2022年三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教案

1、學習好資料 歡迎下載1.6 三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用 一、教學分析 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型 ,可以用 來爭論許多問題 ,在刻畫周期變化規(guī)律、猜測其將來等方面都發(fā)揮著 非常重要的作用 . 三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用的設(shè)置目的,在于加強用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學習 .本節(jié)教材通過 4 個例題 ,循序漸進地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的挑選上留意了廣泛性、真實性和新奇性 ,同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì) 特殊是周期性 的應(yīng)用 . 通過引導(dǎo)同學解決有肯定綜合性和摸索水平的問題 ,培育他們綜合應(yīng)用數(shù)學和其他學科的學問解決問題的才能.培育同學的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、

2、抽象概括等才能 .由于實際問題經(jīng)常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù) ,因此要勉勵同學利用運算機或運算器處理數(shù)據(jù) ,包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點圖 ,依據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合等 . 二、教學目標1、學問與技能：把握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟 :1 依據(jù)圖象建立解析式 ; 2 根據(jù)解析式作出圖象 ; 3 模型. 2、過程與方法：將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)挑選合理三角函數(shù)模型解決實際問題,留意在復(fù)雜的背景中抽取基本 的數(shù)學關(guān)系,仍要調(diào)動相關(guān)學科學問來幫忙懂得問題；切身感受數(shù)學建 模的全過程,體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用及數(shù)學和日常 生活和其它學科的聯(lián)系；3、情態(tài)與價值：學習好資料 歡迎下載培育同學數(shù)學應(yīng)

3、用意識 ; 提高同學利用信息技術(shù)處理一些實際運算的才能；三、教學重點與難點 教學重點 :分析、整理、利用信息 ,從實際問題中抽取基本的數(shù)學關(guān)系來建立三角函數(shù)模型 律的實際問題 . ,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)教學難點 :將某些實際問題抽象為三角函數(shù)的模型 ,并調(diào)動相關(guān)學科的學問來解決問題 . 四、教學設(shè)想：三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用（一）一、導(dǎo)入新課思路 1.問題導(dǎo)入 既然大到宇宙天體的運動,小到質(zhì)點的運動以及現(xiàn)實世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在 ,那么到底怎樣用三角 函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此綻開新課 . 思路 2.我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的概念、圖

4、象與性質(zhì) ,特殊爭論 了三角函數(shù)的周期性 .在現(xiàn)實生活中 ,假如某種變化著的現(xiàn)象具有周期 1 第三章其次節(jié) 性,那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必修“ 函數(shù)模型及其應(yīng)用”,面臨一個實際問題 ,應(yīng)當如何挑選恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個詳細例子 ,來爭論這種三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用 . 二、推動新課、新知探究、提出問題回憶從前所學 ,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常學習好資料. 歡迎下載用來描述現(xiàn)實世界中的哪些規(guī)律的數(shù)學模型是什么 ,建立數(shù)學模型的方法是什么 . 上述的數(shù)學模型是怎樣建立的 . 怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù) . 活動 :師生互動 ,喚起回憶 ,充分復(fù)習前面學習過的建立

5、數(shù)學模型的方法與過程 .對課前已經(jīng)做好復(fù)習的同學賜予夸獎 ,并勉勵他們類比以前所學學問方法 ,連續(xù)探究新的數(shù)學模型 .對仍沒有進入狀態(tài)的同學 ,老師要幫忙回憶并快速激起相應(yīng)的學問方法 夠較好地回憶起解決實際問題的基本過程是.在老師的引導(dǎo)下 ,同學能 :收集數(shù)據(jù)畫散點圖挑選函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗用函數(shù)模型說明實際問題 . 這點很重要 ,同學只要有了這個認知基礎(chǔ),本節(jié)的簡潔應(yīng)用便可迎刃而解 .新課標下的教學要求 ,不是老師給同學解決問題或帶領(lǐng)同學解決問題 ,而是老師引領(lǐng)同學逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知 . 爭論結(jié)果 :描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型 . 簡潔地說 ,數(shù)學模型

6、就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括 ,再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時,所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學描述 .數(shù)學模型的方法 ,是把實際問題加以抽象概括 ,建立相應(yīng)的數(shù)學模型 ,利用這些模型來爭論實際問題的一般數(shù)學方法 . 解決問題的一般程序是 : 1 審題 :逐字逐句的閱讀題意 ,審清晰題目條件、要求、懂得數(shù)學關(guān)系；學習好資料 歡迎下載2 建模 :分析題目變化趨勢 ,挑選適當函數(shù)模型；3 求解 :對所建立的數(shù)學模型進行分析爭論得到數(shù)學結(jié)論；4 仍原 :把數(shù)學結(jié)論仍原為實際問題的解答 . 畫出散點圖 ,分析它的變化趨勢 ,確定合適的函數(shù)模型 . 三、應(yīng)用示例例 1 如圖 1, 某地一天從 y

7、=sin x+ +b. 614 時的溫度變化曲線近似滿意函數(shù)圖 1 1求這一天的最大溫差 ; 2寫出這段曲線的函數(shù)解析式 . 活動 :這道例題是 2022 年全國卷的一道高考題 ,探究時老師與學生一起爭論 .本例是爭論溫度隨時間呈周期性變化的問題 .老師可引導(dǎo)同學摸索 ,本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給同學自己爭論解決 . 題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型 .其中第 1小題實際上就是求函數(shù)圖象的解析式 ,然后再求函數(shù)的最值差 .老師應(yīng)引導(dǎo)同學觀看摸索 :“ 求這一天的最大溫差” 實際指的是“ 求 6 是到 14 時這段時間的最大溫差”

8、,可依據(jù)前面所學的三角函數(shù)圖象直接寫出而學習好資料 歡迎下載不必再求解析式 .讓同學體會不同的函數(shù)模型在解決詳細問題時的不 同作用 .第2小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù) ,即可 確定其解析式 .其中求 是利用半周期 14-6,通過建立方程得解 . 解:1由圖可知 ,這段時間的最大溫差是 20 . 2從圖中可以看出 ,從 614 時的圖象是函數(shù) y=Asin x+ +b 的半個周期的圖象 , A= 1 30-10=10,b= 1 30+10=20. 2 2 2 =14-6, 1 2 = . .將 x=6,y=10 代入上式 ,解得 = 3 . 8 4 綜上,所求解析式為 y=10si

9、n . x+ 3 +20,x6,14. 8 4點評 :本例中所給出的一段圖象實際上只取614 即可,這恰好是半個周期 ,提示同學留意抓關(guān)鍵 .本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情形,因此應(yīng)當特殊留意自變量的變化范疇,這點往往被同學忽視掉 .例 2 2022 全國高考函數(shù) y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是 D.A. 4,3 ,2 24 B.4,3 C. ,3 42答案:C 例 3 如圖 2,設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為 , 為此時太陽直射緯度, 為該地的緯度值 ,那么這三個量之間的關(guān)系是 =90 -| - |.學習好資料 歡迎下載當?shù)叵陌肽?取正值 ,冬半年 取負值 .

10、假如在北京地區(qū) 緯度數(shù)約為北緯 40 的一幢高為 h0 的樓房北面蓋一新樓 ,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋 ,兩樓的距離不應(yīng)小于多少 . 活動 : 如圖 2 本例所用地理學問、 物理學問較多 ,綜合性比較強 ,需調(diào)動相關(guān)學科的學問來幫忙懂得問題,這是本節(jié)的一個難點 .在探討時要讓同學充分熟識實際背景 ,懂得各個量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系 . 第一由題意要知道太陽高度角的定義:設(shè)地球表面某地緯度值為 ,正午太陽高度角為 ,此時太陽直射緯度為 ,那么這三個量之間的關(guān)系是 =90 -| - |.當?shù)叵陌肽?取正值 ,冬半年 取負值 . 依據(jù)地理學問 ,能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、

11、北回來線之間的 地帶,圖形如圖 3,由畫圖易知 太陽高度角 、樓高 h0 與此時樓房在地面的投影長 h 之間有如下關(guān) 系: h0=htan . , 由地理學問知 ,在北京地區(qū) ,太陽直射北回來線時物體的影子最短直射南回來線時物體的影子最長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋 ,應(yīng)當考慮太陽直射南回來線時的情形 . 學習好資料 歡迎下載圖 3 解:如圖 3,A、B、C 分別為太陽直射北回來線、赤道、南回來線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋 ,應(yīng)取太陽直射南回來線的情形考慮 ,此時的太陽直射緯度23 26.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于 MC. 依據(jù)太陽高度角

12、的定義 , 有C90 |40 23 26|26 34, 所以 MCh 0 = h 02.000h0, tan C tan 26 34 距. 即在蓋樓時 ,為使后樓不被前樓遮擋 ,要留出相當于樓高兩倍的間點評 :本例是爭論樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題 ,是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型 ,然后依據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題 .要直接依據(jù)圖 2 來建立函數(shù)模型 ,同學會有肯定困難 ,而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)學問,畫出圖 3,然后由圖形建立函數(shù)模型 ,問題得以求解 .這道題的結(jié)論有肯定的實際應(yīng)用價值 .教學中 ,老師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題 同學進一步探究 . 變式

13、訓(xùn)練,如下例的變式訓(xùn)練 ,激發(fā)某市的緯度是北緯23 ,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7學習好資料 歡迎下載層,每層 3 米,樓與樓之間相距15 米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋 ,他應(yīng)挑選哪幾層的房？圖 4 解:如圖 4,由例 3 知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan90 -23 +23 26=15tan43 34 14.26, 由于每層樓高為 3 米,依據(jù)以上數(shù)據(jù) , 所以他應(yīng)選 3 層以上 . 四、課堂小結(jié)1.本節(jié)課學習了三個層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用 ,即依據(jù)圖象建 立解析式 ,依據(jù)解析式作出圖象 ,將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的 簡潔函數(shù)模型 .你能概括出

14、建立三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步 驟嗎？2.實際問題的背景往往比較復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多學科的知識才能解決它 .因此 ,在應(yīng)用數(shù)學學問解決實際問題時 ,應(yīng)當留意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學關(guān)系 問題. 五、作業(yè),仍要調(diào)動相關(guān)學科學問來幫忙懂得學習好資料 歡迎下載1.圖 5 表示的是電流 I 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系圖 5 I=Asin x+ 0,| |2在一個周期內(nèi)的圖象 . 1依據(jù)圖象寫出 I=Asin x+ 的解析式 ; 2為了使 I=Asin x+ 中的 t 在任意一段1 s 的時間內(nèi)電流 I 100能同時取得最大值和最小值 ,那么正整數(shù) 的最小值為多少 . 解 :1 由圖知 A=300, 第一個零點為 1 ,0,其次個零點為300 1 ,0, 150 300 1 + =0, 150 1 + = .解 得 =100 , = 3,I=300sin100 t+ 3. 2依題意有 T1 ,即 21 , 200 .故 min=629. 100 1002.搜集、歸納、分類現(xiàn)實生活中周期變化的情境模型 . 解:如以下兩例 : 人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個人的習慣性的生理變化 ,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；蛻皮 tuipi 昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動物,以及線形動物等的體表具有堅硬的幾丁質(zhì)層 ,雖有愛護身體的作用 ,但限制動物的生長、發(fā)育.因