北大高代課件高等代數(shù)第5章

1、第5章 二次型二次型及其矩陣表示標準形唯一性正定二次型 二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或二次曲面方程為標準形問題.第5.1節(jié) 二次型及其矩陣表示 這里首先介紹一些基本概念.基本內(nèi)容二次型的概念線性替換矩陣合同 稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，簡稱二次型.稱為二次型的系數(shù).1.二次型的概念(1)二次型定義(2)二次型的標準形只含有平方項的二次型，即稱為標準形. 例如：一般二次型標準型(3)二次型的矩陣表示二次型f 與對稱矩陣是一一對應(yīng)的. 稱A為二次型f 的矩陣；稱A的秩為二次型f 的秩.二次型f 的標準形與對角矩陣是一一對應(yīng)的.二次型的矩陣表示例1 寫出二次型的矩陣解簡稱線性替換.2.線性

2、替換定義問題：二次型經(jīng)過可逆的線性替換仍為二次型，新老二次型的矩陣之間關(guān)系如何？設(shè)有二次型經(jīng)過可逆線性替換X=CY，有3.合同矩陣定義：設(shè)A、B為數(shù)域P上n階矩陣，如果有數(shù)域P上可逆矩陣C，使 CTAC=B稱A與B合同.合同是矩陣之間的一種關(guān)系，具有反身性對稱性傳遞性結(jié)論：經(jīng)過非退化的線性替換，新老二次型的矩陣是合同的. 以下考慮利用非退化的線性替換化二次型為標準形的問題配方法、初等變換法.定理 數(shù)域P上任意二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化為標準形. 先以具體例子體現(xiàn)該定理內(nèi)容，然后給出定理證明.1.配方法例1 用配方法化二次型為標準形,并求所用的非退化線性替換.解 (1)由于f 中含有x1的平

3、方項,首先把含x1的項歸并起來進行配方，得第5.2節(jié) 標準形則非退化線性替換XCY化二次型為標準形：解 (2)由于f 中不含有平方項,首先令所求非退化線性替換為XCZ，這里配方法化二次型為標準形（小結(jié)） 利用和的平方公式逐步消非平方項（交叉項）.(1)若二次型含有xi的平方項，則把含有xi的項集中,再按xi配成平方項，其余類推，直至都配成平方項； (2)若在二次型中沒有平方項,但aij0(i j),則首先作非退化線性替換：化二次型為(1)的情形，再配方. 定理證明：對變量的個數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法.n=1時， f(x1)=a11x12為標準形.假設(shè)對n-1元二次型結(jié)論成立，再設(shè)關(guān)于x2,xn的二次型

4、 由歸納法假定，有非退化線性替換于是非退化線性替換 (2)aii=0(i=1,2,n),但有a1j0(j1), 不妨設(shè)a120.令為n-1元二次型，由歸納法假設(shè)它可以化為標準形. 綜上所述，證畢. (3)a1j=0(j=1,2,n),由對稱性ai1=0(i=1,2,n), 此時上述定理也可用合同關(guān)系敘述為： 數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣.2.初等變換法配方法的矩陣實施過程： （自看）內(nèi)容回顧:定理 數(shù)域P上任意二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化為標準形.1.配方法用合同關(guān)系敘述為： 數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣.2.初等變換法對稱矩陣都合同于一個對角矩陣，即有可逆矩

5、陣C使 CT AC=為對角矩陣. 由于C為可逆矩陣，因此可以寫成一系列初等矩陣的乘積,即 C=P1,P2 Ps ,從而 CTAC=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=. 由于初等矩陣有三種類型:P(i,j) , P(i(k) , P(i,j (k) 且P(i, j)T = P(i, j) ,P(i(k)T= P(i(k) ,P(i,j (k)T= P(j,i (k)于是 P(i, j)TA P(i, j)= P(i, j)A P(i, j) P(i(k)TA P(i(k)= P(i(k)AP(i(k) P(i,j (k)TAP(i,j (k)=P(j, i(k)AP(i,j (k)定理表明

6、：對A的行每作一次初等變換的同時，也對A的列作相同的初等變換，經(jīng)過若干次這樣的雙變換就可把A化為對角矩陣.第 i 列 的k 倍加到第 j 列初等變換化二次型為標準形的步驟： (1)構(gòu)造2n n矩陣 (2) 例2 用初等變換法將二次型化為標準形,并求相應(yīng)的非退化線性替換.解 二次型f 的矩陣 于是 則可逆線性變換X=CY化二次型為標準形思考練習(xí)第5.3節(jié) 唯一性（二次型的規(guī)范形）要說的話：一個二次型 f (x1,xn)=XTAX ，用不同的非退化線性替換均可將其化為標準形, 因此其標準形不惟一.但需要指出的是:盡管標準形不惟一,但標準形中非零平方項的個數(shù)唯一確定, 它等于二次型的秩r(合同矩陣有

7、相同的秩), 這與所作的非退化線性替換無關(guān). 至于標準形中正、負系數(shù)的平方項的項數(shù), 則隨著數(shù)域的變化而變化. 以下在復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上討論唯一性問題.且規(guī)范形是唯一的，其中r =r(A).證明：復(fù)系數(shù)的二次型 f (x1,xn)=XTAX 經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化XCY可化為標準形1.復(fù)數(shù)域情形定理：任意一個復(fù)系數(shù)的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化為規(guī)范形推論2 兩個n階復(fù)對稱矩陣A合同r(A)=r(B).推論1 任意一個n階復(fù)對稱矩陣A均合同于矩陣且規(guī)范形是唯一的，其中r =r(A).證明 實系數(shù)的二次型 f (x1,xn)=XTAX 經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性

8、替換化XCY可化為標準形2.實數(shù)域情形定理（慣性定理）任意一個實系數(shù)的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化為規(guī)范形下證唯一性. 設(shè)實二次型f(x1,xn)=XTAX 經(jīng)非退化線性替換XBY和XCZ分別把它化為規(guī)范形則有p=q.事實上，若pq,由于其中ZC-1BY=GY，即考慮齊次線性方程組由于方程個數(shù)=q+n-p=n-(p-q)0,代到(*)式右端， 其值0,因此，應(yīng)有pq.同理可證qp,從而p=q.定義 實二次型 f (x1,xn)=XTAX 的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù)p 稱為f (x1,xn)的正慣性指數(shù),負平方項的個數(shù)r-p稱為f (x1,xn)的負慣性指數(shù)

9、,它們的差p-( r-p)= 2p - r稱為f (x1,xn) 的符號差.推論1 兩個n階實對稱矩陣A合同r(A)=r(B)，且正慣性指數(shù)相等.推論2 任意一個n階實對稱矩陣A均合同于矩陣例如 因為秩都是3，而A和C正慣性指數(shù)相同，則 A與C合同,A與B不合同.第5.4節(jié) 正定二次型 對不同二次型進行分類，在理論上和應(yīng)用上都有重要意義,本節(jié)介紹一種重要的實二次型 正定二次型.基本內(nèi)容基本概念正定二次型判定定理負定、半正定、半負定二次型1.基本概念定義：設(shè)有實二次型f(x1,xn)=XTAX,如果對任意的X0，都有 f(x1,xn)=XTAX0稱f 為正定二次型;相應(yīng)的矩陣A稱為正定矩陣，記為

10、A0; ；若對任意X0都有f)的充分必要條件是標準形的n個系數(shù)均為正.證明 若可逆線性替換X=CY使f =XTAX=YT(CTAC)Y=YTY =由于C可逆，所以X0與Y0等價.而X0時，即標準形的n個系數(shù)均為正.推論1 f=XTAX正定（或A）的充分必要條件是正慣性指數(shù)等于n.推論2 f=XTAX正定（或A）的充分必要條件是存在可逆陣C，使A=CTC.推論3 f=XTAX正定（或A）則A0.例1解該二次型正定.問題：對一般的二次型，將其化為標準形非易事，能否直接利用二次型的矩陣A判別它是否正定？A的順序主子式定義1階順序主子式2階順序主子式n階順序主子式定理3 二次型f(x1,xn) = X

11、TAX正定(或A)的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零,即證明 ()設(shè)二次型對每一個k (1k n),令從而二次型fk(x1,xk) 正定，故其矩陣的行列式() 對n作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時，由條件a110, 顯然有f(x1)正定. 假設(shè)對n-1元二次型結(jié)論成立，下證n元的情形也成立.即A的各級順序主子式都大于零.由于A1的所有順序主子式即為A的1,2,n-1階順序主子式,從而A1的所有順序主子式均大于零，由歸納法假設(shè)知A1是正定矩陣.故存在n-1級可逆矩陣G，使 GTA1G=En-1令對稱矩陣與對角矩陣合同兩端取行列式，C2A=a.依據(jù)條件A0,得a0.因此，A與單位矩陣合同，故A為正定矩陣，即二次型f(x1,xn) = XTAX為正定二次型. 解各級順序主子式所以，f是正定二次型.例2 判斷二次型是否正定. 解各級順序主子式故f不是正定二次型.例3 判斷二次型是否正定. 解f 正定，應(yīng)有例43.負定、半正定、半負定二次型判定定理(1)負定二次型 若f 負定，則 -f 正定;因此有如下結(jié)論定理 (i)n元二次型f=xTAx負定的充分必要條件是標準形的n個系數(shù)均為負；(ii)n元二次型f=xTAx負定的充分必要條件是負慣性指數(shù)等于n；(iii)n元二次型f=xTAx負