慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

1、. 重點(diǎn)及難點(diǎn)：慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)）. 截面靜矩和形心1.靜矩的定義式如圖 1 所示任意有限平面圖形，取其單元如面積dA，定義它對(duì)任意軸的一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即dSy xdAdSx ydA整個(gè)圖形對(duì)y、 z 軸的靜矩分別為SyAxdASx ydAAI-1)2.形心與靜矩關(guān)系I-1設(shè)平面圖形形心C 的坐標(biāo)為yC , zC 則 0Sx yASyAI-2)推論 1 如果 y軸通過(guò)形心（即x 0） ，則靜矩Sy 0；同理，如果x軸通過(guò)形心（即y 0） ，則靜矩Sx 0；反之也成立。推論 2 如果x、 y軸均為圖形的對(duì)稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果y 軸為圖

2、形對(duì)稱軸，則圖形形心必在此軸上。3.組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為A1,A2,A3An的簡(jiǎn)單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為x1,y1； x2,y2； x3,y3 ，則圖形對(duì)y 軸和 x 軸的靜矩分別為 TOC o 1-5 h z Sy SyiAixiI-3）i1i1nnSxSxiAi yii1i1截面圖形的形心坐標(biāo)為nAi yiy i 1n（ I-4）Aii1nAi xi i1 xnAi i14.靜矩的特征界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。靜矩有的單位為m3。靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定為零， 反之， 若圖形對(duì)某一軸

3、的靜矩為零，則該軸必通過(guò)圖形的形心。若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式 （ I-1） 求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（I-2）求圖形的形心坐標(biāo)。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對(duì)某一坐標(biāo)系的靜矩，然后由式（I-4）求出其形心坐標(biāo)。.慣性矩慣性積 慣性半徑慣性矩定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3） ，則圖形對(duì)O 點(diǎn)的極慣性矩定義為I 2dA（ I-5）pA圖形對(duì) y 軸和 x 軸的光性矩分別定義為I y x2dA ，I x y2dA（ I-6）AA慣性矩的特征1） 界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。極慣性矩和軸

4、慣性矩的單位為m極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即Ip 2dA （x2 y2）dA Iy Ix （ I-7） AA組合圖形（圖I-2）對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即nnnI I i ， I y I yi ， Ix I xi （ I-8） i1i1i1慣性積定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3） ， 則圖形對(duì)y軸和x 軸的慣性積定義為I xy xydA（ I-9）A慣性積的特征界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)

5、軸定義的。慣性積的單位為m4。慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重且不一定有圖形的對(duì)稱軸。4）組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即nI xy I xyi（I-10）i1慣性半徑定義： 任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3） ,則圖形對(duì)y 軸和 x 軸的慣性半徑分別定義為慣性半徑的特征慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。慣性半徑的單位為m。慣性半徑的數(shù)值恒取證之。.慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式I-12)I-13)I x I xC a

6、 A2I y I yC b2AI xy I x C y C a b A平行移軸公式的特征（ 1）意形狀界面光圖形的面積為A（圖（I-4） ；xC，yC 軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與xC，yC形心軸相距為a和 b的平行軸。（ 2）兩對(duì)平行軸之間的距離a 和 b 的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸x， y 或形心xC， yC為參考軸加以確定。3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但y( 四 ) 、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式. 主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式Ix Iy Ix IyI xcos2 I x sin 2x122xyI y1Ix Iy Ix Iycos2 I x sin2xyIx I

7、yI x1y12 sin 2 I xy cos2轉(zhuǎn)軸公式的特征角度 的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸x,y 轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸x1,y1，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正(圖5)原點(diǎn) O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無(wú)關(guān)。圖形對(duì)通過(guò)同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即IIII Ix y x1 y1 P主慣性軸、主慣性矩任意形狀截面圖形對(duì)以某一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積為零（Ix0y00） ，則坐標(biāo)軸x0、y 0稱為圖形通過(guò)點(diǎn) O的主慣性軸（圖 6）。截面圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩Ix0,Iy0，稱為主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定對(duì)于某一點(diǎn)O，若

8、能找到通過(guò)點(diǎn)O的圖形的對(duì)稱軸，則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過(guò)點(diǎn)O的一對(duì)主慣性軸。對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形（或組合圖形）， 往往已知其通過(guò)自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過(guò)點(diǎn)o 的主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。若通過(guò)某一點(diǎn)o 沒(méi)有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn)o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，任作一坐標(biāo)軸x， y 為參考軸，并求出圖形對(duì)參考軸x， y 的慣性矩 Ix,Iy和慣性積I xy。于是，圖形通過(guò)點(diǎn)o的一對(duì)主慣性軸方位及主慣性矩分別為tan2 00 Ix Iyx0y0Iy2I2 xy( I-16 )(I-17)主慣性軸、主慣性矩的特征圖形通過(guò)某一點(diǎn)O至少具有一對(duì)主慣性

9、軸，而主慣性局勢(shì)O所有軸的慣性矩中最大和最小。2）主慣性軸的方位角0，從參考軸x， y 量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)若圖形對(duì)一點(diǎn)o 為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過(guò)點(diǎn)o 的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸，稱為形心主慣性軸。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。bh2h 0 y dy6例題 I-a圖bh2hbhAydA 0 h(h y)dy b 0 ydy圖 I-5圖 I-6二 .典型例題分析例 I-a 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x 軸的靜矩。解： 計(jì)算此截面對(duì)于x 軸的靜矩Sx時(shí)，可以去平行于x軸的狹長(zhǎng)條(見(jiàn)圖)作為面積元素(因其上各

10、點(diǎn)的y坐標(biāo)相等)，即 dA b(y)dy。由相似三角形關(guān)系，可知:b(y) b(h y) ,因此有dA b(h y) dy。將其代入公式(I-1)的第二式，即得hhSx解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。例 I-2 試確定圖示-b截面形心C 的位置解：將截面分為?、 兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x 軸和 y 軸分別與界面的底邊和左邊緣重合（見(jiàn)圖）。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積Ai 和形心坐標(biāo)（xi , yi ）如下：矩形 ? A 10 120 1200mm2矩形 10 5mm2120 y260mm2A 10 70 700mm TOC o 1-5 h z 7010 x 10 45mm ， y 5m

11、m將其代入公式（I-4） ，即得截面形心C 的坐標(biāo)為A xAx37500 x20mmAA1900解題指導(dǎo)： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心，A yAy75500y40mmAA1900-b例 I-3 試求圖 I-c 所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x 軸的慣性矩I x解： 此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。設(shè)矩形對(duì)于x 軸的慣性矩為Ix ，每一個(gè)半圓形對(duì)于x 軸的慣性矩為I x ，則由公式（I-11）的第一式可知，所給截面的慣性矩：I x I x 2I x（ 1）矩形對(duì)于x 軸的慣性矩為：Ixd(2a)31280 200312445330 10 mm2）半圓形對(duì)于x

12、 軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。為此， 先求出每個(gè)半圓形對(duì)于與 x軸平行的形心軸xC（圖 b）的慣性矩IxC 。已知半圓形對(duì)于其底邊的慣性矩為圓形對(duì)其直徑軸x （圖b）的慣性據(jù)之半，即Ix d4 。而半圓形的面積x 128為 A d 2 ，其形心到底邊的距離為82d （圖b） 。故由平行移軸公式（I-10a） ，3可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸xC 的慣性矩為：xC422d 2 d42d 2 d2x ( )A()3128383）由圖 a可知， 半圓形形心到x軸距離為a 2d ， 故在由平行移軸公式，求得每個(gè)3半圓形對(duì)于x 軸的慣性矩為：I x I xC(a23d)2Ad41282d 2

13、 d 2 ()38(a 23d)2d22ad3a )Ix2 (80) 2480232100222 100 80)3443460 104 mm4d2 d2 a2 (4322將 d=80mm、a=100mm （圖a）代入式（4） ，即得將求得的I x 和 I x 代入式（1） ，便得4444Ix 5330 104 2 3460 104 12250 104 mm4解題指導(dǎo)： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形，利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對(duì)自身形心軸的慣性矩，結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對(duì)組合截面形心的慣性矩。符號(hào)意義及單位：4長(zhǎng)方形截面對(duì)x軸的慣性(cm*) TOC o 1-5 h z a長(zhǎng)(cm)b寬(cm).Bq； + ac：l 3符號(hào)意義及單位：A_慣性矩(cm)B口圖所示(cm)b口圖所示(cm)e：重心S到相應(yīng)邊的距離(cm)重心S到相應(yīng)邊的距惠(cm)a如圖所示(cm)h如圖所示(