2022-2023學(xué)年人教A版2019高中數(shù)學(xué) 必修1 4.5.2 用二分法求方程的近似解（學(xué)案+課時對點練 教師版含解析）

1、4.5.2用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法的實施步驟.3.體會二分法中蘊含的逐步逼近與程序化思想導(dǎo)語同學(xué)們，前幾天有個同事買了一部手機，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子的手機，我可以告訴大家這部手機的價位在2 000元3 000元，如果我給大家6次猜價的機會，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大家能否猜出與手機真實價錢的誤差在50元以內(nèi)的價錢？注意啊，你的機會只有5次！要解決這個問題，接下來，讓我們一起探究解決這個問題的方法吧一、二分法的概念問題1有16個大小相同，顏色相同的金幣，其中有15個金幣是真的，有一個質(zhì)量稍輕的是假的用天平

2、稱幾次一定可以找出這個稍輕的假幣？提示4次第一次，兩端各放8個金幣，高的那一端一定有假幣；第二次，兩端各放4個金幣，高的那一端一定有假幣；第三次，兩端各放2個金幣，高的那一端一定有假幣；第四次，兩端各放1個金幣，高的那一端一定是假幣再比如：有8個質(zhì)量不均勻的小球，只有一個比別的都重，找出最重的小球的問題；有一段電路出現(xiàn)故障的問題；檢修下水道堵塞的問題；包括剛才讓大家猜測手機價格的問題等等這些都可以用上述方法解決，在這個過程中，體現(xiàn)出了“一分為二，逐步逼近”的思想，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“二分法”知識梳理二分法：對于在區(qū)間a，b上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把它的

3、零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法注意點：(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理(2)用二分法只能求變號零點，即零點左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號相反，比如yx2，該函數(shù)有零點為0，但不能用二分法求解例1(1)(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，能用二分法求函數(shù)零點近似值的是()答案ABC解析根據(jù)二分法的定義，知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間a，b一分為二，逐步得到零點的近似值對各圖象分析可知，選項A，B，C都符合條件，而選項D不符合，因為零點左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號，所以不能用

4、二分法求函數(shù)零點的近似值(2)已知f(x)x26xc有零點，但不能用二分法求出，則c的值是()A9 B8 C7 D6答案A反思感悟運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷(2)在該零點左右兩側(cè)的函數(shù)值異號只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()A4,4 B3,4C5,4 D4,3答案D解析圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右兩側(cè)的函數(shù)值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的個數(shù)為3.二、用二分法求函數(shù)零點的近似解問題2按上述思路，你能想辦法求函數(shù)f(x)x33的近似解

5、嗎？提示由于f(1)20，因此可以確定區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下：端點或中點的橫坐標(biāo)計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間a01，b02f(1)2，f(2)51,2x0eq f(12,2)1.5f(x0)0.37501,1.5x1eq f(11.5,2)1.25f(x1)1.046 901.25,1.5x2eq f(1.251.5,2)1.375f(x2)0.400 401.375,1.5x3eq f(1.3751.5,2)1.437 5f(x3)0.029 501.437 5,1.5當(dāng)然，我們可以一直重復(fù)下去，這樣的話，也會使求得的函數(shù)零點更精確，顯然，這可能是一個無休止

6、的過程，即便是計算機，也可能被累死機實際上，如果我們一開始給一個精確度的話，只要滿足了給出的精確度，我們就可以停止計算，比如，該問題中，我們給出精確度為0.1.由于|1.51.437 5|0.062 50.1，所以原函數(shù)的一個正實數(shù)零點可取為1.437 5.知識梳理給定精確度，用二分法求函數(shù)yf(x)零點x0的近似值的步驟1確定零點x0的初始區(qū)間a，b，驗證f(a)f(b)0.2求區(qū)間(a，b)的中點c.3計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)0(此時x0c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)f(c)0(此時x0(a，c)，則令bc；(3)若f(c)f(b)0(此時x0

7、(c，b)，則令ac.4判斷是否達到精確度：若|ab|，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟24.以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷注意點：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點(2)精確度表示當(dāng)區(qū)間的長度小于時停止二分例2(多選)用二分法求函數(shù)f(x)5x7x2的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：x0.062 50.093 750.1250.156 250.187 5f(x)0.456 70.180 90.097 80.379 70.664 7根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得f(x)5x7x2的一個零點近似值(精確度0.05)為(

8、)A0.625 B0.093 75C0.125 D0.096答案BCD解析已知f(0.093 75)0，則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為(0.093 75,0.125)，所以零點在區(qū)間(0.093 75,0.125)上，|0.1250.093 75|0.031 250.05，所以0.093 75,0.096,0.125都符合題意反思感悟二分法求函數(shù)零點的關(guān)注點(1)驗證零點所在的區(qū)間是否符合精確度要求(2)區(qū)間內(nèi)的任一點都可以作為零點的近似解，一般取端點作為零點的近似解跟蹤訓(xùn)練2用二分法求方程2x3x70在區(qū)間(1,3)內(nèi)的近似解，取區(qū)間的中點為x02，那么下一個有根的區(qū)間是_答案(1,2)解

9、析設(shè)f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(1)f(2)0，f(x)零點所在的區(qū)間為(1,2)，方程2x3x70下一個有根的區(qū)間是(1,2)三、二分法的實際應(yīng)用問題3現(xiàn)在你能猜出手機的大概價格了嗎？提示利用公式|ab|eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n即可，其中，價格區(qū)間為2 000,3 000，精確度50，故有eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)neq f(50,1 000)eq f(1,20)，所以通過5次二分，便可得到手機的大概價格例3在一個風(fēng)雨交加的夜晚，從某水庫閘門到防洪指揮所的電話線路發(fā)生了故障，這是一條長為10 km，大約有

10、200根電線桿的線路，設(shè)計一個能迅速查出故障所在的方案，維修線路的工人師傅最多檢測幾次就能找出故障地點所在區(qū)域(精確到100 m范圍內(nèi))?解如圖，工人師傅首先從中點C檢測，用隨身帶的話機向兩端測試，發(fā)現(xiàn)AC段正常，可見故障在BC段；再從線段BC的中點D檢測，發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；再從CD段的中點E檢測；，由此類推，每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，可以算出經(jīng)過n次檢測，所剩線路的長度為eq f(10 000,2n) m，則有eq f(10 000,2n)100，即2n100，又2664,27128，故至多檢測7次就能找到故障地點所在區(qū)域反思感悟二分法的思想在實際生活中應(yīng)用十分

11、廣泛，二分法不僅可用于線路、水管、煤氣管道故障的排查，還能用于實驗設(shè)計、資料查詢、資金分配等跟蹤訓(xùn)練3一塊電路板的AB線段之間有60個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測()A4次 B6次C8次 D30次答案B解析第一次，可去掉30個結(jié)果，從剩余的30個中繼續(xù)二分法；第二次，可去掉15個結(jié)果，從剩余的15個中繼續(xù)二分法；第三次，可去掉7或8個結(jié)果，考慮至多的情況，所以去掉7個結(jié)果，從剩余的8個中繼續(xù)二分法；第四次，可去掉4個結(jié)果，從剩余的4個中繼續(xù)二分法；第五次，可去掉2個結(jié)果，從剩余的2個中繼續(xù)二分法；第六次，可去掉1個結(jié)果，得

12、到最終結(jié)果，所以至少需要檢測六次1知識清單：(1)二分法的定義(2)利用二分法求函數(shù)的零點、方程的近似解(3)二分法在實際生活中的應(yīng)用2方法歸納：化歸、逼近3常見誤區(qū)：二分法并不適用于所有零點，只能求函數(shù)的變號零點，且函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)的1觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()答案A2下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點的是()Ayx7 By5x1Cylog3x Dyeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xx答案D解析A，B，C項均可用解方程求其根，D項不能用解方程求其根，只能用二分法求零點3用二分法求函數(shù)f(x)x35的零點可以取的初始區(qū)間是()A(2，1) B

13、(1,0)C(0,1) D(1,2)答案A解析f(2)f(1)120，所以可以取的初始區(qū)間是(2，1)4若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一個近似根(精確度0.05)為()A1.5 B1.375 C1.438 D1.25答案C解析f(1.406 5)0，f(1.406 5)f(1.438)0，該方程的根在區(qū)間(1.406 5,1.438)內(nèi)，又|1.406 51.438|0.03

14、1 50.05，方程的近似根可以是1.438.1用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,4上的唯一零點的近似值時，驗證f(2)f(4)0，取區(qū)間(2,4)的中點x1eq f(24,2)3，計算得f(2)f(x1)0，則此時零點x0所在的區(qū)間是()A(2,4) B(2,3)C(3,4) D無法確定答案B2用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點時，不可能求出的零點是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx4答案C解析能用二分法求零點的函數(shù)必須滿足在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0.而x3左右兩側(cè)的函數(shù)值都小于零，不滿足區(qū)間端點處函數(shù)值符號相異的條件3用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點時，精

15、確度為0.001，則結(jié)束計算的條件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001答案B解析據(jù)二分法的步驟知當(dāng)|ba|小于精確度時，便可結(jié)束計算4已知函數(shù)yf(x)為0,1上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)f(1)0，使用二分法求函數(shù)零點，要求近似值的精確度達到0.1，則需對區(qū)間至少二分的次數(shù)為()A2 B3 C4 D5答案C5在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，f(0.64)0，f(0.68)0，則函數(shù)的一個精確度為0.05的正實數(shù)零點的近似值不可以為()A0.68 B0.72C0.7 D0.6答案D解析已知f(0.64)0，則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為(0.64

16、,0.72)，又因為0.68eq f(1,2)(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零點在區(qū)間(0.68,0.72)上，|0.720.68|0.040.05，所以0.68,0.7,0.72都符合6(多選)利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表x1.61.41.210.80.60.40.20y2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 61yx22.561.961.4410.640.360.160.040若方程2xx2有一個根位于區(qū)間(a，a0.4)內(nèi)，則a可以取()A1.4 B1 C0.8 D0.6答案BC解析令f(x

17、)2xx2，則f(1.6)0，f(1.4)0，f(1.2)0，f(1)0，f(0.8)0，f(0.4)0，f(0.2)0，f(0)0，f(1.4)f(1)0，f(1)f(0.6)0，f(0.8)f(0.4)0，故a可能取1或0.87用二分法求方程x32x50在區(qū)間(2,4)上的實數(shù)根時，取中點x13，則下一個有根區(qū)間是_答案(2,3)解析設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，f(2)10，f(4)510，下一個有根區(qū)間是(2,3)8在12枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點)，現(xiàn)在只有一臺天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱_次就可以發(fā)現(xiàn)假幣答案3解析將12枚硬幣平均分成兩份，放在天平上

18、，假幣在輕的那6枚硬幣里面；將這6枚平均分成兩份，則假幣一定在輕的那3枚硬幣里面；將這3枚硬幣任拿出2枚放在天平上，若平衡，則剩下的那一枚即是假幣；若不平衡，則輕的那一枚即是假幣，依據(jù)上述分析，最多稱3次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣9以下是用二分法求方程x33x50的一個近似解(精確度為0.1)的不完整的過程，請補充完整，并寫出結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)x33x5，其圖象在(，)上是連續(xù)不斷的一條曲線先求值，f(0)_，f(1)_，f(2)_，f(3)_.所以f(x)在區(qū)間_內(nèi)存在零點x0.填表：區(qū)間中點mf(m)的符號區(qū)間長度解因為方程為x33x50，令f(x)x33x5，所以f(0)5，f(1)1，f(2)

19、9，f(3)31，f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點x0，填表為區(qū)間中點mf(m)的符號區(qū)間長度(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1,1.25)1.1250.25(1.125,1.25)1.187 50.125(1.125,1.187 5)1.156 250.062 5因為|1.187 51.125|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取1.187 5.10已知函數(shù)f(x)3xeq f(x2,x1)，方程f(x)0在(1，)內(nèi)是否有根？若有根，有幾個？若函數(shù)有零點，請寫出函數(shù)零點的大致區(qū)間解方程f(x)0在(1，)內(nèi)有根， f(x)3xeq f(x2,x1)3x1eq f(

20、3,x1)，當(dāng)x(1，)時，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以若方程f(x)0有根，則最多有一個根因為f(0)10，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有唯一零點11用二分法求方程x2lgeq f(1,r(x)3的近似解，可以取的一個區(qū)間是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)x2lgeq f(1,r(x)3，則f(2)22lgeq f(1,r(2)322eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)lg 23lg 210，用二分法求方程x2lgeq f(1,r(x)3的近似解，可以取的一個區(qū)間是(2,3)12若函數(shù)f(x)在a，b上的圖象為一條連續(xù)不斷的

21、曲線，且同時滿足f(a)f(b)0，則()Af(x)在eq blcrc(avs4alco1(a，f(ab,2)上有零點Bf(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上有零點Cf(x)在eq blcrc(avs4alco1(a，f(ab,2)上無零點Df(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上無零點答案B解析由f(a)f(b)0可知feq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)f(b)0，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上有零點13用二分法求函數(shù)的零點，經(jīng)過若干次運算后函數(shù)

22、的零點在區(qū)間(a，b)內(nèi)，當(dāng)|ab|(為精確度)時，函數(shù)零點的近似值x0eq f(ab,2)與真實零點的誤差的取值范圍為()A.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,4) B.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2) C0，) D0,2)答案B解析真實零點離近似值x0最遠即靠近a或b，而beq f(ab,2)eq f(ab,2)aeq f(ba,2)eq f(,2)，所以誤差的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2).14某同學(xué)在借助計算器求“方程lg x2x的近似解(精確度為0.1)”時，設(shè)f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下過程中，他用“二分法”又取了4個x的值，計算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4個值依次是_答案1.5,1.75,1.875,1.812 5解析第一次用二分法計算得區(qū)間(1.5,2)，第二次得區(qū)間(1.75,2)，第三次得區(qū)間(1.75,1.875)，第四次得區(qū)間(1.75,1.812 5)15用二分法求方