(完整版)計(jì)算力學(xué)復(fù)習(xí)題答案

1、計(jì)算力學(xué)試題答案1.有限單元法和經(jīng)典Ritz法的主要區(qū)別是什么？答：經(jīng)典Ritz法是在整個(gè)區(qū)域內(nèi)假設(shè)未知函數(shù)，適用于邊界幾何形狀簡單的情形；有限單元法是將 整個(gè)區(qū)域離散，分散成假設(shè)干個(gè)單元，在單元上假設(shè)未知函數(shù)。有限單元法是單元一級的Ritz法。2、單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有什么特征？剛度矩陣幻奇異有何物理意義？在求解問題時(shí)如何消除奇異性？答：單元?jiǎng)偠染仃嚨奶卣鳎簩ΨQ性奇異性主元恒正平面圖形相似、彈性矩陣D、厚度t相 同的單元，K相同的分塊子矩陣按結(jié)點(diǎn)號排列，每一子矩陣代表一個(gè)結(jié)點(diǎn)，占兩行兩列，其 位置與結(jié)點(diǎn)位置對應(yīng)。整體剛度矩陣的特征：對稱性奇異性主元恒正稀疏性非零元素呈帶狀分布。K的物

2、理意義是任意給定結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移所得到的結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力總體上滿足力和力矩的平衡。 為消除K的奇異性，需要引入邊界條件，至少需給出能限制剛體位移的約束條件。3.列式說明乘大數(shù)法引入給定位移邊界條件的原理？答：設(shè)：4=嗎,那么將即：kj 號? , ,_2n 及2n2修改后的第/個(gè)方程為k = ak )J JJJPJ = akMalO5由于得k?；J JakiJ J公.2njkjxax + kj2a? F HF kj2fla2flakjjdjijak % (i w j) WJJakijai akiiai J J JJ J J(i。j)所以 ai a對于多個(gè)給定位移（，=9，。2，9）時(shí)，那么按序?qū)⒚總€(gè)給定

3、位移都作上述修正，得到全部進(jìn)行修正后的K和P,然后解方程即可得到包括給定位移在內(nèi)的全部結(jié)點(diǎn)位移值。4.何為等參數(shù)單元？為什么要引入等參數(shù)單元?答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參數(shù)單元。借助于等參數(shù)單元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散，其優(yōu)點(diǎn)有：對單元形狀的適應(yīng)性強(qiáng)；單元特性矩陣的積分求解方便（積分限標(biāo)準(zhǔn)化）；便于編制通用化 程序。5、對于平面4節(jié)點(diǎn)（線性）和8節(jié)點(diǎn)（二次）矩形單元，為了得到精確的剛度矩陣,需要多少個(gè)Gauss積分點(diǎn)？說明理由。乂=爭=(1-G； 乂=與設(shè)=；

4、卬1)；以今G。1 1 1 Z11 1 Z1 1 1 Z六、 對圖示的矩形單元采用如下的插值函數(shù)/223322。二+ a2x + a3y + cx4xy + cx5)r + cc6xy + a7y + c(sxy + cr9x- + c1()yx i.請分析該單元的協(xié)調(diào)性。2.假設(shè)將插值多項(xiàng)式寫成/7732230 = % + cr7x + cc.y + oc.x + 4 3廠 + cr7x + q大- v + c(Qxy + crin v情況怎樣？解：如下圖的矩形單元假設(shè)滿足協(xié)調(diào)性，因?yàn)樵趛方向有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，x方向有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，故y方 向上，差值函數(shù)視x為常數(shù)y的次數(shù)至少為3次，x方向上，插值函數(shù)

5、視y為常數(shù)，x的次數(shù)至少為 2次。比照給出的方程知，該單元假設(shè)采用該插值函數(shù)滿足協(xié)調(diào)性。插值函數(shù)改變后，增加了一個(gè)而由圖中矩形單元知道x方向多項(xiàng)式最高次為2次，顯然不滿 足協(xié)調(diào)性。七、證明4節(jié)點(diǎn)平行四邊形二維單元的雅可比矩陣是常數(shù)矩陣.對于二維平行四邊形有，dr/dr/drdN2dN2dr/刑Mdr/y%(7.1)%等參變換下取，Nf. = Ni,而在自然坐標(biāo)下不妨設(shè)該平行四邊形的四邊的方程分別為: (i)r/-a + b = 0r-c = 0()-a-b = 0r/ + c = 0 從而知道:N、= k、(1 b)(r/ + c) ； N2 = k2(r/-a + /?)(+c)；y=6一4

6、十b)(r/-c)% =%(一4一切一。其中，k、=,k2 , k3 =,%= 4ac - 44c 4ac 4ac解得四個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，一并代入方程7.1得：/的四個(gè)元素均為常數(shù)，故有4節(jié)點(diǎn)平行四邊形二維 單元的雅可比矩陣是常數(shù)矩陣。第五頁pdf二、如圖，平面單元j的剛度矩陣為節(jié)點(diǎn)位移矢量為才=/ 匕1I4 v4r該單元在結(jié)構(gòu)中的位置使得總體節(jié)點(diǎn)編號分別為19、20、30、31,回答：.在未引入邊界條件以前，j單元?jiǎng)偠染仃嘖e的系數(shù)將貢獻(xiàn)給總體剛度矩陣K中的 哪些行、歹U?.具體寫出剛度矩陣Ke中的哪些元素對總體剛度矩陣K中的以下行和列有貢獻(xiàn)， (1) 59行61歹U；(2) 38 行39歹U；

7、(3) 59行59歹U；(4) 37 行37歹U。(題2圖)解：由節(jié)點(diǎn)位移矢量知該結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)自由度為2,設(shè)某一個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號為那么該個(gè)節(jié)點(diǎn)將分別對總 體剛度矩陣的第萬-1、萬行與列，產(chǎn)生貢獻(xiàn)。所以，總體編號為19、20、30、31的總體節(jié)點(diǎn)將相 應(yīng)對總體剛度矩陣的37、38行和列,39、40行和列,59、60行和列，60、61行和列產(chǎn)生貢獻(xiàn)。對第59行61列產(chǎn)生貢獻(xiàn)的是K35 ；對第38行39列產(chǎn)生貢獻(xiàn)的是K21 ；對第59行與59列產(chǎn)生貢獻(xiàn)的是(3 ；對37行和37列產(chǎn)生貢獻(xiàn)的是Kn .三、3節(jié)點(diǎn)三角形單元的ij邊作用有三角形分布側(cè)壓力，單元厚度為3求單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷。(題3圖)解：答案參見課

8、本P68頁，或者課件。此處略。五、下面是3節(jié)點(diǎn)軸力桿單元示意圖及其剛度矩陣，試將剛度矩陣凝聚成只以I和3 表 o7 皂1 6L（題5圖）（題5圖）. EA 解： 6L71817888166L6L, 有4 + 7% - 8% =F? = u2 = (- F2-u+ 8w3 )/78代入 7% +% -8%Z7 Tzr T耳與一8% 82 +16% =工，消去2,得:EAEA答：對于平面4節(jié)點(diǎn)（線性）矩形單元: Moe 1看,初BTDB8 1&7鏟，孔切|=常數(shù)答：對于平面4節(jié)點(diǎn)（線性）矩形單元: Moe 1看,初BTDB8 1&7鏟，孔切|=常數(shù)所以m=2m + 1n = 1.52因而積分點(diǎn)數(shù)為

9、：2x2矩陣對于平面8節(jié)點(diǎn)（二次）矩形單元: N&E） 0C 1上，小百2力2,82七2 BTDB8 1后1君2,2,3773 H4 IJ卜常數(shù)所以2 = 4m + 14 + 1 否廠n= 2.522因而積分點(diǎn)數(shù)為：3x3矩陣矩形、正方形、平行四邊形同=常數(shù)1、有限單元法的解題步驟如何？它與經(jīng)典Ritz法有何區(qū)別?答：劃分單元, 單元分析:輸入結(jié)點(diǎn)和單元信息;N、K Pe整體分析:整體分析:K = GeTKeGee=lP = gP引入位移邊界條件得到：Ka = pe=l求解方程得到解a對位移a結(jié)果進(jìn)行有關(guān)整理、計(jì)算單元或結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變2、總剛度矩陣K的任一元素kij的物理意義是什么？如何解釋

10、總剛度矩陣的奇異性和帶狀稀疏性？答：K中元素的Kg物理意義：當(dāng)結(jié)構(gòu)的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)位移方向上發(fā)生單位位移，而其它結(jié)點(diǎn)位移 方向上位移為零時(shí)，需在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)位移方向上施加的結(jié)點(diǎn)力大小。奇異性：|K|二0,力學(xué)意義是對任意給定的結(jié)點(diǎn)位移所得到的結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力總體上是滿足力和力矩的平 衡。反之，給定任意滿足力和力矩平衡的結(jié)點(diǎn)載荷P,由于K的奇異性卻不能解得結(jié)構(gòu)的位移a,因 而結(jié)構(gòu)仍可能發(fā)生任意的剛體位移。為消除K的奇異性，結(jié)構(gòu)至少需給出能限制剛體位移的約束 條件。帶狀稀疏性：由于連續(xù)體離散為有限個(gè)單元體時(shí)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元只是圍繞在該結(jié)點(diǎn)周圍為數(shù) 甚少的幾個(gè)，一個(gè)結(jié)點(diǎn)通過相關(guān)單元與之發(fā)生關(guān)系的相關(guān)結(jié)點(diǎn)也只

11、是它周圍的少數(shù)幾個(gè)，因此雖然 總體單元數(shù)和結(jié)點(diǎn)數(shù)很多，結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)很高，但剛度系數(shù)中非零系數(shù)卻很少，即為總剛度 矩陣的稀疏性。另外，只要結(jié)點(diǎn)編號是合理的，這些稀疏的非零元素將集中在以主對角線為中心的 一條帶狀區(qū)域內(nèi)，即為總剛度矩陣的帶狀分布特性。3、以3節(jié)點(diǎn)三角形單元為例證明插值函數(shù)特性乂=1, 為節(jié)點(diǎn)數(shù)。i=l答：圖形見課本P1()5圖3.6由面積坐標(biāo)：同乙=7 (i = i,j,m) A插值函數(shù)：Nj = Lj = i,j,m)P(Li， Lj所以 中n = + + & =匕忙& = 1 A A A A4、什么是等參單元？等參單元的收斂性如何？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的

12、場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函 數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。等參單元滿足收斂性需滿足兩個(gè)條件：即單元必須是協(xié)調(diào)的和完備的。完備性條件：要求插值函數(shù) 中包含完全的線性項(xiàng)（包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)）。協(xié)調(diào)性條件：單元邊界上位移連續(xù)，相鄰單元邊界具 有相同的結(jié)點(diǎn)，每一單元沿邊界的坐標(biāo)和未知函數(shù)采用相同的插值函數(shù)。5、對于空間8節(jié)點(diǎn)（線性）和20節(jié)點(diǎn)（二次）六面體單元，為了得到精確的剛度矩陣，需要多少個(gè)Gauss積分點(diǎn)？說明理由。答： 對于空間8節(jié)點(diǎn)（線性）六面體單元:N, (7)0c 1，羽 X z,呼,yz, zx, xyz BrDB OC 1,羽孫，XZ,，Vy2 11=常

13、數(shù)所以 772 = 2m + 1n = 1.52因而積分點(diǎn)數(shù)為：2x2x2矩陣 對于空間20節(jié)點(diǎn)（二次）六面體單元：Nj&rj） oc 1, x, y, z, x ,y ,z ,z、，孫，yz, zx,xy,孫，廠 z,xzz, yz ,xyz4X,孫，xz,，x4X,孫，xz,，xq = 2.52BtDB ocl, 同=常數(shù) 所以m=4因而積分點(diǎn)數(shù)為：3x3x3矩陣1、為什么說3節(jié)點(diǎn)三角形單元是常應(yīng)變單元？答：常應(yīng)變單元指的是在一個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變?yōu)槌?shù)，有限元中的常應(yīng)變單元指的是線性三角形單元, 線性三角形單元的位移場為線性的，應(yīng)變?yōu)槲灰频囊浑A導(dǎo)數(shù)，故為常數(shù)，因此稱為常應(yīng)變單元。2.以平面4節(jié)

14、點(diǎn)雙線性單元為例，說明形函數(shù)的兩個(gè)重要特性。答：圖形見課件2. 5矩形單元插值函數(shù)(形函數(shù))的性質(zhì)小如/(1+)但=;。告)(1+)華=;(1-/(1-)七(1 + 3(1-77)I 4V 八)1 (i = j)進(jìn)而驗(yàn)證插值函數(shù)的性質(zhì)：Ngj,j) = bij=U 14 A J )4Z=13、何為等參變換？等參元有那些優(yōu)點(diǎn)？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函 數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散，其優(yōu)點(diǎn) 有：對單元形狀的適應(yīng)性強(qiáng)；單元特性矩陣的積分求解方便(積分

15、限標(biāo)準(zhǔn)化)；便于編制通用化程序。 二、如下圖平面問題有限元網(wǎng)格，每個(gè)單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度，.給出適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)編號，使總的系數(shù)矩陣的半帶寬最小，并計(jì)算半帶寬的值；.在您的節(jié)點(diǎn)編號下，圖中節(jié)點(diǎn)A的主對角線上的元素在總系數(shù)矩陣中的行號和列號如何？.哪幾個(gè)單元對節(jié)點(diǎn)A的主對角線上的系數(shù)有非零貢獻(xiàn)？1、答：沿短邊回頭編號，存儲(chǔ)量最小。帶寬的計(jì)算：0 =(相鄰結(jié)點(diǎn)號碼的最大差值+ l)x自由度2、答：由 _ 11,1111,12“66= % k得節(jié)點(diǎn)A的主對角線上的元素勺”、% 12在總系數(shù)矩陣中的行號為11和12,列號為ll,12o3、答：2、3、4單元對A的主對角線上的系數(shù)有非零貢獻(xiàn)。注意：

16、桿件單元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上有1個(gè)自由度，帶寬不用乘以2。三、圖示6節(jié)點(diǎn)三角形單元的142邊作用有均布側(cè)壓力上單元厚度為求單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷。（題3圖）見課件2. 5.35采用面積坐標(biāo)時(shí)，單元矩陣的計(jì)算中：（2）均布側(cè)壓力q和（4） x方向三角形分 布力中的形函數(shù)。四、寫出圖示過渡的Seiendipity單元的形函數(shù)。（題4圖）（題4圖Z?）見課件3. 3. 3五、五、對圖示8節(jié)點(diǎn)矩形單元采用如下的插值函數(shù) TOC o 1-5 h z /2/330 = % +a + % + %:+ 叼 7 +%： +%.請分析該單元的收斂性。.假設(shè)將插值多項(xiàng)式寫成/y卜2 . y22. 匕 2情況怎樣？41_38-（

17、題5圖）6 4152答：觀察插值函數(shù)，包含一次完全多項(xiàng)式，滿足完備性要求，但其含有三次項(xiàng)%與%工，此點(diǎn) 與八點(diǎn)矩形單元四個(gè)邊上均僅有三個(gè)點(diǎn)，最多滿足二次項(xiàng)矛盾，不滿足協(xié)調(diào)性，因而不滿足收斂性。 觀察差值函數(shù)，包含一次完全多項(xiàng)式，多項(xiàng)式最高次為2,明顯既滿足完備性和協(xié)調(diào)性，故收斂。第三頁P(yáng)DF：六、考慮等截面軸力桿單元，題圖中分別示出2節(jié)點(diǎn)和3節(jié)點(diǎn)單元體,(題6圖4 )(題6圖4 )（題6圖6）.寫出它們的位移插值函數(shù)；.推導(dǎo)這兩種單元體的剛度矩陣；.對3節(jié)點(diǎn)單元體用靜力凝聚法消去中間節(jié)點(diǎn)自由度，建立單元體剛度矩陣表達(dá)式。.寫出它們的位移插值函數(shù)；.推導(dǎo)這兩種單元體的剛度矩陣；.對3節(jié)點(diǎn)單元體用

18、靜力凝聚法消去中間節(jié)點(diǎn)自由度，建立單元體剛度矩陣表達(dá)式。解：圖a,令4 =21一(% +)_ 2x-(x +x2)x2 一%，那么有=1,5=1，1自1故有,乂舊棄 f 一圖b,那么有。=14=& = i，t.41。故有,$(4)=1產(chǎn)(&)=T圖a：有應(yīng)變矩陣B = LV =圖a：有應(yīng)變矩陣B = LV =dN、 dN2 d _dN 2 d小於叱寸誓附豹4等整 =EA 1L -1-11圖b：有應(yīng)變矩陣8 = LV =圖b：有應(yīng)變矩陣8 = LV =dN、 dN、dx dxdN、dN、dN、席 _ dN 2d d ddxdlL斯7：斯7：2EA dNT dN紇=L d& d&EA3L142-1

19、216-81-814EA 3L142121681814代入 14% + 2% - % =%3LEA33L, 有 2u、+16% 8% =R% ( F? 2% +)/16EAEA3LFt 與U、- 82 + 143 =罵,消去 2，得:EAEA3L71T一210L 1 LF - $工OF3 + J二、用最小勢能原理推導(dǎo)平面彈性問題的有限元方程。解：利用最小勢能（位能）原理推導(dǎo)平面彈性問題有限元方程，見課本P61。第二章課件也有。三、如下圖的平面內(nèi)部三角形單元網(wǎng)格每節(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度，.用圖中所給節(jié)點(diǎn)編號計(jì)算總剛矩陣的半帶寬；.對節(jié)點(diǎn)重新編號，使結(jié)構(gòu)總剛矩陣的半帶寬最小，并說明此時(shí)中心節(jié)點(diǎn)主對角線上的元素在總剛 矩陣中的行號和列號？.是否所有單