(事件的相互獨立性)課件

1、2.2.2 事件的相互獨立性第1頁，共36頁。第2頁，共36頁。第3頁，共36頁。思考 ：三張獎券只有一張可以中獎，現(xiàn)分別由三名同學有放回地抽取，事件A為“第一位同學沒有抽到中獎獎券”，事件B為“最后一名同學抽到中獎獎券”。 事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？分析：事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率。于是：第4頁，共36頁。事件的相互獨立性 設A，B為兩個事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立。即事件A（或B）是否發(fā)生,對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件。第5頁，共36頁。注：區(qū)別：互斥事件和相互獨立事件是兩個不同概念：兩個事件

2、互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。兩個事件A、B相互獨立等價于兩個事件互斥，有反之，不成立。第6頁，共36頁。在事件A與B相互獨立的定義中，A與B地位對稱的；在條件概率P(B|A)中， A與B的地位不是對稱的.如果事件A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與B是相互獨立的。第7頁，共36頁。證明：如果事件A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與B是相互獨立的。又 A與B相互獨立第8頁，共36頁。一般地，如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P（A1A2An）=P（A1）P

3、（A2）P（An）顯然，必然事件 及不可能事件與任何事件A相互獨立.第9頁，共36頁。練習.判斷下列事件是否為相互獨立事件籃球比賽的“罰球兩次”中， 事件A：第一次罰球，球進了. 事件B：第二次罰球，球進了.袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球.事件A：第一次從中任取一個球是白球.事件B：第二次從中任取一個球是白球.袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次從中任取一個球是白球. 事件B：第二次從中任取一個球是白球.第10頁，共36頁。 分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設A是事件“第1枚為正面”，B是事件“第2枚為正面”，C是事件“2枚結(jié)果相同”。問：A、B、C中哪兩個相互

4、獨立？分析：利用古典概型計算概率的公式，可以求得P(A)=0.5 , P(B)=0.5, P(C)=0.5 , P(AB)=0.25 , P(BC)=0.25 , P(AC)=0.25 可以驗證：P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).所以根據(jù)事件相互獨立定義，有事件A與B、B與C、A與C都是相互獨立的。練習:第11頁，共36頁。例3、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都為0.05，求兩次抽獎中以下事件的概率：（1）都抽到某一

5、指定號碼；（2）恰有一次抽到某一指定號碼；（3）至少有一次抽到某一指定號碼。第12頁，共36頁。(1)都抽到某一指定號碼; 解: （1）記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A，“第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB.由于兩次抽獎結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨立.于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率第13頁，共36頁。(2)恰有一次抽到某一指定號碼; 第14頁，共36頁。(3)至少有一次抽到某一指定號碼; 問題(3)還有沒有其他方法可以計算?第15頁，共36頁。(3)至少有一次抽到某一指定號碼; 解:“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號

6、碼”的對立事件是“兩次抽獎都沒有抽到某一指定號碼”，所求的概率為第16頁，共36頁。 設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?問題：解：事件 B 為“擊落飛機”, 第17頁，共36頁。第18頁，共36頁。練習: 已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大解出問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？ 略解: 三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為 所以，合三個臭皮匠之力把握就大過諸葛亮.第19頁，共36頁。獨立重復試驗的概率第20頁，共3

7、6頁。提出問題：1、根據(jù)我們前面所學的知識，思考：若將一枚硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是多少？2、某射手射擊1次，擊中的概率是0.9，他射擊4次恰好擊中1次的概率是多少？第21頁，共36頁。即從4個位置上取出1個寫上A，另3個寫 ，所以這些情況的種數(shù)等于從4個元素中取出1個元素的組合數(shù)C41 = 4 ，且這4種情況彼此互斥。若記在第1、2、3、4次射擊中，這個射手擊中目標為事件A1、 A2、 A3、 A4，未擊中目標為事件那么，射擊4次，擊中1次共有下面4種情況：第22頁，共36頁。根據(jù)互斥事情的概率加法公式、相互獨立事情的乘法公式，射擊4次，擊中1次的概率：= C41 0.9(10.9

8、)4 1 = 40.90.13 0.0036第23頁，共36頁。擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率是q=1-p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是多少？第24頁，共36頁。類似可以得到：可以發(fā)現(xiàn)第25頁，共36頁。 一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率：此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n,p)，并稱p為成功概率。第26頁，共36頁。說明:（1）每一次獨立重復試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的；(2)此公式

9、僅用于獨立重復試驗二項分布公式第27頁，共36頁。例1：某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算:(1)5次預報中恰有4次準確的概率；(2)5次預報中至少有4次準確的概率。(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)：解：設X為天氣預報準確的次數(shù)， 則XB（5,0.8）(1) 5次預報中恰有4次準確的概率是：P（x=4）= C540.84 (10.8)54 0.41第28頁，共36頁。例1：某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算:(1)5次預報中恰有4次準確的概率；(2)5次預報中至少有4次準確的概率。(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)：(2) 5次預報中至少有4次準確的概率，就是5次預報中恰有4次準確的概率與5次預報都正確

10、的概率的和。P（X4）=P（x=4） + P（x=5） = C540.84 (10.8)54 + C550.85 (10.8)5-5 0.74第29頁，共36頁。例2：某人參加一次考試，若五道題中解對4道則為及格，已知他解一道題的正確率為 0.6 ,試求他能及格的概率(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)分析：設事件 A ：“解題一道正確”，則P（A）= 0.6，由于解題五道相當于5次獨立重復試驗，且他若要獲得及格需解對4題或5題，因此即為在5次獨立重復試驗中，事件A至少發(fā)生4次。第30頁，共36頁。例2：某人參加一次考試，若五道題中解對4道則為及格，已知他解一道題的正確率為 0.6 ,試求他能及格的概率(

11、結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)解：設X為解題正確的題數(shù)， 則XB（5,0.6）P （X4）= P（X=4）+ P（X=5）所求及格的概率為= C54 0.640.4 +C55 0.65 0.34第31頁，共36頁。練習：某車間的5臺機床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是1/4，求1小時內(nèi)這5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率是多少？分析：設事件A：一臺機床需要工人照管。則P（A）= ，且這5臺機床需要照管相當于5次獨立重復試驗。1小時內(nèi)這5臺機床中至少2臺需要照管就是指事件A至少發(fā)生2次。解：設X為需要工人照管機床的臺數(shù)，則XB（5, 14）1小時內(nèi)這5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率為：P（X2）=

12、1P（X=1）+ P（X=0）=1C51(1/4)(3/4)4 + C50(1/4)0(3/4)50.37第32頁，共36頁。練習： 某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，（1）恰有8次擊中目標的概率；（2）至少有8次擊中目標的概率。解：設X為擊中目標的次數(shù)，則XB(10,0.8)(1)在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為第33頁，共36頁。練習： 某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，（1）恰有8次擊中目標的概率；（2）至少有8次擊中目標的概率。解：設X為擊中目標的次數(shù)，則XB(10,0.8)(2)在10次射擊中，至少有8次擊中目標的概率為第34頁，共36頁。練習： 設一射手平均每射擊10次中靶4次，求在五次射擊中擊中一次，第二次擊中，擊中兩次，第二、三兩次擊中，至少擊中一次的概率由題設，此射手射擊1次，中靶的概率為0.4 n5，k1，應用公式得 事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可，它不同于“擊中一次”，也不同于“第二次擊中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是0.4n5，k2，第35頁，共36頁。“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率為0.40.40.16設“至少擊中一次