從等效原理到Finsler場論

1、從等效原理到FINSLER場論LostAbaddon1三個部分一，為何Finsler二，何為Finsler三，如何Finsler2一，為何Finsler開篇前的聲明：Finsler幾何，以及建立在Finsler幾何上的物理學，現(xiàn)在在理論物理范疇內(nèi)并不是主流，只能算是“偏門”。Finsler幾何在光學與材料科學上的應用不錯，特別是在非線性光學以及方向依賴的各向異性介質(zhì)中的電磁問題。在理論物理范疇中，F(xiàn)insler幾何更多是啟發(fā)性的，但不能直接得到什么很有用的結論因為時空即便是Finsler的，也是非常接近Riemann的Finsler。已故的幾何學大師陳省身曾說過：未來的物理應該是Finsler

2、的。3一，為何Finsler請先思考一個問題：為何廣義相對論采用的是黎曼幾何？4一，為何Finsler等效原理將引力與時空彎曲聯(lián)系在一起，又將時空彎曲與微分幾何聯(lián)系在一起起到了一個橋梁作用。但是微分幾何不僅僅是黎曼幾何，F(xiàn)insler幾何比Riemann幾何更為寬泛，等效原理并沒有將Finsler中非Riemann的那些幾何都排除掉。因此，如果只考慮等效原理，那時空完全可以是Finsler的。5一，為何Finsler什么原理讓我們只選擇黎曼幾何作為時空的幾何結構？答案是：時空局部Lorentz對稱性因此：如果時空不具備局部Lorentz對稱性，那時空就可以不是黎曼幾何的從而是Finsler的。

3、6二，何為Finsler在引入具體度量以前，微分流形（假定大家已經(jīng)知道了什么是微分流形，不知道的請參見梁燦彬老師微分幾何入門與廣義相對論上冊的第一、第二章，或者物理學家用微分幾何第一章。有興趣的也可以讀一下陳省身老師的微分幾何，感覺對于非數(shù)學系的物理學生來說也挺容易上手的）上只有圖冊與外微分形式。黎曼流形是具有形如 這種二次型度量結構的微分流形Finsler流形就是具有最一般形式度量結構的微分幾何7二，何為Finsler思考這么一個問題：為何兩點間距離必須是兩點坐標差的平方和的根號？為何兩點間距離必須長得這么“橢圓”？我們玩RPG游戲的時候，兩點間距離不可以粗略地表達為兩點間距離差的絕對值的和

4、么？進而思考：究竟度量是什么？8二，何為Finsler微分流形上的度量函數(shù)需要滿足如下四點要求：只要一個函數(shù)滿足以上四點，就可以當作一個流形上的度量函數(shù)，無論它“長”得多么妖冶。9二，何為FinslerFinsler度量示例：注意:第一與第二種都是不合法的Finsler度量，因為存在不連續(xù)性。10二，何為Finsler度量函數(shù)對應的度規(guī)張量，現(xiàn)在不但是流形坐標的函數(shù)，還是切空間中切矢量（方向）的函數(shù)。與度量函數(shù)F適配的Finsler度規(guī)定義為：顯然，黎曼幾何的度規(guī)是滿足這個關系的11二，何為FinslerFinsler度規(guī)舉例：12二，何為Finsler現(xiàn)在，我們可以給出“平直時空”的定義：在

5、恰當?shù)膱D冊選擇下下度量處處相同的Finsler流形稱為平直Finser流形。顯然，黎曼流形中的閔氏時空就是平直的。Finsler中的“短程線”：形式上與Riemann幾何中的一致，但需要注意，這里度規(guī)的參數(shù)是流形坐標與切空間矢量，后者就是v。13二，何為FinslerCartan張量：Cartan矢量：Cartan標量：如果一個Finsler流形的Cartan矢量（或者標量）沒有上下確界，那么這個流形就不能光滑嵌入到任何平直Finsler流形中，無論后者有多少維。14二，何為Finsler非線性聯(lián)絡：測地噴射：兩者關系：坐標基矢及對偶：15二，何為FinslerFinsler流形上的聯(lián)絡，有流

6、形與且可能關鍵兩部分：可以引入與Riemann中一樣的適配條件，從而可以構造與Finsler度規(guī)相適配的Finsler聯(lián)絡。適配條件為：16二，何為FinslerFinsler流形的適配聯(lián)絡（ Cartan聯(lián)絡）為：需要注意的是：Finsler流形上的適配條件是不唯一的，從而Finsler上的適配聯(lián)絡是不唯一的。常用的有Chern-Rund聯(lián)絡、Berwarld聯(lián)絡、Cartan聯(lián)絡與Hashiguchi聯(lián)絡。就一般而言，取Cartan聯(lián)絡時，F(xiàn)insler流形上連接兩點的短程線與連接相同兩點的自平行曲線并不重合17二，何為FinslerFinsler擾率Finsler流形是自帶擾率的：其中1

7、8二，何為Finsler通過與Riemann幾何中相同的方法，我們可以得到如下曲率張量：此外還有各種不同的曲率張量可以被構造出來。Finsler曲率張量：Berwarld曲率張量：19三，如何Finsler1，尋找所要的對稱性2，尋找上述對稱性對應的Finsler流形3，建立Finsler流形上的物理20三，如何Finsler從對稱性入手，來尋找局部Lorentz破缺但很接近Lorentz的對稱性1，尋找Lorentz代數(shù)的子代數(shù)：2個雙元素子代數(shù)（不同構的意義上）4個三元素子代數(shù)1個四元素子代數(shù)21三，如何Finsler我們要通過已知的群的李代數(shù)來獲得形變?nèi)旱睦畲鷶?shù)如果已知李代數(shù)的結構常數(shù)為

8、形變李代數(shù)的結構常數(shù)為從而形變李代數(shù)要滿足：對于更高階形變還能接續(xù)寫下去，類似于微擾展開方程22三，如何Finsler在職考慮一階形變的情況下，形變李代數(shù)要求滿足：為了避免如此找出的群眾存在原來李代數(shù)通過基矢（無窮小）變換而得到的“形變”，還要求：上述不等式對于任意無窮小變換 都成立從而，我們可以從任意給定李代數(shù)得到其形變代數(shù)。23三，如何Finsler我們最終要得到的是Lorentz群及其子群的形變?nèi)号c平移群的半直積群，這才是完整的時空局部對稱性。通過上述群的表示我們可以通過Finsler流形的李導數(shù)方程來得到Finsler度量函數(shù)。因而，下面就要來尋找上述群的表示。24三，如何Finsle

9、r從而有兩種不同的微擾方案：1，2，25三，如何Finsler最后能得到各種形變代數(shù)的結構常數(shù)以及形變?nèi)旱木仃嚤硎?，可以看講稿中的表格，或者去我的Google文庫看論文原文。工作量異常巨大，而且最后的結果異常長，就不詳細給出了26三，如何Finsler如果一個微分流形（無論是Finsler還是Riemann）具有某種對稱性S，那么S所對應的群G作用在流形的度量函數(shù)上應該不發(fā)生變化。這與Lie導數(shù)為零的要求一致。27三，如何Finsler可以通過上述方程，以及之前得到的對稱群來構造Finsler度量。這里選擇的方法是通過尋找各種滿足Lie導數(shù)方程的“組件”來復合構造出最終的度量函數(shù)。具體方法報告

10、時會講，或者請看Google文庫。28三，如何Finsler在給定的Finsler時空上建立物理是一件還沒有統(tǒng)一標準的事情難點：Finsler中的“切矢量”究竟對應物理客體的什么屬性？對于點粒子而言，F(xiàn)insler的切矢量可以被對應到點粒子世界線的切矢，也即點粒子的“速度”。但對于場論，這個切矢量就沒有一個恰當?shù)奈锢韺獙綀龅奶荻鹊脑挘瑫诙鄨龅南嗷プ饔庙斀巧铣霈F(xiàn)奇異性。29三，如何Finsler在一些文獻中所采用的方法是將那些“切矢量”全部積分掉。但這種做法非常任意和人為，并沒有一個好的原理來給出這種做法的合理性。這里我所采用的方法是將場的激發(fā)子視為是與點粒子行為對應的，從而從唯像的角度

11、來構造場論。當然，除了這種唯像的做法，我們還可以通過修改Finsler幾何，將其“改造”為算符的幾何學，從而從這種“算符幾何”的角度來構造場論。還有一種做法，便是利用“量子化”，我們也可以通過對點粒子的路徑積分來構造點粒子的場當然，這里只局限與標量場。對于別的場，做法會有所不同。第一與第二種方法最后得到的結果是很類似的。30三，如何Finsler一，唯像類比法作為場的基元，或者說場量子，必須滿足與點粒子相類似的運動規(guī)律。這個做法的依據(jù)在于，我們都知道場可以看作是多粒子系宗，因而場量子就是這個多粒子系宗的一個粒子（當然，這個類比是非常粗糙的）而很顯然，單獨一個粒子的話自然是要滿足點粒子運動規(guī)律的

12、，只不過多粒子系宗在一起就要滿足場的規(guī)律了。31三，如何Finsler操作流程：1，通過點粒子作用量得到點粒子的色散關系；2，找到給定Finsler時空的所有局部對稱群；3，通過上述對稱群給出場作用量的約束條件，從而將作用量的形式限定在一定范圍內(nèi)；4，求解上述作用量對應的平面波解，并要求該解滿足1中得到的色散關系，從而將作用量完全確定。32三，如何FinslerDISIM時空中，點粒子拉氏量為：從而色散關系為：標量場作用量為：33三，如何Finsler標量場及旋量場與規(guī)范場耦合：34三，如何Finsler二，算符幾何法保留Finsler度量，將度規(guī)等都視為算符而非幾何量，從而建立起關于所有這些“幾何算符”的類幾何體系，給出合適的算符內(nèi)積定義，以及協(xié)變微