概率論第三章 lwl2012

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.4 條件分布3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布若X1, X2,Xn是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱(X1, X2,Xn) 是n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2.0 F(x,y) 11. F(x,y)是變量x,y的單調(diào)不減函數(shù)。對(duì)于任意y, x1x2, F(x1,y) F(x2,y)對(duì)于任意x, y1y2, F(x,y1) F(x,y2)4. F(x,y)關(guān)于x,y右連續(xù)。 二維離散型隨機(jī)變量i, j =1,2, 定義：若X和Y 只可能取有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)孤

2、立的值，他們的概率分布可表示為則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,上式為(X,Y)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列. 性質(zhì)XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.例1. 一批產(chǎn)品中50%一等品，30%二等品，20%三等品。現(xiàn)從中有放回地抽取5件，以X和Y分別表示取出的5件中一等品、二等品的件數(shù)，求（X,Y）的分布。多項(xiàng)分布 若每次試驗(yàn)有r 種結(jié)果：A1, A2, , Ar記 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r. p1 + p2+ pr =1記 Xi 為 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 Ai 出現(xiàn)的次數(shù).則 (X1, X2, , Xr)

3、的聯(lián)合分布列為：回顧. 盒子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取4個(gè)，以X、Y分別表示取到的黑球、白球的個(gè)數(shù)，求（X,Y）的分布。XY01230 1 2 0 03/352/35 06/3512/352/351/356/353/35 0多維超幾何分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義：設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)p(x,y)使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,有則稱（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。函數(shù)p(x,y)稱為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)設(shè)G為一平面區(qū)域，則(X,Y)落在G內(nèi)的概率為概率P(x1X x2 ,y1Y y2)用分布密度p(x,y)如何表示？例1. 設(shè)(X,Y)的分布密

4、度是求 (1) C的值； (2)分布函數(shù) (3)P(YX2)二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度, 則稱(X,Y)服從參數(shù)為其中均為常數(shù),且的二維正態(tài)分布.記3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊際分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的邊際分布i, j =1,2, 設(shè)（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊際分布列分別為XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.pip1p2 .pi .pjp1 p2 pj 1設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為p(x,y),則關(guān)于X和關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)分別為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際密度函數(shù)例1. 設(shè)

5、（X,Y）在區(qū)域G（0y2x,0 x 2)上服從均勻分布，求X、Y的邊際密度 函數(shù)。例1. 已知隨機(jī)變量X,Y 分布列如下,并且P(XY=0)=1,求P(X=Y)=_X-1 01Pk1/4 1/2 1/4Y 01Pk1/2 1/2隨機(jī)變量的獨(dú)立性 如果二維隨機(jī)變量（X,Y）滿足,對(duì)任意x,y有 則稱X,Y相互獨(dú)立 .離散型連續(xù)型例2 已知(X,Y)的分布如下，判斷X、Y是否獨(dú)立。XY1231231/31/61/901/61/9001/9例3 已知X、Y獨(dú)立,完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/61例4. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分密度函數(shù)是求關(guān)于X、Y的邊際密度函數(shù)，并判斷X、Y

6、是否獨(dú)立。求P(X0.5,Y0.5)例5. 從（0，1）中任取兩個(gè)數(shù)，求（1）求兩數(shù)之差大于0.5的概率；（2）兩數(shù)之積小于1/4的概率。例6.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為：求（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣概率密度,并討論X與Y的獨(dú)立性。習(xí)題3.1 ：6(補(bǔ)充一問(wèn)：證明X,Y相互獨(dú)立）習(xí)題3.2：4, 13,152.袋中有5個(gè)大小形狀相同的球，其中4個(gè)白球，1個(gè)紅球?，F(xiàn)甲、乙兩人輪流隨機(jī)取球，直到某人取出紅球?yàn)橹梗O(shè)甲先取球。令X、Y分別為結(jié)束取球時(shí)甲、乙取球的次數(shù)。求(X,Y)的聯(lián)合分布列，并判斷X、Y的獨(dú)立性。 離散型例1：設(shè)（X,Y）聯(lián)合概率分布為：XY01-10 1 21/53/2

7、0 1/10 3/101/10 0 1/10 1/20求X+Y,XY的概率分布。3. 3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且分別服從證明：X+Y服從離散型卷積公式連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1.若X與Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從N(0,1)分布。求 的分布。分布函數(shù)法例2. 某系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的元件A1,A2,An連接而成，其連接方式分別為：(1)串聯(lián);(2)并聯(lián)。設(shè)Ai的壽命為Xi,且XiExp(),i=1,2,.,n.求兩種系統(tǒng)S1, S2的壽命的密度函數(shù)。a1a2ana1.a2anS1 S2例2. 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為p(x,y), 求Z=X+Y的密度函數(shù)。若X與Y獨(dú)

8、立，則Z=X+Y的密度函數(shù)為連續(xù)型卷積公式例1. 若X與Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從N(0,1)分布。證：Z=X+Y服從N(0,2)分布。正態(tài)分布具有可加性例2. 若X與Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從U(0,1)分布。求Z=X+Y的密度函數(shù)。關(guān)于二元函數(shù)聯(lián)合分布的定理例3. 隨機(jī)變量(X,Y)N(0,0,1,1,),記U=X+Y,V=X-Y,(1)求（U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。(2）問(wèn)U,V是否獨(dú)立？例4. 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為p(x,y),求U=XY的密度函數(shù)。例5.設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為p(x,y),求U=X/Y的密度函數(shù)。作業(yè)：習(xí)題3.3: 7，181. 隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立，且均服

9、從參數(shù)為的指數(shù)分布，求Z=X+Y的概率密度函數(shù)。2. 在區(qū)間0，1上任取兩點(diǎn)X、Y，1) 求兩點(diǎn)間距離的分布。2) 求UMax(X,Y), V= Min(X,Y)的分布。 推廣到隨機(jī)變量 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量 X,Y ， 在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.3.4條件分布考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y 表示其體重和身高 . 體重X身高Y 現(xiàn)在若限制1.7Y0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2, 聯(lián)合分布邊緣分布例1. 設(shè)袋中裝有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3，從袋中任取一球（其數(shù)字

10、記為X)之后不放回，再?gòu)拇腥稳∫磺颍ㄆ鋽?shù)字記為Y),求在X =2的條件下，Y 的條件分布律。b. 求在Y =2的條件下，X的條件分布律。例2.隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立,且XP(1),YP(2),在已知X+Y=n的條件下，求X的條件分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義 對(duì)一切使 的y , 定義已知 Y=y下X 的條件密度函數(shù)為定義例1. 將長(zhǎng)度為1米的棍子任意地分為兩段，任意地選取一根再分為兩段，求最后這兩段中任意一段棍長(zhǎng)的分布。例2. 求在X=x條件下,Y的條件概率密度。1.二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率、邊緣分布率和離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、聯(lián)合分布密度、邊緣分布密度和連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維均勻分布和正態(tài)分布3.隨機(jī)變量函數(shù)的分布4.二維隨機(jī)變量的條件分布例1 已知(X,Y)的分布如下,且X與Y獨(dú)立YX121231/3ab1/61/91/18則a= , b= .2.在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，兩數(shù)之和小于1.2的概率為( ) 3.設(shè)隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立同分布，且P(X=0)=1/3,P(X=1)=2/3,則P(X=Y)= .4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則當(dāng)0y0