復(fù)合材料組分性能隨機(jī)性識(shí)別的克里金隨機(jī)分析方法

1、復(fù)合材料組分性能隨機(jī)性識(shí)別的克里金隨機(jī)分析方法論文導(dǎo)讀:：建立非均勻材料宏觀力學(xué)性能與微結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的定量關(guān)系一直是人們所關(guān)心的問題，利用材料微結(jié)構(gòu)參數(shù)和組分性能預(yù)報(bào)復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能，已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，然而復(fù)合材料宏觀性能，如何開展組分性能的隨機(jī)識(shí)別，目前的研究工作還不多見。本文考慮了復(fù)合材料的隨機(jī)性，在復(fù)合材料宏觀有效性能的隨機(jī)性條件下，采用克里金隨機(jī)分析方法，對(duì)復(fù)合材料組分性能的隨機(jī)性進(jìn)行識(shí)別，通過單向纖維復(fù)合材料的宏觀有效性能的隨機(jī)性，計(jì)算得到了纖維彈性模量的均值與方差，證明了該方法的有效性。論文關(guān)鍵詞：均勻化方法，復(fù)合材料，力學(xué)性能，隨機(jī)識(shí)別1、緒論微觀力學(xué)的研究不僅僅是通過組

2、元材料性能理論預(yù)報(bào)宏觀材料性能，還有一個(gè)很重要的目的是根據(jù)微結(jié)構(gòu)的不均勻性確定物理量和力學(xué)量在微觀層次上局部場(chǎng)的漲落和分布情況的變化，目前預(yù)報(bào)復(fù)合材料有效性能的方法和模型很多，如根據(jù)體積份數(shù)和夾雜的幾何尺寸及組分性能來推導(dǎo)有效性能的自洽法、廣義自洽法和MT法等，上述方法雖然建立起了復(fù)合材料的微觀量與宏觀量的關(guān)系，但不能給出局部場(chǎng)的細(xì)節(jié)。70年代出現(xiàn)了被稱為Asymptotic HomogenizationTheory的方法物理論文，即均勻化理論，用于分析兩個(gè)或更多個(gè)長(zhǎng)度尺度的物理系統(tǒng)，是一套嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論。該方法用均質(zhì)的宏觀結(jié)構(gòu)和非均質(zhì)的具有周期性分布的微觀結(jié)構(gòu)描述原復(fù)合材料結(jié)構(gòu)：將力學(xué)量表示

3、成關(guān)于宏觀坐標(biāo)和微觀坐標(biāo)的函數(shù)，并用微觀和宏觀兩種尺度之比為小參數(shù)展開，用攝動(dòng)技術(shù)將原問題化為微觀均勻化問題和宏觀均勻化問題，對(duì)這些問題的求解給出了具有微觀非均質(zhì)結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的有效性能，并給出了非均質(zhì)擾動(dòng)的復(fù)合材料的微觀應(yīng)力場(chǎng)。然而，復(fù)合材料由于組份材料性能的隨機(jī)性或微結(jié)構(gòu)的不確定性會(huì)引起整個(gè)復(fù)合材料宏觀上有效性能的不確定性cssci期刊目錄。Marcin Kaminski和Sakata等利用基于攝動(dòng)的均勻化方法考慮了材料微結(jié)構(gòu)不確定性，對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料進(jìn)行三維的隨機(jī)性分析，得到了有效性能的統(tǒng)計(jì)特性。侯善芹、劉書田對(duì)隨機(jī)顆粒分布的復(fù)合材料，應(yīng)用均勻化方法預(yù)測(cè)了材料的宏觀等效彈性性能，研究了

4、其統(tǒng)計(jì)特性，探討顆粒大小、分布和幾何形狀的變化對(duì)材料等效彈性性能的影響。實(shí)際上物理論文，在復(fù)合材料生產(chǎn)和應(yīng)用中，往往只是通過一些實(shí)驗(yàn)得到了復(fù)合材料宏觀有效性能的統(tǒng)計(jì)特征，而不清楚這種宏觀隨機(jī)性到底如何受組分材料性能隨機(jī)性和微結(jié)構(gòu)不確定的影響，因此由的宏觀性能隨機(jī)性的統(tǒng)計(jì)特征反推出未知的組份材料性能的隨機(jī)性或微結(jié)構(gòu)的不確定性，對(duì)于材料設(shè)計(jì)和工藝改良具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。本文就是基于上述思想，考慮了復(fù)合材料的隨機(jī)性，在復(fù)合材料宏觀有效性能的隨機(jī)性條件下，結(jié)合地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的克里金方法，開展了一種基于克里金的隨機(jī)分析方法，運(yùn)用均勻方化方法對(duì)隨機(jī)復(fù)合材料的有效性能進(jìn)行了預(yù)報(bào)，通過反向迭代的思想對(duì)復(fù)

5、合材料組分材料性能隨機(jī)性進(jìn)行了識(shí)別。2、克里金隨機(jī)分析方法2.1密度函數(shù)的克里金近似如果隨機(jī)變量、關(guān)系可以用一個(gè)未知函數(shù)來表示，即(1)假設(shè)隨機(jī)變量、的概率密度分別為、，那么存在關(guān)系(2)在復(fù)合材料宏觀有效性能預(yù)報(bào)的均勻化方法中物理論文，均勻化系數(shù)或復(fù)合材料有效性能(相當(dāng)于隨機(jī)變量)應(yīng)是組分材料性能和單胞幾何形狀(相當(dāng)于隨機(jī)變量)的函數(shù)，在組份材料性能和單胞幾何形狀為的隨機(jī)變量時(shí)，如果可以知道聯(lián)系著隨機(jī)變量、的函數(shù)或，就可以得到整個(gè)復(fù)合材料性能隨機(jī)分布的情況。然而這種函數(shù)關(guān)系很難得到，并且不能直接解析的表達(dá)出來。在這種情況下，我們可以采用有限差分的形式來近似。(3)隨機(jī)變量的均值和方差可以表示

6、為(4)應(yīng)用普通的克里金方法，隨機(jī)變量在隨機(jī)變量位置為處，普通克里金估計(jì)值可以寫成(5)其中是普通克里金方法中的權(quán)重，是在位置處的觀察值或計(jì)算值。由式(2)可以得到隨機(jī)變量的密度函數(shù)的近似(6)上式中可以通過代入式(5)變化為(7)其中cssci期刊目錄。如果變異函數(shù)為，假設(shè)是高斯型變異函數(shù)，那么可以求得的解析形式:(8)其中。根據(jù)式(7)就可以得到隨機(jī)變量密度函數(shù)近似的顯式表達(dá)式，它是關(guān)于變量的顯式表達(dá)。2.2基于克里金的積分近似為了計(jì)算式(4)的積分，一些數(shù)值積分方法可以采用物理論文，比方說辛普森積分方法等，本文中采用基于克里金方法的積分近似。假設(shè)被積分函數(shù)用離散采樣點(diǎn)來近似表達(dá)(9)而權(quán)

7、重的積分可以表示為(10)如果變異函數(shù)為高斯型變異函數(shù)并且不考慮塊金效應(yīng)()，那么變異函數(shù)的積分為(11)其中是誤差函數(shù)(12)從式(9)-(11)就可以得到用點(diǎn)的函數(shù)值來估計(jì)未知函數(shù)的積分近似。在隨機(jī)變量的均值和方差計(jì)算中代入其近似的密度函數(shù)并用基于克里金方法的積分近似表達(dá)(13)其中是一個(gè)選取的常數(shù)，滿足(14)是一個(gè)小的參數(shù)，它取決于計(jì)算中精度的要求，文中取。3、數(shù)值模擬3.1隨機(jī)性的反問題中的根本假設(shè)兩點(diǎn)假設(shè)：1)細(xì)觀參數(shù)隨機(jī)量唯一性假設(shè)：假設(shè)復(fù)合材料性能宏觀隨機(jī)性只由一種細(xì)觀隨機(jī)性引起，也就是只有一個(gè)細(xì)觀隨機(jī)變量起作用，如組份材料彈性模量或泊松比或微結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性，而且這個(gè)隨機(jī)變量是可

8、以確定的。2)隨機(jī)量正態(tài)分布假設(shè)：假設(shè)描述復(fù)合材料宏觀有效性能隨機(jī)性的隨機(jī)變量和組分性能的細(xì)觀隨機(jī)變量都是正態(tài)分布的，這樣就將問題簡(jiǎn)化為描述宏觀有效性能隨機(jī)性正態(tài)分布的均值與方差，反推出引起宏觀隨機(jī)性的細(xì)觀隨機(jī)變量正態(tài)分布的均值與方差。3.2迭代程序的步驟在反問題中由描述宏觀有效性能隨機(jī)性的正態(tài)分布的均值()與均方差()，采用迭代的方法，逼近真實(shí)的細(xì)觀隨機(jī)變量正態(tài)分布的均值()與均方差()物理論文，以下介紹迭代程序的主要流程：1)時(shí)第一步迭代，細(xì)觀隨機(jī)變量正態(tài)分布的均值與方差取為。通過克里金的隨機(jī)分析方法計(jì)算復(fù)合材料的宏觀有效性能的均值和均方差，與和比擬，決定下一步迭代的取值cssci期刊目錄

9、。如果，第二步迭代的均值取為，相反時(shí),取為；第二步迭代的均方差也類似選取。2)時(shí)，由細(xì)觀隨機(jī)變量的均值與均方差采用克里金的隨機(jī)分析方法計(jì)算復(fù)合材料的宏觀有效性能的均值和均方差。如果，令；并且用代替；如果，令；如果，令；第步迭代的均方差也類似選取。3)對(duì)于給定的正數(shù)和用于控制迭代結(jié)束的精度。如果當(dāng)?shù)讲綍r(shí)，且時(shí)物理論文，迭代收斂并結(jié)束，此時(shí)和就認(rèn)為是真實(shí)的細(xì)觀隨機(jī)變量正態(tài)分布的均值與均方差的近似。如果對(duì)于給定整數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)大于時(shí)，迭代仍不收斂，迭代也結(jié)束，需要重新選取控制精度來計(jì)算。3.3模擬結(jié)果分析考慮單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，在體積份數(shù)時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得復(fù)合材料的縱向彈性模量的均值與均方差，計(jì)

10、算中用到的其它數(shù)據(jù)列于表1，通過這些數(shù)據(jù)反推出假設(shè)服從正態(tài)分布的纖維彈量模量的均值與均方差。單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料中纖維分布取為四邊形分布。表1：材料性能與控制精度參數(shù) 纖維 基體 彈性模量(GPa) 未知正態(tài)分布： 4.5 泊松比 0.2156 0.39 均值GPa ，均方差GPa GPa， GPa， : Material propertyand parameters of controlled resolutiontable1圖1、圖2分別給出了隨著迭代次數(shù)變化時(shí)物理論文，計(jì)算的單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的縱向彈性模量的均值與方差cssci期刊目錄。這兩個(gè)圖中的紅線分別表示實(shí)驗(yàn)測(cè)得的均值與方差，而

11、數(shù)據(jù)點(diǎn)表示迭代中由選取的纖維彈性模量均值與方差而計(jì)算得到的整個(gè)復(fù)合材料縱向彈性模量的均值與方差。從這兩個(gè)圖可以看到迭代過程收斂較快，當(dāng)時(shí)計(jì)算結(jié)果已經(jīng)滿足表1中的精度要求。圖1：隨著迭代次數(shù)變化計(jì)算的縱向彈性模量的均值Fig1:Mean of withrespect to iterations圖2：隨著迭代次數(shù)變化的計(jì)算的縱向彈性模量的均方差Fig2:Standard deviation of withrespect to iterations圖3、圖4分別給出了隨著迭代次數(shù)變化時(shí)，迭代時(shí)選取的纖維彈性模量的均值與方差，從這兩個(gè)圖可以看到當(dāng)時(shí)，均值與方差已經(jīng)滿足精度要求，此時(shí)的均值GPa，均方差

12、GPa。圖3：隨著迭代次數(shù)變化的纖維彈性模量的均值Fig3: Mean withrespect to iterations圖4：隨著迭代次數(shù)變化的纖維彈性模量的均方差Fig4: Standard deviation with respect to iterations4、結(jié)論本文將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中克里金方法與均勻化方法相結(jié)合，考慮復(fù)合材料性能隨機(jī)性，提出了進(jìn)行復(fù)合材料組分材料性能隨機(jī)性識(shí)別的克里金隨機(jī)分析方法，并用這種克里金隨機(jī)分析方法對(duì)單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料隨機(jī)性進(jìn)行了分析。在隨機(jī)性識(shí)別反問題中設(shè)計(jì)了一個(gè)迭代程序，通過數(shù)值模擬，由單向纖維宏觀性能的統(tǒng)計(jì)特征反演出纖維的統(tǒng)計(jì)特征。參考文獻(xiàn)：【1】.B

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