【高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】35：排列組合和二項(xiàng)式定理

1、【高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】排列、組合與二項(xiàng)式定理1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類計(jì)數(shù)定理（加法原理）：如果完成一件事，有類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方式中有種不同的方法，.，在第類方式中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（2）分步計(jì)數(shù)定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，.，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（3）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別關(guān)鍵在于看事件能否完成，事件完成了就是分類，分類后要將種數(shù)相加；事件必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步，分步后要將種數(shù)相乘.排列排列

2、的定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.排列數(shù)的定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.排列數(shù)公式：. 特別地： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT （全排列） = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 3.組合（1）組合的定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.（2）組合數(shù)的定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.（3）組合數(shù)公式：

3、. 特別地：.組合數(shù)的性質(zhì)：； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT .解決排列與組合問(wèn)題的常用方法 通法：先特殊后一般（有限制條件問(wèn)題），先組合后排列（分組問(wèn)題），先分類后分步（綜合問(wèn)題）.例：某校開(kāi)設(shè)9門(mén)課程供學(xué)生選修，其中A、B、C三門(mén)由于上課時(shí)問(wèn)相同，至多選一門(mén)，學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修4門(mén)，共有多少種不同的選修方案？答：特殊元素、位置優(yōu)先安排法：對(duì)問(wèn)題中的特殊元素或位置優(yōu)先考慮排列，然后排列其他一般元素或位置. 例4-1：0、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)？ 答：限制條件排除法：先求出不考慮限制條件的個(gè)數(shù)，然后減去不符合條件的個(gè)數(shù).也適用

4、于解決“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題.例4-2：從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，若至少有2名女同學(xué)當(dāng)選，問(wèn)有多少種情況？答：（3）相鄰問(wèn)題“捆綁法”：將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個(gè)元素進(jìn)行排列，待整個(gè)問(wèn)題排好之后再考慮它們內(nèi)部的排列數(shù)，它主要用于解決相鄰問(wèn)題.例4-3：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？ 答：不相鄰問(wèn)題“插空法”：先把無(wú)位置要求的元素進(jìn)行排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的“空檔”中（注意兩端）.例4-4：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？ 答： （5）元素相同“隔板法”：若把個(gè)不加區(qū)分的相同元

5、素分成組，可通過(guò)個(gè)相同元素排成一排，在元素之間插入塊隔板來(lái)完成分組，共種方法.例4-5：10張參觀公園的門(mén)票分給5個(gè)班，每班至少1張，有幾種選法？ 答： （6）元素不多“列舉法”：即把符合條件的一一列舉出來(lái).例4-6：將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填一個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有種。答：9.（7）選排問(wèn)題先取后排法：常先取出元素（組合）再排列.例4-7：高三（6）班有34個(gè)男生，11個(gè)女生，從45名學(xué)生中選3名男生、2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、文娛委員、體育委員，共有多少種不同的方法？答：（8）定序問(wèn)題消序法：甲、乙、丙順

6、序一定，采用消序法即除法，用總排列數(shù)除以順序一定的排列數(shù).例4-8:2名女生、4名男生排成一排，問(wèn)：女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？答：注意：在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到“分組”問(wèn)題，要特別注意是平均分組還是不平均分組比如將4個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法二項(xiàng)式定理定理內(nèi)容：.右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，它共有項(xiàng)，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為第項(xiàng)，即二項(xiàng)展示式中的叫做第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).注意：二項(xiàng)展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)不同于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).例：在的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是而第4項(xiàng)的系數(shù)是（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 展

7、開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 若是偶數(shù)，則中間項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)公式系數(shù)最大，其值為C；若是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)和第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，其值為C= C； = 5 * GB3 * MERGEFORMAT 所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于，即； = 6 * GB3 * MERGEFORMAT 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即 注：在應(yīng)用二項(xiàng)式定理求系數(shù)和（或二項(xiàng)式系數(shù)

8、和）時(shí)，通常會(huì)采用特殊化的方式（“賦值法”）來(lái)處理問(wèn)題，即將二項(xiàng)式定理中的變量用一些特殊的數(shù)字、代數(shù)式代入（或求導(dǎo)后再賦值），從而得到所要研究的對(duì)象.1. .2. .3. .4. .5. .例：已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和比的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大在的展開(kāi)式中：（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng). 答：（1）；（2）1；（3）百分位數(shù)（1）定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.（2）算法：可以通過(guò)下面的步驟計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)：第一步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)

9、.第二步，計(jì)算.第三步，若不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).應(yīng)用：我們初中學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)中也經(jīng)常被使用.例1根據(jù)所給的以下數(shù)據(jù):3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他們的75%，50%分位數(shù).例2.我國(guó)是世界上嚴(yán)