線性代數(shù)發(fā)展史

1、.：.；線性代數(shù)開展史 由于研討關(guān)聯(lián)著多個(gè)要素的量所引起的問(wèn)題，那么需求調(diào)查多元函數(shù)。假設(shè)所研討的關(guān)聯(lián)性是線性的，那么稱這個(gè)問(wèn)題為線性問(wèn)題。歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，而線性方程組實(shí)際的開展又促成了作為工具的矩陣論和行列式實(shí)際的創(chuàng)建與開展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活實(shí)際，正是實(shí)踐問(wèn)題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與開展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步開展。 行列式行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，如今曾經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由HYPERLINK

2、baike.baidu/view/21694.htm萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/view/481254.htm關(guān)孝和發(fā)明的。 1693 年4 月，萊布尼茨在寫給洛比達(dá)的一封信中運(yùn)用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作中也提出了行列式的概念與算法。1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/view/481076.htm克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作中，對(duì)行列式的定義和展開法那么給出了比較完好、明確的論述，并給出了如今我們所稱的解線性方程組的克萊姆法那么。稍后，

3、數(shù)學(xué)家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)展了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判別一個(gè)齊次線性方程組有非零解?？傊诤荛L(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，行列式只是作為解線性方程組的一種工具運(yùn)用，并沒有人認(rèn)識(shí)到它可以獨(dú)立于線性方程組之外，單獨(dú)構(gòu)成一門實(shí)際加以研討。在行列式的開展史上，第一個(gè)對(duì)行列式實(shí)際做出銜接的邏輯的論述，即把行列式實(shí)際與線性方程組求解相分別的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父親的知道下學(xué)習(xí)音樂，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃重的興趣，后來(lái)終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展

4、開行列式的法那么。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門實(shí)際的奠基人。 1772 年，HYPERLINK baike.baidu/view/5864.htm拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)那么，推行了他的展開行列式的方法。繼范德蒙之后，在行列式的實(shí)際方面，又一位做出突出奉獻(xiàn)的就是另一位法國(guó)大數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/view/22645.htm柯西。 1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處置。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)志法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ)；給出了類似行列式概念

5、；改良了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個(gè)證明等。19 世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，對(duì)行列式實(shí)際研討一直不渝的作者之一是詹姆士西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一個(gè)活潑、敏感、興奮、熱情，甚至容易激動(dòng)的人，然而由于是猶太人的緣故，他遭到劍橋大學(xué)的不平等對(duì)待。西爾維斯特用火普通的熱情引見他的學(xué)術(shù)思想，他的重要成就之一是改良了從一個(gè) 次和一個(gè) 次的多項(xiàng)式中消去 x 的方法，他稱之為配析法，并給出構(gòu)成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明。繼柯西之后，在行列式實(shí)際方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/vi

6、ew/5208.htm雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量交換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文標(biāo)志著行列式系統(tǒng)實(shí)際的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組實(shí)際、二次型實(shí)際等多方面的運(yùn)用，促使行列式實(shí)際本身在19世紀(jì)也得到了很大開展。整個(gè)19 世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了普通行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。 矩 陣HYPERLINK baike.baidu/view/10337.htm矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的根本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研討對(duì)象，也是

7、數(shù)學(xué)研討和運(yùn)用的一個(gè)重要工具?！熬仃囘@個(gè)詞是由西爾維斯特首先運(yùn)用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ)。而實(shí)踐上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就曾經(jīng)開展的很好了。從行列式的大量任務(wù)中明顯的表現(xiàn)出來(lái)，為了很多目的，不論行列式的值能否與問(wèn)題有關(guān)，方陣本身都可以研討和運(yùn)用，矩陣的許多根本性質(zhì)也是在行列式的開展中建立起來(lái)的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。英國(guó)數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/view/112531.htm凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 普通被公以為是矩陣論的創(chuàng)建者，由于他首先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出

8、來(lái)，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)標(biāo)題的一系列文章。凱萊同研討線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。 1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文，系統(tǒng)地論述了關(guān)于矩陣的實(shí)際。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法那么、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列根本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根特征值以及有關(guān)矩陣的一些根本結(jié)果。凱萊出生于一個(gè)古老而有才干的英國(guó)家庭，劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，任務(wù)卓有效果，并利用業(yè)余時(shí)間研討數(shù)學(xué)，發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文。1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 證

9、明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如如今稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來(lái) ，克萊伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。HYPERLINK baike.baidu/view/50354.htm泰伯 (H.Taber) 引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的開展史上，弗羅伯紐斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的奉獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的類似變換、合同矩陣等概念，以符合邏輯的方式整理了不變因子和初等因子的

10、實(shí)際，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。 1854 年，約當(dāng)研討了矩陣化為規(guī)范型的問(wèn)題。 1892 年，HYPERLINK baike.baidu/view/2859.htm梅茨勒 (H.Metzler) 引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的方式。HYPERLINK baike.baidu/view/34407.htm傅立葉、西爾和HYPERLINK baike.baidu/view/25827.htm龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題，這主要是適用方程開展的需求而開場(chǎng)的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的開展，如今已成為獨(dú)立的一

11、門數(shù)學(xué)分支矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代實(shí)際。矩陣及其實(shí)際現(xiàn)已廣泛地運(yùn)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。 線性方程組線性方程組的解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作章中已作了比較完好的論述。其中所述方法本質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，線性方程組的研討是在 17 世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研討含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀(jì)上半葉研討了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組，得到了如今稱為克萊姆法那么的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法那么。 18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程

12、組實(shí)際進(jìn)展了一系列研討，證明了 元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。19 世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家HYPERLINK baike.baidu/view/268449.htm史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 繼續(xù)研討線性方程組實(shí)際，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了 個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩一樣。這正是現(xiàn)代方程組實(shí)際中的重要結(jié)果之一。大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到開展的同時(shí)，線性方程組解的構(gòu)造等實(shí)際性任務(wù)也獲得了令人稱心的進(jìn)展。如今，線性方程組的數(shù)值解

13、法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要位置。 二次型HYPERLINK baike.baidu/view/686842.htm二次型也稱為“二次方式，數(shù)域 ？上的 ？元二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域 ？上的 ？元二次型。二次型是我們線性代數(shù)教材的后繼內(nèi)容，為了我們后面的學(xué)習(xí)，這里對(duì)于二次型的開展歷史我們也作簡(jiǎn)單引見。二次型的系統(tǒng)研討是從 18 世紀(jì)開場(chǎng)的，它來(lái)源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類問(wèn)題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的外形，這個(gè)問(wèn)題是在 18 世紀(jì)引進(jìn)的。柯西在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是規(guī)范型時(shí)，二次曲面用二次項(xiàng)的符號(hào)來(lái)進(jìn)展分類。然而，那時(shí)并不太清楚，在化簡(jiǎn)成規(guī)范型

14、時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。西爾維斯特回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了 個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個(gè)定律后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。 1801 年，高斯在中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等術(shù)語(yǔ)。二次型化簡(jiǎn)的進(jìn)一步研討涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出如今歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個(gè)概念。而三個(gè)變數(shù)的二次型的特征值的實(shí)性那么是由阿歇特 (J-N.P.Hachette) 、HYPERLINK baike.baidu/view/166271.htm蒙日和HYPERLINK baike.baidu/view/1

15、26352.htm泊松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。柯西在他人著作的根底上，著手研討化簡(jiǎn)變數(shù)的二次型問(wèn)題，并證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變換下不變性。后來(lái)，他又證明了 個(gè)變數(shù)的兩個(gè)二次型能用同一個(gè)線性變換同時(shí)化成平方和。1851 年，西爾維斯特在研討二次曲線和二次曲面的切觸和相交時(shí)需求思索這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進(jìn)了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個(gè)二次型的不變量的完選集這一結(jié)論。1858 年，魏爾斯特拉斯對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一個(gè)普通的方法，并證明，假設(shè)二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個(gè)

16、化簡(jiǎn)也是能夠的。魏爾斯特拉斯比較系統(tǒng)的完成了二次型的實(shí)際并將其推行到雙線性型。 從解方程到群論求根問(wèn)題是方程實(shí)際的一個(gè)中心課題。 16 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們處理了三、四次方程的求根公式，對(duì)于更高次方程的求根公式能否存在，成為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們討論的又一個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題破費(fèi)了不少數(shù)學(xué)家們大量的時(shí)間和精神。閱歷了屢次失敗，但總是擺脫不了姿態(tài)。到了 18 世紀(jì)下半葉，拉格朗日仔細(xì)總結(jié)分析了前人失敗的閱歷，深化研討了高次方程的根與置換之間的關(guān)系，提出了預(yù)解式概念，并預(yù)見到預(yù)解式和各根在陳列置換下的方式不變性有關(guān)。但他最終沒能處理高次方程問(wèn)題。拉格朗日的弟子魯菲尼 (Ruffini,1765-1862) 也做了許

17、多努力，但都以失敗告終。高次方程的根式解的討論，在挪威出色數(shù)學(xué)家阿貝爾那里獲得了很大進(jìn)展。阿貝爾 (N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27 歲，他終身貧病交加，但卻留下了許多發(fā)明性任務(wù)。 1824 年，阿貝爾證明了次數(shù)大于四次的普通代數(shù)方程不能夠有根式解。但問(wèn)題仍沒有徹底處理，由于有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代數(shù)方程何時(shí)沒有根式解，是需求進(jìn)一步處理的問(wèn)題。這一問(wèn)題由法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦全面透徹地給予處理。伽羅瓦 (E.Galois,1811-1832) 仔細(xì)研討了拉格朗日和阿貝爾的著作，建立了方程的根的“允許置換，提出了置換群的概念，得到了代數(shù)方程用根式解的充分必要條

18、件是置換群的自同構(gòu)群可解。從這種意義上，我們說(shuō)伽羅瓦是群論的創(chuàng)建者。伽羅瓦出身于巴黎附近一個(gè)富有的家庭，幼時(shí)遭到良好的家庭教育，只惋惜，這位天才的數(shù)學(xué)家英年早逝， 1832 年 5 月，由于政治和愛情的糾葛，在一次決斗中被打死，年僅 21 歲。置換群的概念和結(jié)論是最終產(chǎn)生籠統(tǒng)群的第一個(gè)主要來(lái)源?；\統(tǒng)群產(chǎn)生的第二個(gè)主要來(lái)源那么是HYPERLINK baike.baidu/view/130183.htm戴德金(R.Dedekind,1831-1916) 和HYPERLINK baike.baidu/view/118830.htm克羅內(nèi)克 (L.Kronecker,1823-1891) 的有限群及有限交換群的籠統(tǒng)定義以及凱萊 (A.Kayley,1821-1895) 關(guān)于有限籠統(tǒng)群的研討任務(wù)。另外，克萊因 (F.Clein,1849-1925) 和龐加萊 (J-H.Poincare,1854-1912) 給出了無(wú)限變換群和其他類型的無(wú)限群， 19 世紀(jì) 70 年代，李 (M.S.Lie,1842-1899) 開場(chǎng)研討延續(xù)變換群，并建立了延續(xù)群的普通實(shí)際，這些任務(wù)構(gòu)成籠統(tǒng)群論的第三