江蘇省泰興市第一高級中學蘇教版必修五數(shù)學《1.1正弦定理》教學設(shè)計

1、1.1 正弦定理江蘇省泰興市第一高級中學李琴教學目標：.掌握正弦定理及其證明，能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量 問題；.通過對任意三角形的邊長和角度關(guān)系的探索，培養(yǎng)學生的自主學習和自 主探索能力；.提供適當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.教學重點：正弦定理及其證明過程.教學難點：正弦定理的推導和證明.教學過程:一、問題情境從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量， 從大禹治水到都江堰的修建，從 天文觀測到精密儀器的制造，人們都離不開對幾何圖形的測量、設(shè)計和計算.測 量河流兩岸兩碼頭之間的距離，確定待建隧道的長度，確定衛(wèi)星的角度與高度等 等，所有這些問題，都可以轉(zhuǎn)化為

2、求三角形的邊或角的問題， 這就需要我們進一 步探索三角形中的邊角關(guān)系.探索1我們前面學習過直角三角形中的邊角關(guān)系，在 Rt ABC中，設(shè)ba一 ,cosB 一 , cosC 0 , ccC 90,那么邊角之間有哪些關(guān)系?abcsin A - , sin B 一, sinC 1 - , cosA ccc1 tan B-b-對于任意三角形,sin B sin C, 八 atanA 一，sin A cosB ,sin B cosA ,tan A b探索2 在Rt ABC中，我們得到-a- sin A這個結(jié)論還成立嗎?二、學生活動把學生分成兩組，一組驗證結(jié)論對于銳角三角形是否成立，另一組驗證結(jié)論 對于

3、鈍角三角形是否成立.學生通過畫三角形、測量長度及角度，再進行計算，得出結(jié)論成立.教師再通過幾何畫板軟件進行驗證(如圖 1).對于驗證的結(jié)果不成立的情況, 指出這是由于測量的誤差或者計算的錯誤造成的.引出課題一一正弦定理.m ABsinimilDCF)m BC=8.82 川！*與in，e-DAE)m CAsin( E EBF =8,82座米m BC = 7.68 萬兆 m CA = 7,36 川！米; miDAE = 60.61 mlDCF = 627- mEBF = 56.62、建構(gòu)數(shù)學探索3這個結(jié)論對于任意三角形可以證明是成立的.不妨設(shè) C為最大角,若C為直角，我們已經(jīng)證明結(jié)論成立，如何證明

4、 C為銳角、鈍角時結(jié)論成立?師生共同活動，注意啟發(fā)、引導學生作輔助線，將銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為 直角三角形，進而探索證明過程.經(jīng)過討論，可歸納出如下證法.證法若C為銳角(圖 2 ( 1),過點A作AD BC于D ,此時有ADsin B ,sinCc同理可得一 sin AADb c sinC,所以 csin B bsinC,即一b sin B，所以qsin Absin BcsinCcsinC(1)(2)若C為鈍角(圖2 (2),過點A作AD BC,交BC的延長線于D,此時, ADAD一有sinB AD,且sinC AD,同理可得成立.sin A sin B上.綜上可得，結(jié)論 sin C證法二 利

5、用三角形的面積轉(zhuǎn)化，先作出三邊上的高AD、BE、CF ,則AD csinB, BE asinC , CF bsinA.所以Svabc得3上 sin A sin B1111-bcsinA = acsin B= - bcsinA , 每項同時除以 abc,2222csinC探索4充分挖掘三角形中的等量關(guān)系，可以探索出不同的證明方法，我們知道向量也是解決問題的重要工具，因此能否從向量的角度來證明這個結(jié)論呢?uuur uur uur在 ABC中，有BC BA AC ,設(shè)C為最大角，過點A作ADBC于D，(圖uuur uuur 是 BCgADuuu uur uuir imruuiruuirBAgAD A

6、CgAD，設(shè)AD與AC的夾角為 ，則C為銳角或者直角時,uui uuruuur uurBAgAD gcos(90o+ B)+ AC gAD epos90o C ;當 C為鈍角時， C 90o .故可得csinB bsinC 0,即-.同理可得sin B sinCsin A sinCsin A sin B sin C這里運用向量的數(shù)量積將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式， 我們運用不同的方法證明了三角形中的一個重要定理.探索5這個式子中包含哪幾個式子？每個式子中有幾個量？它可以解決斜三角型中的哪些類型的問題?a b b c a c，sin Asin Bsin BsinCsin Asin C每個式子中都有四

7、個量，如果已知其中三個可求出第四個.正弦定理可以解決兩類三角形問題：(1)已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角(兩角夾一邊需要先用三角形 內(nèi)角和定理求出第三角，再使用正弦定理)；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他 的邊和角).四、數(shù)學運用 例題在ABC中:(1)已知a(2)已知a16, b 26 , A 30,求 B , C , c ;30 , b 26 , A 30,求 B , C , c ;(3)已知a25, b 11, B 30,解這個三角形.(1)由正弦定理得asin A需即凝嘉因此26sin 3013sin B 1616所以B1 54.3,或 B2 18

8、0 54.3 125.7.由于B2 A 125.7 30 155.7 180故B2也符合要求，從而本題有兩個解 B1 54.3或B2 125.7.當 B1 54.3 時，C1 180 (A B1) 180 (54.3 30) 95.7,a sin C1sin A16sin 95.7sin 3032sin 95.731.84 .當 B2 125.7 時，C2 180 (A B2)180 (125.7 30) 24.3c2a sin C2sin A16sin 24.3sin 3032sin 24.313.17 .(2)由正弦定理得sin B bsnA ,即sin B26sin 30133030所以

9、 B1 25.7WB2 180o 25.7o 154.3.由于 B2 A 154.3 30 184.3 180 ,故 B2 不符合要求, 從而本題只有一解B 25.7_C 180 (A B) 180(25.730 ) 124.3,asinC 30sin124.3sin Asin 3060sin 55.7 49.57 .由正弦定理得sin A臂筆獸25 1,所以無解.學生思考：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，為什么分別會出現(xiàn)兩解、 一解和無解的情況呢？鞏固練習：. ( 口答)一個三角形的兩角和邊分別是 30和45,若45角所對邊的長為8,那么30角所對邊的長是.(板演)在ABC中：(1)已知 A 75,B 45,c 3應，求 C, b;(2)已知 A 30,B 120,b 12,求a, c.(板演)根據(jù)下列條件解三角形：b 40, c 20, C 25a 15, b 20 , A 108五、回顧小結(jié)本節(jié)課同學們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理.正弦定理揭示了三 角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系， 其關(guān)系式和諧、對稱.它