《平面向量和數(shù)形結(jié)合》（微課）

1、平面向量和數(shù)形結(jié)合長沙藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李理【題】已知平面向量 ，滿足 ，求的取值范圍。（這道題來自人教版(A版)必修4第二章習(xí)題2.4） 認(rèn)識(shí)原題本題從知識(shí)層面上看主要考查向量模的概念及運(yùn)算，其中已知條件“ ”是兩個(gè)等量關(guān)系，而所求的“的取值范圍”是一種不等量關(guān)系，因此如何將條件進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，使等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系是解決這道題的難點(diǎn)，也是尋找解題思路的方向。二、解題方法解法一：不等式法本解法主要涉及了“向量的三角不等式”。解法二：幾何法當(dāng)不共線時(shí)，可構(gòu)成三角形，如圖根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得：當(dāng)共線時(shí)，可得：或6。本解法主要涉及了“平面向量的幾何表示”。解法三：數(shù)量積法兩邊平方得： 整理得：解

2、得：本解法主要涉及了“平面向量模與數(shù)量積關(guān)系的轉(zhuǎn)化”。解法四：坐標(biāo)法若記 ，則 ，以O(shè)N所在直線為x軸，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則可求得點(diǎn) M 的軌跡方程為 ，則 的取值范圍為 。 本解法主要運(yùn)用了“平面向量的坐標(biāo)表示”。三、背景來源高考考試說明在平面向量部分指出向量一方面具有“形”的特征：方向、位置、長度和夾角等；另一方面，又具有“數(shù)”的屬性：大小、正負(fù)、可進(jìn)行運(yùn)算等. 向量這種“數(shù)”與“形”的雙重性，使它成為解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，被廣泛應(yīng)用于解決代數(shù)、三角、幾何等問題中。我們?cè)O(shè)計(jì)的這道模擬題的四種解法正好充分體現(xiàn)了平面向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)與幾何的雙重屬性這一特點(diǎn)。本題的最初

3、來源是“阿波羅尼斯圓”，即三角形的一邊為定值，另兩邊的比值為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡。四、延伸拓展1.結(jié)論的延伸（2008 江蘇）滿足條件 的三角形ABC面積的最大值是_ 2.題設(shè)的推廣 (2010 浙江）已知平面向量 ， ，滿足 ，且 與 的夾角為 ，則 的取值范圍 3.整體的拓展（2013 湖南）已知 是單位向量， ， 若向量 滿足 ，則 的最大值是_。 (2014 湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)， ，動(dòng)點(diǎn)D滿足 的取值范圍 。4.高考動(dòng)向縱觀近三年各省（特別是湖南?。┑母呖迹瑢?duì)平面向量的考查,內(nèi)容從原來的簡(jiǎn)單概念和基本運(yùn)算，逐步發(fā)展為與三角、解析幾何、不等式等整合的綜合問題（比如2014年湖南省20題的第（2）問）。以幾何為背景，“平面向量”為載體，代數(shù)運(yùn)算為手段來考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，題型新穎、靈活、多變，成為高考卷的新亮點(diǎn)。 結(jié)語數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)