等差數(shù)列知識點總結及考點練習

1、等差數(shù)列知識點總結一、等差數(shù)列知識點回顧與技巧點撥.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用而一包表.等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列an的首項是ai,公差是d,則其通項公式為 an= ai+ (n 1)d =(nm)d =p.等差中項如果三個數(shù)x, A, y組成等差數(shù)列，那么 A叫做x和y的等差中項，如果 A是x和 y的等差中項，則 A=個.等差數(shù)列的常用性質 *(1)通項公式的推廣：an = am+ (n- m)d(n, me N).(2)若an為等差數(shù)列，且 mw n=p+q,*貝U

2、 am+ an=ap+aq(m n, p, qCN).(3)右an是等差數(shù)列，公差為 d,則ak, ak+m, ak+2 ( k, m N)是公差為 md的等 差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm, S2m Sm, S3mSm,也是等差數(shù)列.82n i = (2 n- 1)an.nd(6)右n為偶數(shù)，貝U S偶一S奇=5；若n為奇數(shù)，則 S奇一S偶=2中(中間項).等差數(shù)列的前 n項和公式. ,一 一 n adan 一、. 一一 、. 一 若已知首項 日和末項稿,則&=2，或等差數(shù)列an的首項是a,公差是d, 則其前n項和公式為Sn=na1+n n1 d.等差數(shù)列的前 n項和公式與函數(shù)的關系d r dS =

3、 2n2 + a1-2 n,數(shù)列 an是等差數(shù)列的充要條件是 S = AK+Bn(A, B為常數(shù)).最值問題在等差數(shù)列an中，a10, d0,則Sn存在最大彳1,若a10,則Sn存在曼小值.一個推導利用倒序相加法推導等差數(shù)列的前n項和公式：Sn = a1 + a2 + a3 + an,Sn= an+ an1 + + 21,_ 否/口- n a1 + an十得：Sn=2.兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設元.(1)若奇藪個莪/柔至莪列E和兀定而士而設，a 2d, a d, a, a+d, a+2d,.(2)若血個藪晟S蕊笠旦和男定麗工一可設五二一_a二3d-a二3 a土 d

4、-a土 3d：.其余各項再依據(jù)笠差數(shù)列的定義進任對稱設元，.四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗證 anan1為同一常數(shù)；*（2）等差中項法：驗證 2an-i = an + an-2（n3, nCN）都成立；（3）通項公式法：驗證 an=pn+q；（4）前n項和公式法：驗證 S = An2+ Bn注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.回顧: TOC o 1-5 h z 1.已知等差數(shù)列an中，83=9, 89=3,則公差d的值為（）A.1B. 1C.D. - 12| 2.已知數(shù)列an的通項公式是 an=2n+5,則此數(shù)列是（）A.以7為首

5、項，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項，公差為 5的等差數(shù)列C.以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列.在等差數(shù)列an中，ai=13, a3=12 ,若an=2,則n等于（）A. 23B. 24C. 25D. 26.兩個數(shù)1與5的等差中項是（）A. 1B. 3C. 2D. （2005?黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）A . a1+a8a4+a5B. a1+a8=a4+a5C. a1+a8va4+a5D. aa8=a4a5考點1:等差數(shù)列的通項與前n項和題型1：已知等差數(shù)列的某些項，求某項【解題思路】 給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質，再考慮基本量法【例1】已知an為等差數(shù)列,

6、a158, a6020 , 則 a75解：方法1 ：a15 a1 14d 8a60 a159d2064,4,d1515644a75 a174d74241515方法2:a60 a1520 84d 一 ,60 1545154a75a60 (75 60)d 20 15 1524方法3：令anan15a60ab 8b 20a但b45,168 ca75 75a b 752445 3方法4： an為等差數(shù)列,a15 ,a30,a45, a60, a75也成等差數(shù)列，設其公差為d1，則a15為首項，a60為第4項.a60a15 3d120 8 3dd1 4方法5:a75a60d120 4 24an為等差數(shù)列

7、,(15,ai5),(60,a60),(75,a75)三點共線a60a15a75 a6020 8601575 6045a7520a75 24對應練習：1、已知an為等差數(shù)列,amp, an q ( m,n, k 互不相等)，求 ak.2、已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為 5 ,平方和為165,求這5個數(shù).題型2：已知前n項和Sn及其某項，求項數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式 an a1 （n1)d求出a1及d ,代入Sn可求項數(shù)n ；利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出a1an,代入Sn可求項數(shù)【例2】已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a46,Sn 63,求解：設等差數(shù)列的首項為a1,公

8、差為d，則3d8da118, d6c36, n2Sn 18n n(n 1) 63 n12對應練習：3、若一個等差數(shù)列的前 4項和為36,后4項和為124,且所有項的和為780, 這個數(shù)列的項數(shù) n.4.已知Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，a1 1,a4 7, Sn 100 ,n .題型3:求等差數(shù)列的前 n項和【解題思路】（1）利用Sn求出an ,把絕對值符號去掉轉化為等差數(shù)列的求和問題(2)含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論【例3】已知Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，Sn 12n解:(i)求求anSnSn1(12n時,an0.aia1aiSnan(1)a1a1a1a1a2a2a212

9、n1時,a2a?a2a3a3a3aoa3 ；a3a3a1Si12(n1時,2s6anan13a2a1a12s61)(n132na3a2Soa2a2Snao ；an121)211a32(12a3a32(12a1a213132a32n ，anS3 1213 2n .6時，an 0 ;當 n 732 27；a6(a7a8a9&o)62)(1210102)ana662)12nn2 ，(a7an)(12n n2)n2 12n 72.對應練習：5、已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S10100, So。10,求 S110.考點2 :證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】 判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義

10、法：an 1 an d (n N , d是常數(shù))an是等差數(shù)列；2、中項法：2an 1 an an 2(n N ) an是等差數(shù)列；3、通項公式法：an kn b(k,b是常數(shù))an是等差數(shù)列;4、項和公式法：sn An2 Bn (A, B是常數(shù)，A 0)是等差數(shù)列.Sc【例4】已知sn為等差數(shù)列an的前n項和，bn (n N ).n求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列.解:1萬法1：設等差數(shù)列 an的公差為d , Snna1 n(n方法2:bn 2bn1 ,a1 (n 1)d2a1Sc1bn a1(n 1)dn2，1 ，bn 1 bna1 - nd a12數(shù)列bn是等差數(shù)列i(n 1)d 12Sn1b

11、na1 -(n 1)d ，n211bn 1 a1-nd，bn 2a1- (n221)d(常數(shù))1 ,-(n 1)d 2a1 nd 2bn 1， 2數(shù)列bn是等差數(shù)列.對應練習：6、設Sn為數(shù)列an的前n項和，Snpnan (n N ), a1a2.(1) 常數(shù)p的值;(2)證：數(shù)列an是等差數(shù)列考點3:等差數(shù)列的性質【解題思路】利用等差數(shù)列的有關性質求解【例5】1、已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a6Sm n2、知 Sn為等差數(shù)列an的前n項和，Snm,Smn(n m),則解：1、S1111(a a#11a621100;2、方法1：令 SnAn2Bn ，則An2Am2BnBmA(n2B(nm

12、)SmA(nm)2A(m n) B(mn)(m方法2:不妨設SmSnan 1an2 anam 1(m n)(an1 am)na1am n an 1Sm n(m n)(a1am n )方法3：an是等差數(shù)列,nWnSn(m為等差數(shù)列Sm,m, mS 7m nm nnS一一n,3u-三點共線m nSm n(m n).對應練習：7、含2n 1個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（A 2n 1 n 1A. B.nnc.UnD.2n8.設Sn、Tn分別是等差數(shù)列 anan的前n項和,呈Tn7n 2,則n 3a5b5考點4:等差數(shù)列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用an與Sn的關系式及等差數(shù)列的

13、通項公式可求;【例6】解:anSnSn12、求出Tn后,已知Sn為數(shù)列bn 2 2bn 1(i)數(shù)列an判斷Tn的單調性.1 2an的刖n項和，Sn - n 2bn，bn設Tn為數(shù)列cnTn(1)Snk內對 n 571 2 2n1時,其前9項和為153.的通項公式;的前n項和，cnN都成立的最大正整數(shù)11n ,2S16;11n ；數(shù)列bn滿足：b3 11,2,求使不等式(2an 11)(2bn 1)k的值.當1-n2bnbn11一 n2i(n1)2211(n 1)21時，1b19bcn2bn 1 bn2d 1136d153bnb1bnbn 225,d 3,3(n1) 3n2.(2an 11)(

14、2bn 1)bn是等差數(shù)列，設其公差為2(n 5) 11 2(3n 2) 1(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1145 5Tn1111(1-)(-)(33 557)111()1 2n 12n 1 2n 1n N ，Tn是單調遞增數(shù)列, 一12當 n1 時，Tnmin T11-33kTn一對n N者B成立Tn min57所求最大正整數(shù)k的值為37 .k572 _k_357k 38對應練習：9.已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1 3, SnSn 12an(n 2).數(shù)列an的通項公式;數(shù)列an中是否存在正整數(shù) k ,使得不等式akak 1對任意不小于 k的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整

15、數(shù) k，若不存在，說明理由課后練習：1.(2010廣雅中學)設數(shù)列 項和，則A- S10S11Ban是等差數(shù)列，且a2S10S118 , a155，Sn是數(shù)列an的前nS9S10D - S9S10a83.數(shù)列an中，an2.在等差數(shù)列an中，a5120,則a2 a,a62n 49 ,當數(shù)列an的前n項和Sn取得最小值時,n .已知等差數(shù)列an共有10項，其奇數(shù)項之和為 10,偶數(shù)項之和為 30,則其公差是_.設數(shù)列 & 中，a1 2, an 1 an n 1 ,則通項an.從正整數(shù)數(shù)列1,2,3,4,5,中刪去所有的平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的第1964項是.答案與解析：對 應 練

16、習：1、 【解 析】am anak an p q ak qp(k n) q(m k) TOC o 1-5 h z ak mn kn mnknm n2、【解析】設這5個數(shù)分別為a 2d,a d,a,a d,a 2d.則(a2d)(a d)a (a d) (a2d) 5a1165_2222_222(a2d) (a d) a (a d)(a 2d)165 5a 10danSn解彳t a 1,d43、【解析】1,d4時，這5個數(shù)分別為:7, 3,1,5,9 ;1,daia1 an4(a1Sn4、【解析】Sn5、【解析】6、Sn1a3a2an)n(a124時，這5個數(shù)分別為:9,5,1,a2an 116

17、0an)a3 a436, anan 2 an 3124a3a1780設等差數(shù)列的公差為dan 2a4an 4020n1n n(n 1) 2 1002方法1:設等差數(shù)列的公差為S10110a1nana5方法2:S11078039S100S10110(a12a4 a14 12 90(a1110.10a1100al110 109da110) Sn pnan , a1 a2由知：Snnan，(n選B.8、【解析】an bn1)an 1a2na2S2n 1T2n1(n 1)(an0(n 2)，45d 100a100 )2 110(a11an 1)數(shù)列(n 1)(a1a2n 1)a4 a6a1a2n7(2

18、n 1)(2n 1) 34950d90a100)pa110a11a100110是等差數(shù)列.n(a2 a2n)214n 52n 2a5b5a2n 1a2651211501099100a2n65129、【解析】當n 2時，SnSn 1 2anSnSnl2(SnSn1)-1，1,且工1SnSn 12S131，an是以一為公差的等差數(shù)列,21其首項為1.32(n1)5 3n6Sn65 3n18(3n 8)(3n 5)1 _ _當 n 2 時，an -SnSn12n 1時,1818(3 8)(3 5)10a1，3(n 1)18(3n8)(3n 5)(n 2) ak ak 118(3k 8)(3k 5)(3k 2)0,得2 k -或 k 8,