魚群運動行為模型 精品

1、魚群運動行為模型摘要本文研究了魚群運動時受環(huán)境及鄰近同族的影響而改變速度方向的機制，并 以此為基礎(chǔ)分析了魚群在躲避捕食者和覓食時的信息傳遞和轉(zhuǎn)移路線。對于問題一，本文考慮平衡狀態(tài)時，即沒有捕食者威脅也無覓食和遷移的需 求時，個體魚的游動規(guī)律。本文假設(shè)個體魚在二維平面內(nèi)游動時能夠感知到一定 范圍（R）內(nèi)的同族的位置和游動方向，并遵循四個規(guī)則：慣性規(guī)則、靠近規(guī)則、 對齊規(guī)則、規(guī)避規(guī)則，個體魚的運動方向由這四個規(guī)則對魚的影響大小決定，X = X + V - cos PP 人P +人P +人P +人P，t+11 1t 2 2t3 3t4 4tV +1 - 了 + V. sin P 。由此可對每一條魚的

2、 y y v sin 1運動狀態(tài)進行迭代更新。對于問題二，本文考慮在二維平面中引入捕食者，并假設(shè)捕食者將游向其感 知范圍（R0）內(nèi)距離其最近的個體魚，同時受其自身游動慣性的影響，則其游動 方向P -人P +人P。由此可對捕食者的游動狀態(tài)進行迭代更新。當捕食者靠 t+1 1 1t 2 2t近個體魚，出現(xiàn)在個體魚的感知范圍內(nèi)時，小魚將產(chǎn)生避險意識，避險方向為捕 食者到個體魚的方向，同時向其感知范圍內(nèi)的個體魚發(fā)送告警信號，接受到告警 信號的個體魚將產(chǎn)生離散意識，離散方向為其感知到的避險個體魚游動方向的平均方向。則此時小魚的游動方向P -人P +人P +人P +人P +人P +人P。由 t+1 1 1

3、t 2 2t 3 3t 4 4t 5 5t 6 6t此可對捕食者和個體魚的運動狀態(tài)進行迭代更新。對于問題三，本文僅考慮掌握食物源位置信息的信息豐富者，它們在遵循問 題一中提出的游動規(guī)則條件下，將主動靠近食物源，并且把它向食物源游去的信 息告知鄰居，召集其它個體魚共同覓食。對于非信息豐富者來說，它能受到其感 知范圍內(nèi)信息豐富者的召集信息，并趨向這些信息豐富者的實際游動方向的平均 方向，追隨它們共同覓食。此時個體魚 的游動方向：P 人P +人P +人P +人P +人P +人P。對于信息豐富者，受到召集作用的t+1 1 1t 2 2t 3 3t 4 4t 5 5t 6 6t權(quán)重X6 0。對于非信息豐

4、富者，游向食物源的權(quán)重七-0。由此可得魚群覓食 的集群運動情況。關(guān)鍵詞：個體運動集群運動運動規(guī)則一、問題重述1.1問題背景在動物界，大量集結(jié)成群進行移動或者覓食的例子并不少見，這種現(xiàn)象在食 草動物、鳥、魚和昆蟲中都存在。這些動物群在運動過程中具有很明顯的特征： 群中的個體聚集性很強，運動方向、速度具有一致性。在生態(tài)系統(tǒng)中，動物個體 的行為相對簡單,集群后卻能表現(xiàn)出復(fù)雜的群體行為。個體行為是構(gòu)成群體行為 的基礎(chǔ)，個體之間的組織結(jié)構(gòu)、個體行為之間的關(guān)系和群體行為的涌現(xiàn)機制是研 究群體行為的關(guān)鍵要素。通過數(shù)學(xué)模型來模擬動物群的集群運動行為以及探索動 物群中的信息傳遞機制一直是仿生學(xué)領(lǐng)域的一項重要內(nèi)容

5、。目前主要研究有仿生 的群體優(yōu)化算法，群體組織內(nèi)部的通信機制及其應(yīng)用方面，如微粒群算法、蟻群 算法、群體機器人等。1.2目標任務(wù)題目要求查閱相關(guān)資料，思考動物集群運動的機理，建立數(shù)學(xué)模型刻畫動物 集群運動、躲避威脅等行為，主要針對以下問題分析建模：建立數(shù)學(xué)模型模擬動物的集群運動。建立數(shù)學(xué)模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為。假定動物群中有一部分個體是信息豐富者(如掌握食物源位置信息，掌握 遷徙路線信息)，請建模分析它們對于群運動行為的影響，解釋群運動方向決策 如何達成。二、模型假設(shè)假設(shè)所有個體魚具有相同的物理特性；假設(shè)所有個體魚具有有限感知能力以及遵循共同的行為規(guī)則；假設(shè)所有個體魚之間的相互作

6、用及信息的交互不受外界因素影響;假設(shè)捕食者和個體的運動速度相等并且保持不變；假設(shè)所有信息豐富者掌握的是同一食物源的信息。三、符號說明符號符號說明A.1R魚群中的個體魚個體魚感知范圍的半徑Pt 1下一個時間步長周期個體魚的運動方向Pit本周期t中的游動方向P2t周期t當前個體到鄰居平均位置的方向P3t鄰居的平均方向P4t小于碰撞距離的鄰居到當前個體方向的平均值個體魚決策方向是的權(quán)重值P5t個體魚為了躲避威脅而以最快方式逃逸的方向P6t該個體魚受其它個體發(fā)出的告警信號的平均方向rR0個體間避免碰撞的最小距離 捕食者的威脅范圍四、問題分析在自然界中，動物出于生存、避險、覓食、求偶、繁殖等原因往往選擇

7、采取 群體行為的方式。某些動物個體的行為相對簡單，集群后卻能表現(xiàn)出復(fù)雜的群體 行為。這些動物群在運動過程中具有聚集性很強，運動方向、速度保持一致性等 明顯的特征。在生態(tài)系統(tǒng)中，個體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ)。本文認為由個體 簡單運動到群體復(fù)雜行為是存在一種映射關(guān)系的。個體之間的組織結(jié)構(gòu)、個體行 為之間的關(guān)系和群體行為的涌現(xiàn)機制是研究群體行為的關(guān)鍵要素。文章的總體思 路是要從個體的行為、個體與個體的相互作用、個體在群體中的作用等角度出發(fā)， 通過數(shù)學(xué)方法模擬動物的群體運動行為，并利用Matlab軟件編程實現(xiàn)模型的仿 真，探索動物群的集群運動行為以及動物群中的信息傳遞機制。對問題一：題目要求建立合理的

8、數(shù)學(xué)模型來模擬動物的集群運動。為了能夠 建立簡潔易懂的模型，在本文中選取魚群為研究對象，研究魚群的形成和行為， 希望通過研究個體魚的運動機制科學(xué)闡釋集群行為的內(nèi)在變化原因。針對魚群的 形成、結(jié)構(gòu)和行為，很多研究者從不同角度提出了一些理論和模型。本文通過研 究個體魚在群體中位置和速度隨時間的不斷變化的規(guī)律，采取從個體到局部，從 局部到整體，自下向上的建模思想，對個體魚進行建模，進而通過個體遵循一定 的行為規(guī)則來研究個體之間以及個體和環(huán)境之間的相互作用，最終探討出魚群集 群運動的形成機理，并合理推廣至對動物群的研究。對問題二：題目要求建立數(shù)學(xué)模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為。針 對這個問題，本

9、文在問題一研究的基礎(chǔ)上，考慮仍然沿用其個體魚的運動模型。 當有某些個體受到鯊魚威脅時，它們一方面選擇最快的逃逸方式躲避，一方面發(fā) 出告警信號與其感知范圍內(nèi)的其它個體進行信息交互。這樣，這些受威脅的個體 魚和得到告警信號的個體魚在下一時刻的運動方向就較其它個體及其上一時刻 有了較大不同?；诖耍梢圆捎脭?shù)學(xué)公式計算其不同范圍內(nèi)的個體魚的運動方 向和位置坐標的變化。對問題三：假設(shè)動物群中的部分信息豐富者是提前已知的，并且其不一定是 集聚的。為了簡化問題的研究，本文仍然以魚群為例，探討魚群覓食的集群行為。 當有一部分個體掌握食物源位置信息，這部分個體直接向食物源運動，同時通過 個體間的信息交互將信息

10、傳遞給其它個體，引起其它個體運動狀態(tài)和位置坐標的 改變，從而形成集群的覓食行為。五、模型的建立5.1問題一的模型5.1.1模型的分析個體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ)，在一個集群中所有個體行為的匹配結(jié)合就 映射一種集群的運動行為。為了研究集群的運動行為就必須研究清楚集群中每一 個個體的運動行為和由個體構(gòu)成的局部的運動行為。對于研究的魚群行為來說， 本文采取自下而上的建模方法，根據(jù)對問題的分析，文章對這種模型分為三層：最下層分析個體魚（設(shè)為A1.A.氣）的運動模型，并且假定個體魚的運動 滿足設(shè)定的游動規(guī)則5，模型具有普遍地適用性。中間層通過分析個體魚之間 的相互作用，個體魚的運動信息所能影響到的范圍，

11、形成局部（局部1局部n） 的行為。在最上層分析局部行為擴大到集群就構(gòu)成集群運動的行為模型。從個體 到集群的行為關(guān)系略圖如下圖。圖1個體到集群的行為關(guān)系圖5.1.2模型的建立5.1.2.1個體魚運動模型個體魚運動的的簡化本文描述的是個數(shù)為N的一群可視為質(zhì)點的個體魚在L*L的二維周期邊界 條件的平面運動的情況，并且每一時刻每個個體魚運動的速度大小均相同。對個體魚的定義每一個個體魚是一個自驅(qū)動的個體，形狀大小相同，具有一定的感知能力。 它能感知的范圍是以其質(zhì)心為圓點的半徑為R的圓形區(qū)域，且它能感知這一區(qū) 域內(nèi)其他個體魚的所有動態(tài)信息（包括速度大小和方向，有沒有發(fā)出告警信號等）。運動規(guī)則描述（1）慣性

12、規(guī)則，個體魚在得到需要改變運動的信號時，魚游動的方向不可 能立刻改變，這時表現(xiàn)出一種慣性的作用。（2）靠近規(guī)則，為了不脫離魚群，需要盡量靠近鄰居的中心。如圖a.（3）對齊規(guī)則，為了保持魚群運動的連貫性，每個個體魚盡量與鄰居的方 向一致。如圖b.（4）規(guī)避規(guī)則，為了保持魚群運動的一致性，個體魚運動盡量避免碰撞。 如圖c.圖a圖b圖c圖2運動規(guī)則描述示意圖運動模型的建立假設(shè)每一個體魚在邛寸刻具有相同大小的速度，而運動速度的方向是任意的 或隨機的，并且位置坐標在給定的平面內(nèi)是已知的。建立個體魚的運動模型就是 要研究個體魚在下一個時刻t+1（1表示一個時間步長）時刻運動的方向和在坐 標平面內(nèi)的位置。3

13、中的四條規(guī)則對改變魚下一時刻游動方向都起一定作用，那 么在本文中把這四個方向的平均方向作為魚下一時刻游動的方向。取個體魚A1研究其運動。由于方向就是與水平方向的夾角，因此僅僅需要 對上述四個方向與水平方向的夾角進行平均，即為下一時刻該魚的游動方向。用公式表示為:P = P + P + P + Pt+11t 2t 3t 4t（1）其中Pt+1為下一個時間步長周期個體魚的運動方向，Pt為本周期t中A1 的游動方向，P2t為周期t當前個體到鄰居平均位置的方向，Pt為鄰居的平均方 向，烏為小于碰撞距離的鄰居到當前個體方向的平均值（見圖3）?？紤]到各規(guī)則對魚的影響力不同，個體魚作為自主決策的自驅(qū)體在決策

14、時 考慮的先后級不同，所以還需要對各個方向加權(quán)，取加權(quán)平均值，權(quán)重的大小文 中可以根據(jù)偏好確定。則公式轉(zhuǎn)化為：P =XP +X P +X P +X P（2）t+1 1 1t2 2t3 3t 4 4t其中七+氣+七+人4 =1。下面給出四個規(guī)則所代表的四個方向的具體實現(xiàn)方法:（1）慣性規(guī)則的實現(xiàn)：P1t為本周期t中A的游動方向，本周期內(nèi)的運動方向由上一時刻的運動方向所確定，即Pt = P。（2）靠近規(guī)則的實現(xiàn)：每個個體都有向鄰居中心靠攏的特性，鄰居中心為觀察范圍內(nèi)各個體所在位置的平均值。假設(shè)當前A1所處的位置為D （x , y ），D （x , y）為當前各個鄰居的位置， 則鄰居平均位置 000

15、i i iz d( x, yP2t為周期t當前個體到鄰居平均位置的方向，則d g,y=咨一I (& n N（3）P = arctan Z%2tx - x0（3）對齊規(guī)則的實現(xiàn)：個體會和它的鄰居朝同一個方向游動。公式表示P3t為：（4）其中P為各個鄰居的方向,N為鄰居的個數(shù)，P3t為鄰居的平均方向。（4）避免碰撞規(guī)則的實現(xiàn):當個體和它的鄰居靠的太近時（距離小于碰撞距 離），應(yīng)自動避開。公式表示為：z arctan 0_P廣x0 一京（D0D ）其中P4t為小于碰撞距離的鄰居到當前個體方向的平均值,M為鄰居中小于碰撞 距離的鄰居個數(shù)。最后根據(jù)以上計算可得出個體的位置迭代規(guī)則為：x = x + V

16、- cos Py = y + v sin Pt + 1tt5.1.2.2局部運動模型（1）個體間的感知感知問題前以述及，個體魚在魚群中相互感知，二維空間內(nèi)，感知范圍為半 徑為R的圓面，通過個體魚之間的通信，傳遞位置和運動信息以及其他信號。（2）通信機制通信范圍：與感知范圍一致。通信對象：位于4的通信范圍內(nèi)的所有個體魚。通信過程：當4的位置坐標發(fā)生變化后，4立即更新其通信范圍內(nèi)的通信 對象；能及時將所有通信對象；所有通信對象能將它們的位置、運動等信息傳遞 給先.。通過先.與通信對象之間的通信，實現(xiàn)個體魚在群體中的局部交互。（3）魚群的局部交互魚在群體中排列十分緊密，但有時擁擠會造成身體遮擋了部分

17、感知范圍，但 是離散的魚卻能組合成連貫的魚群結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)全局的統(tǒng)一。但是，如果假設(shè)每條 魚能夠與其他所有個體進行交互，獲取全局信息，那么所有魚都將集聚在魚群的 質(zhì)心，而不是一種均勻的分布。因而可以推斷在魚群中只存在局部交互。局部的 交互，經(jīng)過反復(fù)協(xié)調(diào)，最終達成全局的和諧結(jié)構(gòu)。魚群運動是一個和諧的整體，而局部與局部是在整體中相交互聯(lián)的。而且個 體之間的交互和局部之間的交互都是在不斷地更新中，所以魚群的整體運動建立 在局部交互的基礎(chǔ)之上。5.1.2.3魚群運動模型根據(jù)前面兩點分析，求解出在給定初始狀態(tài)情況下，每個個體魚在下一時刻 的運動方向能夠根據(jù)個體魚運動模型求得，其所有的位置也能通過迭代給出。按

18、 照上述的方法，所有魚群中的個體趨于同步運動，最后形成魚群的一種集群運動。圖4個體、局部與集群之間的關(guān)系圖5.2問題二的模型5.2.1模型的建立認為鯊魚在攻擊時有它的威脅范圍R0,假定所有在它根據(jù)對資料的分析攻擊范圍內(nèi)的個體魚均能感受到威脅的存在，并立即在它的感知范圍內(nèi)向其它個 體發(fā)出告警交互信號。此時對于集群里的個體魚來說可以分成三類：第一類是在 鯊魚的攻擊范圍之內(nèi)，它要躲避威脅，并且在感知范圍內(nèi)發(fā)出告警交互信息同時 它能收到威脅范圍內(nèi)其它個體發(fā)出的告警交互信號。第二類是不在威脅范圍之內(nèi) 但是在第一類魚的感知范圍內(nèi)。第三類魚既不在威脅范圍內(nèi)又不在第一類魚的感 知范圍內(nèi)，具體用圖形表示如下：圖

19、5危險信號的傳遞考慮鯊魚的運動：鯊魚的運動受其運動慣性的影響，并游向其感知范圍內(nèi)與其距離最近的小魚。則其運動方向P =xP +人P，其中，P = P，t+1 1 1t 2 2t1t t-1cv - VP = arctan m&m 0%g t + 1 。其位置vlt+1=% + v - cos P =y + v - sin P。由此可得鯊魚的位置更替。在問題一模型的基礎(chǔ)上，考慮對于第一類魚，它在下一時刻的運動方向?qū)⑹?到六個因素的影響，如下圖：鯊魚 指向鄰居中心圖6第一類魚的方向確定用公式可以表示為：（7）P =XP +X P +X P +X P +X P +X Pt+1 1 1t 2 2t 3

20、 3t 4 4t 5 5t 6 6t其中P , P , P , P的含義同問題一，P表示個體魚為了躲避威脅而以最快方式逃 1t 2t 3t 4t5t逸的方向，表示該個體魚受其它個體發(fā)出的告警信號的平均方向;人，人，人，人，人，人表示魚在決策時對它們的偏好權(quán)重，x+x +人+人+人+人=1123456123456對于第二類魚來說，它在下一時刻的運動方向受五個因素的影響，如下圖:指向鄰居中心A1運動方向鄰居的方向唇警交互圖7第二類魚的方向確定用公式可以表示為：P =XP +X P +X P +X P +X Pt+11 1t22t33t44t66t（8）各符號含義同上，其中人+人+人+人+人=1。1

21、2346對于第三類魚來說，它在下一時刻的運動方向仍然受問題一中的四個因素影 響。5.2.2參數(shù)解算算法個體魚在下一時刻的運動方向確定：P = arctan 乙一2（ 9）5t* -七其中（七,七）為鯊魚當前的位置坐標。Z arctan Zo_k. /P6 =Xo - XyK（尾 K）（10）其中（氣,七）表示感知范圍內(nèi)第k條個體魚的位置坐標，K為該個體魚受其它個 體發(fā)出的告警信號的個數(shù)。個體魚在下一時刻的位置坐標確定：x = x + V - cos Py = y + v sin PI11）5.3問題三的模型5.3.1模型的建立假設(shè)魚群中有一部分個體是信息豐富者，本文僅考慮掌握食物源位置信息 的

22、個體魚Mi，它們在遵循問題一中提出的游動規(guī)則條件下，將主動靠近食物源， 并且把它向食物源游去的信息告知鄰居，召集其它個體魚共同覓食。在問題一個體魚運動的模型中把Mi向食物源游動的趨勢加入其實際游動方向的方程模型 中，用公式表示：(12)P =XP +X P +X P +X P +X Pt+111t22t33t44t7 71入+人+人+人+人=1。12347其中P , P , P , P的含義同問題一，P表示個體魚向食物源游動的方向， 1t 2t 3t 4t7t人,人，人，人，人表示魚在決策時對它們的偏好權(quán)重 12347圖8掌握食物源信息的個體的方向確定對于其它沒有食物源位置信息的個體魚N .來

23、說，它能受到其感知范圍內(nèi)信 息豐富者的召集信息，并趨向這些信息豐富者的實際游動方向的平均方向，追隨 它們共同覓食。則它在下一時刻的運動方向受五個因素的影響，如下圖：圖9未掌握食物源信息的個體的方向確定用公式可以表示為：(8)P =XP +X P +X P +X P +X Pt+11 1t 2 2t 3 3t4 4t8 8t人,人，人，人各符號含義同上，力表示個體魚受召集信息而跟隨信息豐富者的偏12348好。其中X+X +人+人+人=1。123485.3.2參數(shù)解算算法信息豐富者向食物源游去的方向:(9)P = arctan XX71ys - yi其中（x , y ）為食物源當前的位置坐標。（x

24、 , y ）為信息豐富者的位置坐標。 c ci i沒有掌握食物源信息的個體魚受召集信息影響的游向：arctanP = i=1(mN. 2211K鯊魚0123 x0a鯊魚靠近魚群的初始狀態(tài)b部分個體魚受威脅時的反應(yīng)運行t s后魚群的集群效果圖12受威脅時魚群運動的效果6.2.2模型的結(jié)果仿真利用Matlab軟件對模型進行仿真，結(jié)果如下圖:(2)部分個體魚受威脅時的反應(yīng)(1)鯊魚靠近魚群的初始狀態(tài)(3)運行ts后魚群的集群效果圖13受威脅時魚群運動的仿真效果6.2.3模型的結(jié)果分析當鯊魚入侵魚群時，一部分個體魚首先出現(xiàn)在鯊魚的威脅范圍并立刻 感受危險存在。它們會選擇最快的方式逃逸并在感知范圍內(nèi)發(fā)出

25、告警信號與其它 所有在其感知范圍內(nèi)的個體魚進行信息交互。隨著部分個體的快速逃逸和個體間的不斷信息交互，得知危險的魚群 數(shù)量不斷擴大，選擇逃逸的個體魚越來越多，但是它們逃逸時仍然受游動規(guī)則的 影響。雖然魚群在不斷地逃逸，但要受到游動規(guī)則的約束，在保證安全時仍 然表現(xiàn)出集群運動行為，結(jié)果與事實吻合。七、模型的評價7.1模型的優(yōu)點：1、本文將復(fù)雜的動物集群運動行為巧妙地轉(zhuǎn)化為在一個二維坐標系內(nèi)質(zhì)點 的運動方向和坐標位置不斷變化的數(shù)學(xué)問題，使得問題簡單明了，易于解決。2、文章在建立問題二、三的模型時充分借鑒了問題一的模型，充分研究了 三個問題之間的關(guān)聯(lián)性。3、文章對于模型的結(jié)果作了合理的預(yù)測，結(jié)果能夠

26、反映模型的真實情況， 與實際比較接近。7.2模型的不足：1、本文在模型建立之初，為了簡化問題，假設(shè)魚群運動的周圍環(huán)境是一個 二維平面，這與現(xiàn)實是不相吻合的。動物群體的運動實際上是在空間和時間上的 不斷變化的復(fù)雜的量。文中沒有考慮模型在三維立體空間的建立過程，具有一定 的缺陷。2、模型的仿真結(jié)果比較粗糙，不是非常滿意。八、模型的推廣1、將二維平面環(huán)境變?yōu)槿S的立體空間可使模型具有更加廣泛的適用性。 在向三維推廣的過程中，建立三維坐標軸，模型中運動方向的改變和位置坐標的 迭代均應(yīng)在三維空間上的橫、縱、豎坐標上進行。依此，模型在三維的仿真結(jié)果 會更加逼真。圖13模型一的三維仿真圖2、集群運動行為模型

27、的推廣：本文研究的集群運動行為，不存在著集中控 制或領(lǐng)導(dǎo)者，只是個體依據(jù)簡單的行為規(guī)則相互交互促使整個群體突現(xiàn)出一種復(fù) 雜的協(xié)調(diào)和適應(yīng)能力?？梢?，這種群智能的涌現(xiàn)，正是由于群體內(nèi)部存在著大量 的正負反饋機制。將這種模型應(yīng)用到控制領(lǐng)域，建立多樣性控制器，對于存在多 種作動器的系統(tǒng)有很好的借鑒。參考文獻1姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003。2周義倉、赫孝良，數(shù)學(xué)建模實驗，西安：西安交通大學(xué)出版社，2007。3韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005。4王曉紅，基于多Agent的人工魚群自組織行為研究D，北京：北京科技大 學(xué)，2006。5趙 健、曾建潮

28、，魚群集群行為的建模與仿真，太原：太原科技大學(xué)，2009。附錄：1、 n=100;x(1,:)=20*rand(1,n);y(1,:)=20*rand(1,n);drc(1,:)=(rand(1,n)-0.5)*2火pi;d=;for k=1:50;%EaaAefor i=1:nfor j=1:nd(i,j)=sqrt(x(i)-x(j)八2+(y(i)-y(j)八2);endendfor i=1:nd(i,i)=inf;end%EUiE-IopAiuBAfor i=1:na=0,b=1,c=0,e=0,h=0,l=0;for j=1:nif d(i,j)5a=a+1;c=c+x(j),e=e+y(j);m=atan(y(j)/x(j);l=l+m;endif d(i,j)80 x(k+1,i)=x(k+1,i)-8