北航理力課件d-ch10d

1、理論力學(xué)作業(yè)：10-13、10-14、10-1510-3陀螺近似理論陀螺？為什么要研究陀螺近似理論？用什么方法研究？2012-4-171理論力學(xué)陀螺？陀 螺(gyroscope)： 繞質(zhì)量對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體。2012-4-172結(jié)構(gòu)特性：陀螺轉(zhuǎn)子為旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)特性：繞對(duì)稱軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度大小為常量）理論力學(xué)陀螺的動(dòng)力學(xué)特性陀螺的進(jìn)動(dòng)性陀螺的定向性如何解釋“騎車撒把”的穩(wěn)定性2012-4-173理論力學(xué)為什么要研究近似理論問題:1、如何定性分析陀螺的動(dòng)力學(xué)特性？2、如何應(yīng)用陀螺近似理論研究實(shí)際工程問題？3、如何應(yīng)用陀螺近似理論分析解釋一些力學(xué)現(xiàn)象？目的：要建立陀螺的運(yùn)動(dòng)與其作用力間的簡(jiǎn)

2、潔關(guān)系式2012-4-174理論力學(xué)用什么方法研究z定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)方程j J zkzO JxxJydLOexOdtx y& JoxMxyyzy My y&Jzxz M& Jzxxyz 2012-4-175方程的特點(diǎn)：具有普遍性，適用范圍廣。形式復(fù)雜，不易做定性分析和簡(jiǎn)便計(jì)算。其中：Ox、Oy、Oz為剛體對(duì)O點(diǎn)的慣量主軸（隨體坐標(biāo)軸）利用陀螺的運(yùn)動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)特性ZLO ( , ，J J J )x 0 x y ai JJ Jj k k y i jx J x x yz za J y (z )k j Jl o l J ( x i yj) J kdi l y J z J kl Jdl l ixad

3、tdk dk y JL& l O kO x dtdtdt目的：略去二階小量dl ldt2012-4-176dl dl Jdkdk J l,L& kl Odtdt ldtdt J JJ z z JL&O dLOQ MOdt J L& lzOL&O =Jz / l , z 0if : z z Z陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)精確公式：if : L&O Jz 陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)近似公式：l 其中：MO是作用于陀螺轉(zhuǎn)子上的所有外力對(duì)O點(diǎn)之矩的矢量和，O點(diǎn)既可以是慣性參考系中的固定點(diǎn)，也可以是陀螺的質(zhì)心。2012-4-177M O J z M O J z Z陀螺的動(dòng)力學(xué)特性：陀螺（力矩）效應(yīng)陀螺的進(jìn)動(dòng)性陀螺的定向性Mg Jz

4、陀螺力矩(gyroscopic torque)：MO J z MO J z 0 J MO Mg 0 0M作用在陀螺上的外力矩與陀螺力矩相互平衡2012-4-1782012-4-179例：已知 1 ,2的大小為常量，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為R CD2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加動(dòng)反力。M g J z 1陀螺力矩221mg2FFCD軸承C、D作用在CD軸上的附加動(dòng)反力MO Mg 0 Mg 1 mRM221gCD2L4L當(dāng)轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若轉(zhuǎn)軸也轉(zhuǎn)動(dòng)，則陀螺力矩會(huì)產(chǎn)生附加動(dòng)反力。陀螺力矩產(chǎn)生的作用效應(yīng)稱為陀螺效應(yīng)。2012-4-1710觀察的現(xiàn)象： 動(dòng)點(diǎn): 圓盤邊緣上的一點(diǎn)M下半圓盤向里斜, 上

5、半圓盤向外斜。動(dòng)系:固連在電機(jī)定子的oxyzzyoxFCMaCM J 陀螺力矩gz vr2012-4-1711可以證明：陀螺力矩就是各質(zhì)點(diǎn)科氏慣性力對(duì)O點(diǎn)之矩的矢量和。陀螺效應(yīng)的實(shí)例計(jì)算機(jī)硬盤的陀螺效應(yīng) Jz MgMg 12mg2 MgCD2LmR 214L2012-4-1712當(dāng)計(jì)算機(jī)硬盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，搬動(dòng)計(jì)算機(jī)會(huì)損壞硬盤。Mg Jz 陀螺力矩的應(yīng)用實(shí)例Mgv2012-4-1713問題：分析車輛轉(zhuǎn)向時(shí)，車輪的陀螺效應(yīng)。vMg Jz 轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)：使飛機(jī)抬頭或低頭。2012-4-1714問題：分析飛機(jī)盤旋飛行時(shí)，發(fā)轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)。2012-4-1715陀螺的進(jìn)動(dòng)性MOmgM J Oz 2012-4

6、-1716問題：如何確定陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度方向？陀螺的定向性2012-4-1717證明：當(dāng)外力對(duì)剛體的質(zhì)心之矩為零時(shí)，剛體繞最大或最小慣量轉(zhuǎn)軸（k 軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的（k的方向是穩(wěn)定的）。 t )?00根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程(1) ( 2) x xzz Mx x& J yyyzy& J然后兩式相加得：My yzxzJJJy ( Mz z&Jx Jxxy& y y 由于外力對(duì)質(zhì)心之矩為零，則A JJA B 0J設(shè)：x B x&J(J(1)y yyz J(2)根據(jù)z軸的性質(zhì)有：yzxz(3)z&JA B 0 xxy2012-4-1718設(shè)：z 軸是剛體的最大或最小慣量主軸。A A1d B B2 0由（4

7、）式：d 0 A B CA M *2y (d| x (t) |x 2AB C2x 2y A(4)CB A B | y (t) | M *A、B、C 同號(hào)B (t ) BC A22(t )(5) x 0y 0M max A B A B ,若： , (t )(t ) x 0y 0AB 不失一般性，設(shè)：A0、B0、C0當(dāng) t t0 時(shí)，必有： C ( A B) 2由（5）式2012-4-1719| x (t ) | *,| y (t ) | *(6) J x x y zk j 剛體對(duì)質(zhì)心 C 的動(dòng)量矩為：CdLC 0 L (t ) Le()(t )(7)QCC0Cdt若初始時(shí)：t t 0 , , ,

8、 1 1x ( t 0)y ( t 0)z 0則有：)i J ) j J Jk L (t ) J(t )k (8)(t(tz z 00C0 x x 00y y 00z z 00 x (t) *,y (t) t0 時(shí)，由（6）式 J z z (t )k J ( ) jtt i (9)LCJt k (t ) L(t)則有：因?yàn)閷?duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒：LCC02012-4-1720 0 t )0 飛行器慣性導(dǎo)航2012-4-1721高速旋轉(zhuǎn)物體的其它動(dòng)力學(xué)特性2012-4-1722ZZvrBBvrOOvrAAZZvrMg Jz 2012-4-1723思考題：質(zhì)點(diǎn)A、B質(zhì)量均為m，固連在不計(jì)質(zhì)量的AB桿上

9、， AB桿繞O點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)：AO=BO=R，能否用陀螺近似理論公式計(jì)算圖示瞬時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的陀螺力矩。Zy D Jz MgBx J y J x OAZC2012-4-1724思考題：4個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量均為m，固連在不計(jì)質(zhì)量的AB和CD桿上，AB桿和CD桿垂直，繞O 點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)：AO= BO= CO = DO =R，能否用陀螺近似理論公式計(jì)算該定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的陀螺力矩。z補(bǔ)充內(nèi)容：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能z1212 miiT 2iiivi ri1(a bb c)xyox( ) yi21 xi j km )2iiix i Jj LOJJk 1 ym)i21 TLO22012-4-1725T 1 ( J2 2 2 )2xyzz122x22zTJ)xyyx2 1 mR212mR , J J2Jz 4xyz sin ,cos1z1m22221)82012-4-1726例：求質(zhì)量為m半徑為R 的均質(zhì)圓盤的動(dòng)能 。已知： , J z 解：應(yīng)用陀螺近似理論：MOZMO mgL sin 300 | J sin 300| Jz C 2Fsin 300a