8-1第二類日方程

1、第8章廣義坐標中的-日原理由動能定理到第二類日方程第二類日方程第8第8章第8章d d(1 mv v ) d (1 mv 2 ) dT理：理約束系統(tǒng)：廣義坐標為q1, q2, , qN22動能是的標量，運算方便；完整r質(zhì)點i矢徑：r riri r r ri能量在物理中具有普遍意義；ni di ri q2 , ,qN , t m r Q*dt qiqqq常用運動量、列運動微分方程；ki i k k nni1kk質(zhì)系動力學普遍方程： fi ri mi ai ri 0對單度問題能直接列出最終的運動微 d n r d r n i i i i m r m ri1i1分方程；只有一個方程，不能處理多ii N

2、 ndt qk ndtq f r f i1理想iii度問題。ki1kk 1 i 1 d nr ri 1n im r m 第二類日方程：iiNQk qk 0dt ik保持動能定理的優(yōu)點；把動knnN n n m a r m d 11完整系統(tǒng) q2r2m r2i iiii i ti 1i 1k i1 r ri iN* 0 證明過程：從廣義坐標表示的動力學普遍方程出發(fā)；模仿動能定理作變換，轉(zhuǎn)換為用能量表示。kk d T1 i1k d 廣義主動力和廣義慣性力相互平衡！ k Q *kk第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用廣義慣性力第二日

3、方程2002 年12 月朗日方程及其應(yīng)用參考題： 8-1；8-8；8-12作業(yè)： 8-2；8-4；8-5日關(guān)系式第二類日方程日方程的特點第8章第8章第8章Q* d T T2 , ,qN , t) 0日方程的方程數(shù)等于質(zhì)系度kkdt對t求導(dǎo)數(shù)，是最少量方程kq 求導(dǎo) d T T Q ,Nrr第二類 k 1,2, N不需要考慮理想約束的約束反力動能計算只需要分析速度，不需加速度dt riiqkqk日方程kj 1如主動力都是有：對qk求導(dǎo)k日方程是標量方程 d T T VV 0 2r2 rrNN qkdt i qk基于能量的方程，可推廣至非機械（如tq jkkj1主動力為時電磁）系統(tǒng)。的日方程L =

4、 T V 日函數(shù)，或動勢交換對 t 和對 q 的求導(dǎo)順序 k勢例1例1解日方程的解題步驟第8章第8章第8章理 束，一個度。否理想完整約束，能否用拉氏方程；主動力是否有勢，用何種形式的拉氏方程。機構(gòu)在水平面內(nèi)運動。質(zhì)量為m的行均質(zhì)曲柄AB 帶動行星齒輪 II在固定齒輪I 上取曲柄的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標。純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2 ， 半徑為r2。定T 1 (2m 9m )(r r )22確定系統(tǒng)的度數(shù)，選擇廣義坐標。2 1 2齒輪I的半徑為r 。桿與輪鉸接處的摩擦力忽121略不計。當曲柄受力偶矩為M的常力偶作用按所選廣義坐標，寫出系統(tǒng)動能、勢能或廣義力。 M MQ時，用日方程求曲柄的角加速度。T

5、1 ( 2m 9m )(r r ) 22 1 2把動能、廣義力或日函數(shù)代入 6朗日方程。共得N個二階常微分方程。利用初始條件，求解日方程。N個二階常微分方程對時間積分時需要2N個初始條件：6M16 (2m 9m )(r r )2 1 2( 2m 9m )(r r ) M222 12qqt = 0 時給定：k 0 和 k 0和動能定理結(jié)果一致第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用 d T T Qdt d L L Q , k 1,2, N 主動力既有dtqkk力又有非 d L L

6、0, k 1,2, Ndtqk ri d ri qkdt qk 例2例2用例2解第8章第8章第8章x 2 1 mB (x 2 l2 2 2lx cos ) mB gl cos理 二個約束，有勢，度。yAm g方程求橢圓擺的運動微分方程2xAx取x和為廣義坐標系統(tǒng)的勢能為OL 0L (m m )x m l cos xxABB ABBd LV mBgl cos ( m m )x m l cos m l sin2dt xBB系統(tǒng)的動能為 (mA m B )x mB l cos mBl 2 sin 0 動量方程mBg11LLT m v m v22 mBl x sin mBgl sin mBl2 mBl

7、x cos A AB B 2211 m x m ( x l 2lx cos)d L22 22 m l m lxcos ml x sinAB222dt BBB l xcos g sin 0 系統(tǒng)的日函數(shù)為動能定理L T V同時導(dǎo)出 2 個方程，而動能定理只得 1 個方程。例3例3解例3解第8章第8章第8章動約束 ，解M半的圓環(huán)在力偶M Ldt Q代之于約束反力M。系統(tǒng)矩為M的力偶作用下以具有兩個度，取 和角速度 勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì) 為廣義坐標。mg為，y量為m的可在圓環(huán)yM ( J mR2 sin2 ) 2mR2 siM不是。上滑動。已知圓xxO將約束條件 和 0 代入上式，即得為使圓環(huán)勻角速轉(zhuǎn)動所需

8、施加的力偶矩 M為O環(huán)對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，忽略摩擦力。求為使圓環(huán)勻角速轉(zhuǎn)動所需施加的力偶矩M。1L 2 ( J mR sin ) 22 2RRRR1 m2Qmm M MM 2mR2 si還有對度 的一個方程 L 0 L (J mR2 sin2 )d L L 0 d L (J m R2 sin2 ) 2mR 2 sidt dt 第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用第二類拉格朗日方程及其應(yīng)用 d L L 0, k 1,2 dt qkymA g x OAxBmB g例4例4例4解解第8章第8章第8章理約束

9、，有勢，二個度。 3 m)x mx mxx cos mgx sin 用日方程列寫系統(tǒng)的運動微分方程。2224rrr取x和xr 為廣義坐標。yLLx 0 ( M m )x mxr cos x2 xr111 1 rxT Mx2 m2 x cos ) mr2O 22r2 2 r2xCd L ( M m )x mx cos 12 3 2 ( M m)x mx mx x cosdt xrvrrxC24 x L mg sin mx mx cosL 3rxV mgx sin xrxr2rrO 13d L 3 mx mxcos L ( M m)x mx mxx cos mgx sin2224rrrdt x2r r x : (M m )x mxr cos 0 x : 3 mx mxcos mg sin 0rr2例5例5解第8章第8章義坐標， x 從靜伸長位置起算。選m, M, k, a。求：系統(tǒng)運動微分方程。rT M x 2 1 m1 cos)22rxO第二類拉格朗日方程及