不定積分的計(jì)算

1、第二節(jié) 不定積分的計(jì)算一 分項(xiàng)積分法二 湊微分法（第一類換元積分法）三 換元積分法四 分部積分法五 小結(jié) 1 一、分項(xiàng)積分法定理1 設(shè)函數(shù) 與 的原函數(shù)存在， 、 為非零常數(shù)，則 （ 1 ）2證明： 這表示，（1）式右端是 的原函數(shù)，且含有一個(gè)任意常數(shù)，因此（1）式右端是 的不定積分.3 例1 求積分 解 例2 求積分4解 5例3 求 解 6例4 求解 7例5 求 解 8例6 求 解 9說明：以上幾例的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能把所求的積分化為基本積分表中已有的形式，再分項(xiàng)積分求出不定積分.10二、湊微分法（第一類換元積分法） 設(shè)則如果（可微）由此可得11（2） 可導(dǎo)，定理212說明：使

2、用公式（2）的關(guān)鍵在于將化為 ，進(jìn)而化為 ，這種計(jì)算不定積分的方法稱為湊微分法，也稱第一類換元法.13例7 求解 被積函數(shù)中的一個(gè)因子為 ， ；剩下的因子 恰好是中間變量 的導(dǎo)數(shù)，于是有14例8 求解15例9 求解（一）解（二）解（三）16一般地，對于積分 總可以取 ，使之化為 17例10 求解18一般地，對于積分 總可以取 ，使之化為 19例11 求解熟練以后就不需要進(jìn)行 轉(zhuǎn)化了20例12 求解 類似地， 21例13 求解22例14 求解23例15 求解24例16 求解法一 25 解法二26例17 求解27例18 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）28類似地可推出解（二）（應(yīng)用例15的結(jié)論

3、） 29例19 求解30例20 求說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.解31例12 求解32三、換元積分法 湊微分法是通過中間變量 將積分 化成 ,下面要介紹的換元積分法是通過變量代換 將積分 化為積分33證設(shè) 為 的原函數(shù),令則設(shè).其中是的反函數(shù)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，則有換元公式并且，又設(shè)具有原函數(shù)，定理234第二類積分換元公式,說明為的原函數(shù)351 三角代換例22 求解36例23 求令解其中37例14 求令解其中38說明以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令39四、分部積分法定理4 設(shè) ， 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 （4）

4、 或 （5） 分部積分公式40證明： 由乘積的求導(dǎo)公式 得故或?qū)懗?1例25 求積分如果令顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解令，則 ，42）（）（容易積出.要比要容易求得；21一般要考慮下面兩點(diǎn)：和選取43例26 求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 ,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))44，例27 求解 設(shè) ， ，則45例28 求解 設(shè) ， ， 則 ， 46 當(dāng)分部積分公式比較熟練之后，就不必再把 和 寫出來了，只要把被積表達(dá)式湊成 的形式，便可使用分部積分法.例29 求 解 47總結(jié) 如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，可設(shè) 為對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù).48例30 求解 （一） 49（二）50總結(jié) 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，則 可任選，但應(yīng)注意接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)所選 的應(yīng)為同類型函數(shù).51例31 求積分解52基本積分表53例32 求積分解公