正交群幺模群和EULER轉(zhuǎn)動(dòng)

1、3.3 正交群、幺模群和Euler轉(zhuǎn)動(dòng)一、正交群一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)可用三個(gè)實(shí)數(shù)表征：轉(zhuǎn)軸的極面角和方位角，以及轉(zhuǎn)角?？煞奖愕赜?3R描述：不同相繼轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果可用相應(yīng)矩陣乘積來(lái)表示。由于RRT=RTR=1 6個(gè)獨(dú)立方程，這33正交矩陣的9個(gè)元素只有3個(gè)是獨(dú)立的。正交矩陣乘法運(yùn)算的集合構(gòu)成一個(gè)群，該群叫SO(3)群。這里S表示特殊，即只考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)，而無(wú)反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空間維數(shù)。 1SO(3)群的基本性質(zhì)所有正交矩陣（R）乘法運(yùn)算的集合滿足四要素：封閉性：兩正交矩陣的乘積為另一正交矩陣2.結(jié)合律： 這是矩陣代數(shù)的結(jié)果 3.有單位矩陣（對(duì)應(yīng)于無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)）：R1=1R=R4.有逆存在（對(duì)應(yīng)于相

2、反角度的轉(zhuǎn)動(dòng)）：2二、幺模群 對(duì)二分量旋量，可用一個(gè)22矩陣的作用來(lái)表征一個(gè)任意轉(zhuǎn)動(dòng)： U =該矩陣顯然是幺正的（UU+=1），不改變的模。幺模矩陣：行列式為1的幺正矩陣。幺模矩陣的一般形式為： 且U(a,b)的行列式顯然為1 ，且是幺正的：3對(duì)比U與U(a,b)，知U為幺模矩陣，對(duì)應(yīng)于:幺模矩陣的集合所構(gòu)成的群稱(chēng)為SU(2)群。 S：特殊，即模為1；U：幺正。1）封閉性：2）逆：2維幺正矩陣構(gòu)成U(2)群（有4個(gè)獨(dú)立參數(shù)）：4SU(2)與SO(3)的關(guān)系雖然SU(2)與SO(3)均表征轉(zhuǎn)動(dòng)，但非同構(gòu)，即SU(2)與SO(3)不是一一對(duì)應(yīng)的。其實(shí)，SU(2)與SO(3)的對(duì)應(yīng)是二對(duì)一的，即U(

3、a,b)及U(-a,-b)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)SO(3)矩陣。例如在SU(2)中轉(zhuǎn)2對(duì)應(yīng)于-1，轉(zhuǎn)4對(duì)應(yīng)于1，但SO(3)中轉(zhuǎn)2和4都對(duì)應(yīng)于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分開(kāi)看，則可認(rèn)為SO(3) 與SU(2)局部同構(gòu)。5三、Euler轉(zhuǎn)動(dòng) 三維空間的最一般轉(zhuǎn)動(dòng)也可用三個(gè)相繼Euler轉(zhuǎn)動(dòng)表征：1)將剛體繞z軸轉(zhuǎn)角.空間坐標(biāo)軸與剛體坐標(biāo)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)前是重合的,轉(zhuǎn)動(dòng)后剛體y軸變?yōu)閥軸2)使剛體繞y軸轉(zhuǎn)角，剛體z軸變?yōu)閦軸3)使剛體繞z軸轉(zhuǎn)角，y軸變?yōu)閥軸。用33正交矩陣描述這三個(gè)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果為: 6y與y差角，繞y轉(zhuǎn)角可等價(jià)為：先用Rz(-)將y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)，然后繞y轉(zhuǎn)角,再將y轉(zhuǎn)回到y(tǒng)軸，即上式

4、左右兩邊對(duì)y軸效果自然相同，對(duì)zz(z)的操作也相同，即上式對(duì)剛體的兩非平行軸等價(jià)。類(lèi)似可證：于是，描述3個(gè)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)的正交矩陣為：即：化關(guān)于剛體軸y、z的操作為關(guān)于空間固定軸的操作7對(duì)應(yīng)Euler轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)算符 與正交矩陣的乘積對(duì)應(yīng)，存在相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)算符的乘積：對(duì)自旋1/2體系為該矩陣具有幺模矩陣的普遍形式。上式的exp(-i2)矩陣是唯一含非對(duì)角元的，且非對(duì)角元是純實(shí)數(shù)。8 是轉(zhuǎn)動(dòng)算符D(,)的j=1/2的不可約表示，其矩陣元記為93.4 密度算符與混合系綜 一、極化與非極化粒子束前述量子力學(xué)理論形式可描述由完全相同的粒子組成的系綜的統(tǒng)計(jì)預(yù)言，系綜粒子均由態(tài)矢|表征。對(duì)由不同態(tài)矢表征的物理

5、體系所組成的系綜，前面討論的理論方法不適用。如SG實(shí)驗(yàn)中由熱爐直接出來(lái)的Ag原子，其自旋朝向是隨機(jī)的。按前描述任意態(tài)的方法，所描述的態(tài)有特定自旋方向，其極角和方位角由 決定，故不能描述自旋無(wú)特定方向的體系系綜。10二、分?jǐn)?shù)分布自旋朝向無(wú)規(guī)的系綜可看作由50%|+和50%|-的粒子組成，可用布居數(shù)(幾率權(quán)重)w+=0.5和w-=0.5描述注意：1）系綜的分解常常是不唯一的，如上述體系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-組成。2）幾率權(quán)重( w+，w-)是實(shí)數(shù)，沒(méi)有關(guān)于不同態(tài)的相對(duì)相位的信息，用于描述不同態(tài)的非相干混合態(tài)。3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (

6、|c-|2)包含了重要的相位信息，用于描述態(tài)的相干線性疊加，如 ，該相干疊加的結(jié)果是Sx+態(tài)。w+、w-所對(duì)應(yīng)的概念與經(jīng)典幾率理論的概念相仿。11三、非極化、部分極化和完全極化SG實(shí)驗(yàn)中由爐子出來(lái)的Ag原子束是完全隨機(jī)系綜的例子，原子束被稱(chēng)為是非極化的，自旋無(wú)特定方向。經(jīng)過(guò)SG過(guò)濾器后的原子束是純系綜、原子束是極化的，自旋有特定朝向。完全隨機(jī)系統(tǒng)和純系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的兩極端例子。如一混合系統(tǒng)中有70%的態(tài)由|描述，而30%由|描述，則稱(chēng)為部分極化的。這里|和|不一定要正交。例如， |是|Sx+，而|是|Sz- 。非純系綜必須用分?jǐn)?shù)分布數(shù)描述（分布數(shù)一般不唯一，但要滿足描述系綜總體性質(zhì)的要求）12

7、四、系綜平均混合系綜可看作純系綜|(i)的混合疊加。分?jǐn)?shù)分布要滿足歸一條件: 不同態(tài)|(i)不必正交i的數(shù)目可大于態(tài)空間的維數(shù)。例如一系綜可由40% |Sz+ 、30% |Sx-和30%|Sy-組成.對(duì)混合系綜測(cè)量A，測(cè)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是A的系綜平均這里|a是A的本征矢。由于是A在態(tài)|(i)的期待值，系綜平均要對(duì)期待值作權(quán)重平均，即幾率概念出現(xiàn)兩次:一是在態(tài)|(i)找到A本征態(tài)的量子力學(xué)幾率，二是|(i)在系綜的幾率權(quán)重。13五、密度算符 利用一般基求A的系綜平均：對(duì)b或b的求和項(xiàng)數(shù)是態(tài)矢空間的維數(shù)，而i的項(xiàng)數(shù)則與混合系統(tǒng)被看作由怎樣的純態(tài)混合而成有關(guān)。定義與特定觀測(cè)量A無(wú)關(guān)的系綜密度算符：其矩陣

8、表示即密度矩陣的矩陣元為密度算符包含了所討論系綜的所有物理信息。14觀測(cè)量的系綜平均由于跡與表象無(wú)關(guān)，可在任意方便的基中計(jì)算，因而上式是非常有用的。 15六、密度算符的基本性質(zhì)1）厄米性：+ =2）滿足歸一化條件：由于厄米性及歸一條件，對(duì)自旋1/2的體系，密度算符的矩陣表示由3個(gè)獨(dú)立參量描述，這是因?yàn)槎蛎拙仃囉伤膶?shí)數(shù)表述，而歸一性將獨(dú)立參數(shù)數(shù)降為3。所需三個(gè)參數(shù)是Sx, Sy和Sz。 16七、純態(tài)系綜的密度算符純系綜由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，對(duì)應(yīng)的密度算符為：純系綜的具有等冪性: 2 = (故Tr(2)=1)， (-1)=0對(duì)角化時(shí)有ii (ii-1)=0，即ii =1或ii

9、 =0，具有形式：可以證明，純系綜的Tr(2)=1為極大，任何混合系統(tǒng)的Tr(2)和50%|-的非相干組合，則 ：S=0184）由75%|Sz+與25%|Sx+組成的部分極化系綜容易求得：注：給定，其對(duì)純系綜的分解可以是多樣化的。19九、系綜的時(shí)間演化 對(duì) ，若系綜不受干擾，則wi不變，系綜的時(shí)間演化由態(tài)矢|(i)的時(shí)間演化決定，這方程形式與Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程反號(hào)。但這并不矛盾，因不是Heisenberg圖象中的動(dòng)力學(xué)觀測(cè)量。其實(shí)，是由Schrdinger圖象中的態(tài)矢組成的，而態(tài)矢則是按Schrdinger方程演化的。20十、連續(xù)譜空間中的密度算符對(duì)應(yīng)于連續(xù)本征譜的態(tài)矢，則此時(shí)密度矩

10、陣實(shí)際上是x和x的函數(shù)，即i(x)是對(duì)應(yīng)于|(i)的波函數(shù)。的對(duì)角元素是幾率密度的權(quán)重和（可見(jiàn)密度矩陣這一名稱(chēng)很合適）。 21十一、密度算符與量子統(tǒng)計(jì)力學(xué) 對(duì)完全隨機(jī)的系綜，密度矩陣在任何表象中均有：該與純系綜的很不相同。 為定量表征不同系綜的，定義為：在本征態(tài)為基矢時(shí) 22十二、熵由于 ，是半正定的（0）。對(duì)完全隨機(jī)系綜對(duì)純系綜， =0可見(jiàn)可作為體系無(wú)序度的定量表征：純系綜完全有序，既無(wú)序度為零；隨機(jī)系統(tǒng)完全無(wú)序，故是個(gè)大數(shù)。其實(shí)，在歸一化限制下，ln(N)是的最大值。在熱力學(xué)中，熵是度量無(wú)序度的。熵（S）與的關(guān)系為，S=k，k為Boltzmann常數(shù)。 S=k可看作是量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中熵的定義。 23十三、熱平衡系綜的密度矩陣對(duì)具有確定H的系綜,熱平衡時(shí)取極大:=0.因/ t=0,與H可同時(shí)對(duì)角化,可用H的本征態(tài)為基.粒子的平均內(nèi)能：H=Tr(H)=U由用Lagranger乘子法可得其解為，利用歸一化條件有對(duì)應(yīng)于能量本征態(tài)Ek的幾