),從而觀看圖象可知解集為：,1 20 , 1. 2 ,3 答案：2,1 0,12,3 1 ,x2,2的單調(diào)遞增區(qū)間14求函數(shù)ycos 2 x3 解析：令z1x2 3 . 函數(shù)ycosz 的單調(diào)遞增區(qū)間是2k,2k,kZ. 由2k21 4 x 3 2k 得4k3 x4k3 2 kZ 取k0,得4 x 2 ,33而4 2 ,32,2,3第 11 頁(yè),共 19 頁(yè)因此,函數(shù)ycos

12、 1 x2 3,x2,2 的單調(diào)遞增區(qū)間是4 ,2 . 332x 的單調(diào)區(qū)間3 1 sin 15求函數(shù)y2 4 解析：y1sin 2 43 2x 2 1sin 2x 3 4 . 故由 2k2 3 4 2k 2x 2 kZ . 3k3 8x3k9 8 kZ ,由2k2 2x 3 4 2k2 3 kZ. 3k8 9 x3k 21 3 9 8 kZ 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 3k8 ,3k8 kZ ,9 21 kZ 單調(diào)遞增區(qū)間為3k8 ,3k816已知函數(shù)fx3sin 象的對(duì)稱軸完全相同,如x x6和gx2cos2x1的圖 0,2,就fx的取值范疇是 解析：由題意知,2,x0,2, 5 .由三角函數(shù)圖

13、象知：2x6 6 ,6第 12 頁(yè),共 19 頁(yè) 3 f x的最小值為3sin 6,最大值為3sin 3,f x 的取 2 2值范疇是3,3 . 2答案：3 ,3 217使sin xcosx 成立的x 的一個(gè)區(qū)間是 A. 3 , A 選項(xiàng)才能中意4B. 2 ,42 3 D0, C. 4 ,4解析：作出它們的圖象,在四個(gè)選項(xiàng)中,只有正弦圖象在余弦圖象下方答案：A 18函數(shù)y3cos2x4cos x1,x0,2的值域是 34 解析：y3 cos xcos x341431 2 時(shí),ymax15 4,函數(shù)y 932 2 1. cosx3 3 x0,2 ,cos x12 ,1 . 32 當(dāng)cos x3 時(shí),ymin 1 3；當(dāng)cos x的值域?yàn)? 15 3,4 . 第 13 頁(yè),共 19 頁(yè)答案：1 15 3 419如函數(shù)ysin x2|sin x|,x0 ,2 的圖象與直線 yk 有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),就解析：ysin x2|sin x|圖象如下：k 的取值范疇是3sin x,sin x 0,sin x,sin x0的周期之和為3 ,且f g ,f 3g 22244求這兩個(gè)函數(shù),并求gx的單調(diào)增區(qū)間2 3解析：由條件得k k 2 ,k2. 由f g ,得a2b.2 2 由f 3g 1,得a22b.4 41由解得a1,b2 . f xsin