《排列與組合》課件

1、組合應用題1.2.2組合（二）復習鞏固：1、組合定義: 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示.2、組合數(shù):3、組合數(shù)公式:例8、 在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。產(chǎn)品檢驗時,從100件產(chǎn)品中任意抽出3件。(1)一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?反思：“至少”“至多”的問題， 通常用分類法 或間接法求解。練習按下列條件，從12人中選

2、出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選；例6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： （1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本， 一個人2本，一個人3本；（一）等分組與分配問題（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本.（5）分成4本、1本、1本三組；（6）分給甲、乙、丙三人，其中一個 人1本，一個人1本，一個人4本；例6本不同的書，按下列要求各有多少種

3、不同的選法：（7）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：可以分為三類情況：“2、2、2型” 的分配情況，有 種方法；“1、2、3型” 的分配情況，有 種方法；“1、1、4型”，有 種方法，所以，一共有90+360+90540種方法點評：本題是分組中的“平均分組”問題 一般地：將mn個元素均勻分成n組（每組m個元素）,共有 種方法(1)今有10件不同獎品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法?(2) 今有10件不同獎品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?練習注意： 對于排列組合的混合應用題， 一般解法是先選后排。例 某車間有11名工人，期中有5名鉗工，4名車

4、工，另外2名既能當鉗工又能當車工，現(xiàn)要在這11名工人中選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法？（二）多面手問題解:第一類:選派的4名鉗工中無“多面手”,此時有選派方法 種;第二類:選派的4名鉗工中有1名“多面手”,此時有選派方法第三類:選派的4名鉗工中有2名“多面手”,此時有選派方法 由分類加法計數(shù)原理，不同的選派方法共有： 某小組共有10人，期中有5人會英語，7人會俄語，其中有2人既會外語又會俄語，現(xiàn)要在這10人中選派4人，其中2人做英語翻譯，2人做俄語翻譯，有多少種選派方法？練習（三）元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

5、解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插入隔板，可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法共有_種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習、（1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀指標分配到1、2、 3三個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學模型 ，用5個隔板插入1

6、0個指標中的9個空隙，即有 種方法。按照第一個隔板前的指標數(shù)為1班的指標，第一個隔板與第二個隔板之間的指標數(shù)為2班的指標，以此類推，因此共有（2）先拿3個指標分給二班1個，三班2個，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有 種分法練習：將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？隔板法：待分元素相同，去處不同，每處至少一個。 變式 將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？例1：從一樓到二樓共有17級臺階，上樓時可以一步走1級，也可以一步走兩級，若要求11步走完樓梯，則有多少種不同的走法？（四）、行走問題練習：如圖，

7、從56方格中的頂點A到頂點B的最短路線有多少條？課后練習：1. 某施工小組有男工7人，女工3人，選出3人中有女工1人，男工2人的不同選法有多少種？3. 要從7個班級中選出10人來參加數(shù)學競賽，每班至少選1人，這10個名額有多少種分配方法?2. 由10人組成的課外文娛小組，有4人只會跳舞，有4人只會唱歌，2人均能。若從中選出3個會跳舞和3個會唱歌的人的排演節(jié)目，共有多少種不同的選法？（四）順序固定問題例（1）7人排成一列，甲必須在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？解：（1）解法一: 7人排隊，2人順序固定，共有解法二：先從7個位置中選5個位置，排上其余5人，剩下2人直接插入。共有（2）

8、有5個節(jié)目的節(jié)目單中要插入2個新節(jié)目，保證原有節(jié)目順序不變的排法有多少種？解：（1）解法一: 相當于7個節(jié)目全排列且要求5個順序固定，因而有解法二：兩個節(jié)目一個一個地插入，先插第一個，有6種插法，再插第二個節(jié)目，有7種插法。因此總共有練習1馬路上有編號為1，2，3，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為 種方法練習2 一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4

9、人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）A24種 B36種 C48 D72種 B 練習3甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（ ）A. 20種 B. 30種 C. 40種 D. 60種 A練習4某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答

10、）. 21615個人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是 2某學生要邀請10位同學中的6位參加一項活動，其中有2位同學要么都請，要么都不請，共有 種邀請方法. 3.一個集合有5個元素，則該集合的非空真子集共有 個. 4.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成 個平行四邊形 .5空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個，第三組有t個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構(gòu)成 個平行六面體9830課堂練習：6.高二某班第一小組共有12位同學，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9人的座位不變，共有

11、種不同的調(diào)換方法7.某興趣小組有4名男生，5名女生：（1）從中選派5名學生參加一次活動，要求必須有2名男生，3名女生，且女生甲必須在內(nèi)，有 種選派方法；（2）從中選派5名學生參加一次活動， 要求有女生但人數(shù)必須少于男生，有_種選派方法；（3）分成三組，每組3人，有_種不同分法. 3645280課堂練習：8.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有 種方法；若不取6，則有 種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有 + 602種方法 課堂練習：9. 某餐廳供應盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜

12、肴中任選2葷2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜_種.(結(jié)果用數(shù)值表示)7【解題回顧】由于化為一元二次不等式n2n400求解較繁，考慮到n為正整數(shù)，故解有關(guān)排列、組合的不等式時，常用估算法.10. 某電視臺邀請了6位同學的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹對子女的教育情況，如果這4位中恰有一對是夫妻，那么不同選擇方法的種數(shù)是( )(A)60 (B)120 (C)240 (D)270C11. 某次數(shù)學測驗中，學號是i (i=1、2、3、4)的四位同學的考試成績 f(i)86,87,88,89,90，且滿足

13、f(1)f(2)f(3)f(4)，則四位同學的成績可能情況有( ) (A)5種 (B)12種 (C)15種 (D)10種CB12.表達式 可以作為下列哪一問題的答案 ( )(A)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子放兩個球的方法數(shù)(B)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子空著的方法數(shù)(C)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子放兩個球的方法數(shù)(D)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子空著的方法數(shù)1按元素的性質(zhì)進行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合應用題的基本思想方法；2對于有限制條件的問題，要優(yōu)先安排特殊元素、特殊位置；3對于含“至多”、“至少”的問題，宜用排除法或分類解決；4按指定的一種順序排列的問題，實質(zhì)是組合問題. 課堂小結(jié)5.需要注意的是，均勻分組（不計組的順序）問題不是簡單的組合問題，如：將3個人分成3組，每組一個人，顯然只有1種分法，而