2022-2023學(xué)年人教A版2019高中數(shù)學(xué) 必修1 4.5.2 用二分法求方程的近似解（學(xué)案+課時(shí)對(duì)點(diǎn)練 教師版含解析）

1、4.5.2用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法的實(shí)施步驟.3.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近與程序化思想導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，前幾天有個(gè)同事買(mǎi)了一部手機(jī)，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子的手機(jī)，我可以告訴大家這部手機(jī)的價(jià)位在2 000元3 000元，如果我給大家6次猜價(jià)的機(jī)會(huì)，我只能告訴大家猜的價(jià)格比真實(shí)值多或少，大家能否猜出與手機(jī)真實(shí)價(jià)錢(qián)的誤差在50元以?xún)?nèi)的價(jià)錢(qián)？注意啊，你的機(jī)會(huì)只有5次！要解決這個(gè)問(wèn)題，接下來(lái)，讓我們一起探究解決這個(gè)問(wèn)題的方法吧一、二分法的概念問(wèn)題1有16個(gè)大小相同，顏色相同的金幣，其中有15個(gè)金幣是真的，有一個(gè)質(zhì)量稍輕的是假的用天平

2、稱(chēng)幾次一定可以找出這個(gè)稍輕的假幣？提示4次第一次，兩端各放8個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第二次，兩端各放4個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第三次，兩端各放2個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第四次，兩端各放1個(gè)金幣，高的那一端一定是假幣再比如：有8個(gè)質(zhì)量不均勻的小球，只有一個(gè)比別的都重，找出最重的小球的問(wèn)題；有一段電路出現(xiàn)故障的問(wèn)題；檢修下水道堵塞的問(wèn)題；包括剛才讓大家猜測(cè)手機(jī)價(jià)格的問(wèn)題等等這些都可以用上述方法解決，在這個(gè)過(guò)程中，體現(xiàn)出了“一分為二，逐步逼近”的思想，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“二分法”知識(shí)梳理二分法：對(duì)于在區(qū)間a，b上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過(guò)不斷地把它的

3、零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法注意點(diǎn)：(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點(diǎn)存在定理(2)用二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，即零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)相反，比如yx2，該函數(shù)有零點(diǎn)為0，但不能用二分法求解例1(1)(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是()答案ABC解析根據(jù)二分法的定義，知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間a，b一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A，B，C都符合條件，而選項(xiàng)D不符合，因?yàn)榱泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號(hào)，所以不能用

4、二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值(2)已知f(x)x26xc有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則c的值是()A9 B8 C7 D6答案A反思感悟運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷(2)在該零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)只有滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為()A4,4 B3,4C5,4 D4,3答案D解析圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)的零點(diǎn)有3個(gè)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.二、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解問(wèn)題2按上述思路，你能想辦法求函數(shù)f(x)x33的近似解

5、嗎？提示由于f(1)20，因此可以確定區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)或中點(diǎn)的橫坐標(biāo)計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間a01，b02f(1)2，f(2)51,2x0eq f(12,2)1.5f(x0)0.37501,1.5x1eq f(11.5,2)1.25f(x1)1.046 901.25,1.5x2eq f(1.251.5,2)1.375f(x2)0.400 401.375,1.5x3eq f(1.3751.5,2)1.437 5f(x3)0.029 501.437 5,1.5當(dāng)然，我們可以一直重復(fù)下去，這樣的話，也會(huì)使求得的函數(shù)零點(diǎn)更精確，顯然，這可能是一個(gè)無(wú)休止

6、的過(guò)程，即便是計(jì)算機(jī)，也可能被累死機(jī)實(shí)際上，如果我們一開(kāi)始給一個(gè)精確度的話，只要滿(mǎn)足了給出的精確度，我們就可以停止計(jì)算，比如，該問(wèn)題中，我們給出精確度為0.1.由于|1.51.437 5|0.062 50.1，所以原函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)可取為1.437 5.知識(shí)梳理給定精確度，用二分法求函數(shù)yf(x)零點(diǎn)x0的近似值的步驟1確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0.2求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.3計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(1)若f(c)0(此時(shí)x0c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)f(c)0(此時(shí)x0(a，c)，則令bc；(3)若f(c)f(b)0(此時(shí)x0

7、(c，b)，則令ac.4判斷是否達(dá)到精確度：若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟24.以上步驟可簡(jiǎn)化為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來(lái)判斷注意點(diǎn)：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(2)精確度表示當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度小于時(shí)停止二分例2(多選)用二分法求函數(shù)f(x)5x7x2的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：x0.062 50.093 750.1250.156 250.187 5f(x)0.456 70.180 90.097 80.379 70.664 7根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得f(x)5x7x2的一個(gè)零點(diǎn)近似值(精確度0.05)為(

8、)A0.625 B0.093 75C0.125 D0.096答案BCD解析已知f(0.093 75)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.093 75,0.125)，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.093 75,0.125)上，|0.1250.093 75|0.031 250.05，所以0.093 75,0.096,0.125都符合題意反思感悟二分法求函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)注點(diǎn)(1)驗(yàn)證零點(diǎn)所在的區(qū)間是否符合精確度要求(2)區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似解，一般取端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似解跟蹤訓(xùn)練2用二分法求方程2x3x70在區(qū)間(1,3)內(nèi)的近似解，取區(qū)間的中點(diǎn)為x02，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是_答案(1,2)解

9、析設(shè)f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(1)f(2)0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，方程2x3x70下一個(gè)有根的區(qū)間是(1,2)三、二分法的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題3現(xiàn)在你能猜出手機(jī)的大概價(jià)格了嗎？提示利用公式|ab|eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n即可，其中，價(jià)格區(qū)間為2 000,3 000，精確度50，故有eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)neq f(50,1 000)eq f(1,20)，所以通過(guò)5次二分，便可得到手機(jī)的大概價(jià)格例3在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜晚，從某水庫(kù)閘門(mén)到防洪指揮所的電話線路發(fā)生了故障，這是一條長(zhǎng)為10 km，大約有

10、200根電線桿的線路，設(shè)計(jì)一個(gè)能迅速查出故障所在的方案，維修線路的工人師傅最多檢測(cè)幾次就能找出故障地點(diǎn)所在區(qū)域(精確到100 m范圍內(nèi))?解如圖，工人師傅首先從中點(diǎn)C檢測(cè)，用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試，發(fā)現(xiàn)AC段正常，可見(jiàn)故障在BC段；再?gòu)木€段BC的中點(diǎn)D檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段；再?gòu)腃D段的中點(diǎn)E檢測(cè)；，由此類(lèi)推，每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，可以算出經(jīng)過(guò)n次檢測(cè)，所剩線路的長(zhǎng)度為eq f(10 000,2n) m，則有eq f(10 000,2n)100，即2n100，又2664,27128，故至多檢測(cè)7次就能找到故障地點(diǎn)所在區(qū)域反思感悟二分法的思想在實(shí)際生活中應(yīng)用十分

11、廣泛，二分法不僅可用于線路、水管、煤氣管道故障的排查，還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢(xún)、資金分配等跟蹤訓(xùn)練3一塊電路板的AB線段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)()A4次 B6次C8次 D30次答案B解析第一次，可去掉30個(gè)結(jié)果，從剩余的30個(gè)中繼續(xù)二分法；第二次，可去掉15個(gè)結(jié)果，從剩余的15個(gè)中繼續(xù)二分法；第三次，可去掉7或8個(gè)結(jié)果，考慮至多的情況，所以去掉7個(gè)結(jié)果，從剩余的8個(gè)中繼續(xù)二分法；第四次，可去掉4個(gè)結(jié)果，從剩余的4個(gè)中繼續(xù)二分法；第五次，可去掉2個(gè)結(jié)果，從剩余的2個(gè)中繼續(xù)二分法；第六次，可去掉1個(gè)結(jié)果，得

12、到最終結(jié)果，所以至少需要檢測(cè)六次1知識(shí)清單：(1)二分法的定義(2)利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)、方程的近似解(3)二分法在實(shí)際生活中的應(yīng)用2方法歸納：化歸、逼近3常見(jiàn)誤區(qū)：二分法并不適用于所有零點(diǎn)，只能求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，且函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)的1觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是()答案A2下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點(diǎn)的是()Ayx7 By5x1Cylog3x Dyeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xx答案D解析A，B，C項(xiàng)均可用解方程求其根，D項(xiàng)不能用解方程求其根，只能用二分法求零點(diǎn)3用二分法求函數(shù)f(x)x35的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是()A(2，1) B

13、(1,0)C(0,1) D(1,2)答案A解析f(2)f(1)120，所以可以取的初始區(qū)間是(2，1)4若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一個(gè)近似根(精確度0.05)為()A1.5 B1.375 C1.438 D1.25答案C解析f(1.406 5)0，f(1.406 5)f(1.438)0，該方程的根在區(qū)間(1.406 5,1.438)內(nèi)，又|1.406 51.438|0.03

14、1 50.05，方程的近似根可以是1.438.1用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,4上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí)，驗(yàn)證f(2)f(4)0，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1eq f(24,2)3，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是()A(2,4) B(2,3)C(3,4) D無(wú)法確定答案B2用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx4答案C解析能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿(mǎn)足在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0.而x3左右兩側(cè)的函數(shù)值都小于零，不滿(mǎn)足區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相異的條件3用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精

15、確度為0.001，則結(jié)束計(jì)算的條件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001答案B解析據(jù)二分法的步驟知當(dāng)|ba|小于精確度時(shí)，便可結(jié)束計(jì)算4已知函數(shù)yf(x)為0,1上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)f(1)0，使用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，要求近似值的精確度達(dá)到0.1，則需對(duì)區(qū)間至少二分的次數(shù)為()A2 B3 C4 D5答案C5在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)0，f(0.68)0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.05的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值不可以為()A0.68 B0.72C0.7 D0.6答案D解析已知f(0.64)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.64

16、,0.72)，又因?yàn)?.68eq f(1,2)(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)上，|0.720.68|0.040.05，所以0.68,0.7,0.72都符合6(多選)利用計(jì)算器，列出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表x1.61.41.210.80.60.40.20y2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 61yx22.561.961.4410.640.360.160.040若方程2xx2有一個(gè)根位于區(qū)間(a，a0.4)內(nèi)，則a可以取()A1.4 B1 C0.8 D0.6答案BC解析令f(x

17、)2xx2，則f(1.6)0，f(1.4)0，f(1.2)0，f(1)0，f(0.8)0，f(0.4)0，f(0.2)0，f(0)0，f(1.4)f(1)0，f(1)f(0.6)0，f(0.8)f(0.4)0，故a可能取1或0.87用二分法求方程x32x50在區(qū)間(2,4)上的實(shí)數(shù)根時(shí)，取中點(diǎn)x13，則下一個(gè)有根區(qū)間是_答案(2,3)解析設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，f(2)10，f(4)510，下一個(gè)有根區(qū)間是(2,3)8在12枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn))，現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱(chēng)_次就可以發(fā)現(xiàn)假幣答案3解析將12枚硬幣平均分成兩份，放在天平上

18、，假幣在輕的那6枚硬幣里面；將這6枚平均分成兩份，則假幣一定在輕的那3枚硬幣里面；將這3枚硬幣任拿出2枚放在天平上，若平衡，則剩下的那一枚即是假幣；若不平衡，則輕的那一枚即是假幣，依據(jù)上述分析，最多稱(chēng)3次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣9以下是用二分法求方程x33x50的一個(gè)近似解(精確度為0.1)的不完整的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)x33x5，其圖象在(，)上是連續(xù)不斷的一條曲線先求值，f(0)_，f(1)_，f(2)_，f(3)_.所以f(x)在區(qū)間_內(nèi)存在零點(diǎn)x0.填表：區(qū)間中點(diǎn)mf(m)的符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度解因?yàn)榉匠虨閤33x50，令f(x)x33x5，所以f(0)5，f(1)1，f(2)

19、9，f(3)31，f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0，填表為區(qū)間中點(diǎn)mf(m)的符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1,1.25)1.1250.25(1.125,1.25)1.187 50.125(1.125,1.187 5)1.156 250.062 5因?yàn)閨1.187 51.125|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取1.187 5.10已知函數(shù)f(x)3xeq f(x2,x1)，方程f(x)0在(1，)內(nèi)是否有根？若有根，有幾個(gè)？若函數(shù)有零點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間解方程f(x)0在(1，)內(nèi)有根， f(x)3xeq f(x2,x1)3x1eq f(

20、3,x1)，當(dāng)x(1，)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以若方程f(x)0有根，則最多有一個(gè)根因?yàn)閒(0)10，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有唯一零點(diǎn)11用二分法求方程x2lgeq f(1,r(x)3的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)x2lgeq f(1,r(x)3，則f(2)22lgeq f(1,r(2)322eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)lg 23lg 210，用二分法求方程x2lgeq f(1,r(x)3的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3)12若函數(shù)f(x)在a，b上的圖象為一條連續(xù)不斷的

21、曲線，且同時(shí)滿(mǎn)足f(a)f(b)0，則()Af(x)在eq blcrc(avs4alco1(a，f(ab,2)上有零點(diǎn)Bf(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上有零點(diǎn)Cf(x)在eq blcrc(avs4alco1(a，f(ab,2)上無(wú)零點(diǎn)Df(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上無(wú)零點(diǎn)答案B解析由f(a)f(b)0可知feq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)f(b)0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(ab,2)，b)上有零點(diǎn)13用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后函數(shù)

22、的零點(diǎn)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，當(dāng)|ab|(為精確度)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的近似值x0eq f(ab,2)與真實(shí)零點(diǎn)的誤差的取值范圍為()A.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,4) B.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2) C0，) D0,2)答案B解析真實(shí)零點(diǎn)離近似值x0最遠(yuǎn)即靠近a或b，而beq f(ab,2)eq f(ab,2)aeq f(ba,2)eq f(,2)，所以誤差的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2).14某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lg x2x的近似解(精確度為0.1)”時(shí)，設(shè)f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下過(guò)程中，他用“二分法”又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4個(gè)值依次是_答案1.5,1.75,1.875,1.812 5解析第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2)，第二次得區(qū)間(1.75,2)，第三次得區(qū)間(1.75,1.875)，第四次得區(qū)間(1.75,1.812 5)15用二分法求方