奧林匹克數(shù)學競賽

1、奧林匹克數(shù)學競賽 同于問題講課人：馬銀冰1 在平時解題中，我們經(jīng)常會遇到把著眼點放在余數(shù)上的問題。 如：現(xiàn)在時刻是7時30分，再過52小時是幾時幾分？我們知道一天是24小時，也就是說52小時里包含兩個整天再加上4小時，這樣就在7時30分的基礎(chǔ)上加上4小時，就是11時30分。很明顯這個問題的著眼點是放在余數(shù)上了。 21. 同余的表達式和特殊符號 73 =2.1 103=31 7和10同除以3，余數(shù)都是1，把除數(shù)3稱作“模3”，7、10對于模3同余。 記作：710 （mod3) “ ”讀作同余。 一般地，兩個整數(shù)a和b，除以大于1的自然數(shù)k所得的余數(shù)相同，就稱a、b對于模k同余，記作：a b(mo

2、d k)32. 同余的性質(zhì) （1）a a(mod k) （每個整數(shù)都與自身同余，稱為同余的反身性。） （2）若 a b(mod k)，則b a(mod k) （同余的對稱性） （3）若a b(mod k)，b c(mod k)，則a c(mod k) （同余的傳遞性） （4）若a b(mod k)，c d(mod k)，則 acb d(mod k)（同余的可加性、可減性） ac bd(mod k)（同余的可乘性）（5）如果 a b(mod k),那么k I（a-b) （ a-b 的差一定能被k整除）4例1. 用412、133和257除以一個相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，這個自然數(shù)最大是幾？分析

3、與解答： 假設(shè)這個自然數(shù)是a，因為412、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以al(412-133)，al(412-257) ，al(257-133)說明a是以上三個數(shù)中任意兩數(shù)差的約數(shù)，要求最大是幾，就是求這三個差的最大公約數(shù)。 (155,124,279)=31 所以a最大是31。5例2. 249388234 除以19，余數(shù)是幾？分析與解答： 如果把三個數(shù)相乘的積求出來再除以19，就太麻煩了，利用同余思想解決就容易了。 249 2(mod 19) （249除以19商0余19） 388 8(mod 19) 234 6(mod 19) 249388234 682(mod 19) （同余的可乘

4、性） 6821(mod 19) （同余的傳遞性） 所以 249388234 1(mod 19)6例3.在求51173526被7除的余數(shù)時，小明這樣做：511735265112621265 所以余數(shù)是5 劉老師說，小明的算法不僅正確，而且巧妙迅速，你知道其中的道理嗎？分析與解答： 看了下面的算式，你就會明白的。 51173526=51100026+70000+3500 =49000000+2100026+70000+3500 =49000000+2100000+70000+3500+21+5 =7的倍數(shù)+5 小明用的這種方法，有比較廣泛的應(yīng)用，常稱之為“拼湊法”在解關(guān)于用幾除的余數(shù)的問題時，常常“拼湊”出顯然是幾的倍數(shù)的部分，對于這部分，簡直可以“置之不理”，這樣可以使解答過程簡化。 7練習：如果某數(shù)除482，992，1094都余74，這個數(shù)是幾？某數(shù)除680，970和1521，余