立體幾何中的探索性問題

1、PAGE PAGE 5立體幾何中的探索性問題那洪源一 問題的提出（1）立體幾何中的探索性問題，在98，99，00，02年全國高考題以及上海高考題中作為創(chuàng)新題型出現(xiàn)。（2）這種試題較好地體現(xiàn)考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。在高考數(shù)學(xué)測(cè)量研究與實(shí)踐一書中有這樣一段論述，“這種試題的解答過程，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的發(fā)展性和生成性的特點(diǎn)，考查了創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識(shí)，02年這道題起到了很好的示范作用，是今后應(yīng)用問題考查的改革方向”。（3）我個(gè)人觀點(diǎn)：在日常學(xué)習(xí)中，解決這類問題能夠培養(yǎng)我們良好的思維品質(zhì)與思維能力，使我們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)研究。凡新問題的解決（不限于數(shù)學(xué)問題）都有一個(gè)探索的過程，這正是解決問題的關(guān)鍵。

2、那么如何探索呢？本講就從幾個(gè)立體幾何問題著眼，作一點(diǎn)嘗試，供叁考。那么，什么是立體幾何探索性問題呢？先看一個(gè)例題。引例：在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中， 當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時(shí)，有A1CB1D1 （只填上一個(gè)正確條件即可）（98年高考題） 或ABCD是菱形尋求結(jié)論成立的充分條件就是探索性問題。還有條件已知，結(jié)論未知，或結(jié)論不唯一以及結(jié)論不知是否存在，還有部分條件、結(jié)論未知，都被稱為探索性問題。在這里不給出嚴(yán)格定義。下面研究?jī)深悊栴}。二 投影問題在正方體A1C中，E、F分別為面ADD1A1面BCC1B1中心， 則四邊形BFD1E在該正方體面上的射影可能是_（2000年高考題） 是

3、在上、下底面及前、后側(cè)面 是在左、右側(cè)面的投影 故選 2、正四面體ABCD中，S為AD的中點(diǎn)，Q為BC上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則SQD在四個(gè)面上的射影不可能是_B是在面上的投影 C是在面上的投影 D是在面上的投影 故選A3、一個(gè)不透明的正四面體，被一束垂直于桌面的平行光線照射時(shí)，此正四面體在桌面上的射影可能是（把可能的序號(hào)都填上）_是面與桌面平行時(shí)的投影可構(gòu)造正方體 將正四面體ABCD沿棱BC轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上的投影就出現(xiàn)，當(dāng)B在桌面上，A，C，D三點(diǎn)都不在桌面上 使AD，BC在桌面上的射影平行，而AB，CD在桌面上的射影不平行，就出現(xiàn)故填三 構(gòu)造幾何體 4、若一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)等腰直

4、角三角形，另一個(gè)是邊長(zhǎng)為1的正三角形，試求滿足上述條件的三棱錐的體積。（，）第一種情況 第二種情況 第三種情況 仔細(xì)觀察第一，第三種情況會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的結(jié)論：即兩個(gè)四面體滿足一定條件可以疊放成一個(gè)四面體。5、圖1是棱長(zhǎng)為a的正四面體，圖2是棱長(zhǎng)均為b的正四棱錐，問a、b滿足什么條件時(shí)，可將兩個(gè)幾何體適當(dāng)疊放構(gòu)成新的幾何體，使面數(shù)最少？是多少？為什么？并求出這個(gè)幾何體的體積。 由上一題啟發(fā)，需要考慮相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角正四面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角為，則，棱長(zhǎng)相等的正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角為，則，所以 故當(dāng)時(shí)，疊放成一個(gè)新的幾何體（三棱柱）面數(shù)不增加。（五面體）6、如果一個(gè)F面體共有

5、M個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)F面體的直度為（1）、請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)直度為的四面體。（2）、是否存在直度為1的四面體？（3）、若一個(gè)F面體的直度為1，棱數(shù)為E，將E表示為F的函數(shù)。（4）、是否存在直度為1的五面體？分析（1）四個(gè)面有三個(gè)是直角三角形另一個(gè)面不是直角三角形，如圖（2）存在，四個(gè)面都是直角三角形，如圖（3）由一個(gè)面體的直度為1，則共有個(gè)直角三角形的面（沒有其它多邊形作為面）又每一條棱均在兩個(gè)面上，每一個(gè)面都有3條棱，所以即（4）假設(shè)存在直度為1的五面體，由（3）可知棱數(shù)矛盾，故不存在。7、給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊拼成一個(gè)正三棱柱

6、模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等。（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，并做簡(jiǎn)要說明。（2）比較你設(shè)計(jì)的正三棱錐和正三棱柱的體積大小。（3）如果給出一個(gè)任意三角形紙片，(如圖3)能否剪拼一個(gè)直三棱柱，使其全面積與原三角形面積相等。作簡(jiǎn)要說明。（2002年高考題）分析：（1）對(duì)圖（1）D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC的中點(diǎn)，沿虛線剪拼可作正三棱錐。對(duì)圖（2）O為內(nèi)心，D為OB的中點(diǎn)E為AO中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)沿虛線剪拼可作正三棱柱 剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底（2）設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為2，正三棱錐和正三棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，面積為，棱錐的高為 棱柱的高為 （3）O為內(nèi)心，D為OB的中點(diǎn)E為AO中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，沿虛線剪拼可作正三棱柱，剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底。 關(guān)于用三角形剪拼成直三棱柱還有很多方法。列如對(duì)圖（2）有 對(duì)圖（3）有 分別為中點(diǎn) 分別為內(nèi)心 可拼成 平行四邊形，進(jìn)而拼成矩形作成側(cè)面，其余同理。三個(gè)平行四邊形的高顯然相等。8、若四面體各棱長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是_（只需寫出一個(gè)可能值。）（1999年上海高考題）分析：只有三條棱長(zhǎng)為2或四條棱長(zhǎng)為2或五條棱長(zhǎng)為2三種情況 9、四面體的三對(duì)相對(duì)棱長(zhǎng)相等，分別是、5。求這個(gè)四面體的體積，并作以推廣。 分析：構(gòu)造長(zhǎng)方體使