2022年三角函數(shù)和弦與曲式結(jié)構(gòu)

1、天 津 師 范 大 學(xué) 本科畢業(yè)論文 題目 ：三角函數(shù),和弦與曲式結(jié)構(gòu) 學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 同學(xué)姓名：趙祚祥 學(xué) 號： 1130050151 專 業(yè)：信息與運(yùn)算科學(xué) 年 級： 2022 級 完成日期： 2022 年 5 月 3 日 指導(dǎo)老師：邊欣 第 1 頁,共 6 頁三角函數(shù),和弦與曲式結(jié)構(gòu) 摘要： 始終以來 , 數(shù)學(xué)和音樂都被聯(lián)系在一起；從基本的阿拉伯?dāng)?shù)字到“黃金分割” , 音 樂中不僅包含了數(shù)學(xué)里的“數(shù)列”,“變換”等學(xué)問 , 并且樂譜的書寫乃至音樂的創(chuàng)作等 等都透著數(shù)學(xué)的蹤影； 數(shù)學(xué)學(xué)家爭辯音樂 , 音樂家們也在探尋數(shù)學(xué)的隱秘； 因此 , 越來越多 的人開頭關(guān)注數(shù)學(xué)在音樂上的應(yīng)用 ,

2、 摸索數(shù)學(xué)和音樂的關(guān)系；本文將從數(shù)學(xué)和音樂的內(nèi)在 聯(lián)系,以及一些音樂方面的數(shù)學(xué)原理應(yīng)用等方面去爭辯數(shù)學(xué)和音樂之間的關(guān)系； 關(guān)鍵詞： 三角函數(shù)；和諧度；和聲搜尋算法 Trigonometric functions, chords and musical structureAbstract:For a long time, math and music are linked together. From basic Arabic Numbers to the golden mean, in the music not only contains the sequence, transformati

3、on in the mathematics knowledge, such as writing and music and music creation, and so on, with mathematics. Mathematical scientists study music, musicians also explore the mysteries of math. As a result, more and more people begin to pay close attention to application of mathematics in the music, th

4、inking about mathematics and music. This article from the internal relations of mathematics and music, and some application of mathematical theory aspectsof music to discuss the relationship between mathematics and music. Key words:Trigonometric function；Harmony degree； Harmony search algorithm 第 2

5、頁,共 6 頁目 錄 一,數(shù)學(xué)與音樂的內(nèi)在聯(lián)系 . 1 一 和聲的數(shù)學(xué)本質(zhì)基于 Gamm分 a布的實(shí)證探 . 1 究 二 曲式結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)規(guī)律斐波拉契數(shù)列和黃金分割 . 2 三 音樂中數(shù)學(xué)本質(zhì)的訓(xùn)練啟示 . 5 二,三角函數(shù)與和弦和諧度 . 6 一 數(shù)學(xué)與音樂間的關(guān)系頻率 . 6 二 和弦的表示法 . 6 三 二和弦的和諧度爭辯 . 7 三,由音樂而來的算法和聲搜尋算法 . 7 一 和聲搜尋算法的由來和性質(zhì) . 7 二 和聲搜尋算法的爭辯現(xiàn)狀 . 8 三 和聲搜尋算法在連續(xù)函數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用 . 9 四 改進(jìn)和聲搜尋算法求解一般整數(shù)規(guī)劃問題 . 10 終止語 . 11 參考文獻(xiàn) . 12 第 3

6、 頁,共 6 頁1第 4 頁,共 6 頁天津師范高校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 三角函數(shù),和弦與曲式結(jié)構(gòu) 一,數(shù)學(xué)與音樂的內(nèi)在聯(lián)系 一 和聲的數(shù)學(xué)本質(zhì) 基于 Gamm分a布的實(shí)證探究 Gamm分a布 : 如隨機(jī)變量 X 有概率密度函數(shù) f x 1a a 1 x e x , x 01 稱為尺度參數(shù) , 且 a 就稱 X 聽從 Gamma 分布 , 記作 X , . 稱為形狀參數(shù) , 0, 0 , 其中 是 Gamma 函數(shù) 0t 1e tdt （ 2） 該定義在大多數(shù)概率統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中都可以找到 論中發(fā)揮重要作用 . 由1 式易見如下結(jié)論 : , 其應(yīng)用越來越廣泛 . 特殊是在牢靠性理 1 當(dāng) 1 1, 就是參數(shù)

7、為 的指數(shù)分布 , 記為 exp ; 時, 2 當(dāng) 1 且 為正整數(shù) n, 就是 Erlang 分布 , 常用于牢靠性理論和排隊(duì)論 , 如 時 , 中 一個復(fù)雜系統(tǒng)中從第 1 次故障到恰好再顯 n 次故障所需的時間 ; 從某一艘船到達(dá)港口直現(xiàn) 到 恰好有 n 只船到達(dá)所需的時間都聽 Erlang 分布 ; 從 3 當(dāng) n , 2 1 時, 2 n 1 2 2 , 就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的 2n 分布 . 由此可見 , Gamma 分布的數(shù)字特點(diǎn)及其參數(shù)估量無論從理論角度仍是從應(yīng)用角度 , 講 顯得特殊必要 . 從文獻(xiàn)中可以找到 Gamma 分布的重要性質(zhì)及數(shù)字特 . 點(diǎn) 對音樂的數(shù)學(xué)本質(zhì)的最早探尋

8、,源于畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺音高和振動體的長度存在數(shù)學(xué) 關(guān)聯(lián)；兩個不同音高的音組合起來, 就構(gòu)成音樂最基本的元素 和聲；一組和聲能否給 聽者以悅耳,和諧的感受,其實(shí)取決于構(gòu)成這組和聲的音中頻率的關(guān)系；美國音樂學(xué)家 Plomp 和 Levelt 通過幾組試驗(yàn)探究了和聲背后的數(shù)學(xué)關(guān)系：他們給試驗(yàn)的參與者同時播放 了兩個正弦音, 并調(diào)整其中的頻率間隔, 并讓參與者給這些和聲的和諧漂亮度打分； 試驗(yàn) 發(fā)覺,音程的不和諧度同兩個音所間隔的半音數(shù)顯現(xiàn) Gamma 分布,并近似Gamma2,1 . 于 假如進(jìn)一步探尋各個音的頻率數(shù)據(jù),仍可以發(fā)覺,一個音程是否和諧,取決于音階中各個音的 頻率能否表示為簡潔整數(shù)比的形式

9、,即： a / b ；假如音階中各個音的頻率的比能表示為簡潔的 1第 5 頁,共 6 頁天津師范高校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 三角函數(shù),和弦與曲式結(jié)構(gòu) 整數(shù)比 a / b ,就該音程是和諧的,反之就為不和諧； 和聲體系之所以擁有上述數(shù)學(xué)特點(diǎn),其實(shí)取決于人耳對音的偏好程度：只有當(dāng)音階 中各個音的頻率的比顯現(xiàn)為簡潔整數(shù)比時, 才能夠使人耳和相關(guān)的聽覺神經(jīng)產(chǎn)生愉悅的聲 學(xué)感知；這正是由于人耳神經(jīng)體系的構(gòu)成和特質(zhì)準(zhǔn)備的； 二 曲式結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)規(guī)律 斐波拉契數(shù)列和黃金分割 從第三項(xiàng)起每哪一項(xiàng)它前兩項(xiàng)的和； 這就是著名的斐波拉契數(shù)列, 該數(shù)列是意大利數(shù) 學(xué)家斐波拉契于 1202 年從兔子繁殖問題中提出的,人們?yōu)榱思o(jì)念

10、他, 就把這種數(shù)列稱 為斐波拉契數(shù)列 . 如設(shè)該數(shù)列為 n,就它的一個遞推公式為： n 2 n 1 且中意 1 2 1；對于斐波拉契數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的比值 n,隨著 n 的增大,該 值越來越接近于黃金分割比例 5-1 ； n 1 比 2 假如畢達(dá)哥斯拉對音高 - 發(fā)聲體長度關(guān)系的爭辯來源于振動物理學(xué), 最終將數(shù)學(xué)和音 樂聯(lián)系在一起的話, 那么音樂曲式中包含的數(shù)學(xué)規(guī)律就顯得更加地微妙, 但卻更加地直接； 近些年來有些數(shù)學(xué)家通過分析傳統(tǒng)的音樂曲式結(jié)構(gòu),發(fā)覺音樂中對于曲式的規(guī)定符 合斐波拉契數(shù)列的前幾個數(shù)字： 作曲中最常用的一段式, 二段式, 三段式和五段式的回旋 曲,其段落的數(shù)量符合斐波拉

11、契數(shù)列里面的 1,2,3,5 ；而古典音樂中比較常見的大奏鳴曲 式都是三部結(jié)構(gòu), 假如再增加前奏和尾聲部, 那么就會拓展為五部結(jié)構(gòu), 仍是會表達(dá)斐波 拉契數(shù)列任意三個數(shù)的前兩個數(shù)之和,等于第三個數(shù)的特質(zhì)； 而斐波拉契數(shù)列仍有一個性質(zhì),就是在數(shù)組中任意相鄰的兩個數(shù)之間的比值約等于 黃金分割比例（ ）；其實(shí)假如我們仔細(xì)觀看著名的音樂作品中的結(jié)構(gòu)很簡潔發(fā)覺, 黃金分割比例在音樂曲式中基本上處處可見； 依據(jù)美國數(shù)學(xué)家巴茲等人的試驗(yàn)結(jié)果, 西方 古典音樂里面不同規(guī)模形式的作品中, 高潮部分音符所在的小節(jié), 基本上都恰好位于整部 作品的黃金分割點(diǎn)； 不難發(fā)覺, 對莫扎特的作品進(jìn)行進(jìn)一步分析得到結(jié)論, 莫扎特鋼琴協(xié) 奏曲中 94%的作品都符合這一規(guī)律； 假如說莫扎特作品所代表的古典主義音樂大多數(shù)都中規(guī)中矩,在其中發(fā)覺某些數(shù)學(xué) 規(guī)律很難有說服力的話, 那么通過對近現(xiàn)代以來的許多不同風(fēng)格的作品進(jìn)