小學(xué)尖子生訓(xùn)練之-構(gòu)造與論證模塊練習(xí)(含答案)

1、8-9,構(gòu)造與論證.題庫(kù)教師版page of16構(gòu)造與論證削3匹教學(xué)目標(biāo)1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問(wèn)題2.利用基本染色去解決相關(guān)圖論問(wèn)題.且知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明各種探討給定要求能否實(shí)現(xiàn)，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類討論，有時(shí)則要著眼于極端情形，或從整體把握.設(shè)計(jì)最佳安排和選擇方案的組合問(wèn)題，這里的最佳通常指某個(gè)量達(dá)到最大或最小.解題時(shí)，既要構(gòu)造出取得最值的具體實(shí)例，又要對(duì)此方案的最優(yōu)性進(jìn)行論證.論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計(jì).組合證明題，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類討論，有時(shí)則需要著眼于極端情況，或從整體把握。若干點(diǎn)及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱為圖論問(wèn)題。若干

2、點(diǎn)及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱為圖論問(wèn)題，這里宜從特殊的點(diǎn)或線著手進(jìn)行分析.各種以染色為內(nèi)容，或通過(guò)染色求解的組合問(wèn)題，基本的染色方式有相間染色與條形染色.刖磔俱知識(shí)點(diǎn)撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號(hào)排列，今要將它們變?yōu)榉葱蚺帕?，即從?卷到第1卷.如果每次只能調(diào)換相鄰的兩卷，那么最少要調(diào)換多少次？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因?yàn)楸仨毷钦{(diào)換相鄰的兩卷，將第5卷調(diào)至原來(lái)第1卷的位置最少需4次，得到的順序?yàn)?1234;現(xiàn)在將第4卷調(diào)至此時(shí)第1卷的位置最少需3次，得到的順序?yàn)?4123;現(xiàn)在將第3卷調(diào)至此時(shí)第1卷的位

3、置最少需2次，得到的順序?yàn)?4312;最后將第1卷和第2卷對(duì)調(diào)即可.所以，共需調(diào)換4+3+2+1=10次.【答案】10次例2在2009張卡片上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、2009,現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別寫上1、2、3、4、2009.然后將每一張卡片正反兩個(gè)面上的數(shù)字相加，再將這2009個(gè)和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進(jìn)行考慮.所得的2009個(gè)和相力口，便等于12009的所有數(shù)的總和的2倍，是個(gè)偶數(shù).2009個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，說(shuō)明這2009個(gè)數(shù)中必有偶數(shù)，那么這2009個(gè)數(shù)的乘積是偶數(shù).本題也可以考慮

4、其中的奇數(shù).由于12009中有1005個(gè)奇數(shù)，那么正反兩面共有2010個(gè)奇數(shù)，而只有2009張卡片，根據(jù)抽屜原理，其中必有2個(gè)奇數(shù)在同一張卡片上，那么這張卡片上的數(shù)字的和是偶數(shù)，從而所有2009個(gè)和的乘積也是偶數(shù).【答案】偶數(shù)【例3】一個(gè)盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我們對(duì)這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補(bǔ)1枚白色的棋子回去.這樣的操作，實(shí)際上就是每次都少了1枚棋子，那么，經(jīng)過(guò)399次操作后，最后剩下的棋子是顏色（填黑”或者白”）【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋

5、子同色，則補(bǔ)黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚;若拿出的兩枚棋子異色，則補(bǔ)白子1枚，兩枚棋子異色”說(shuō)明其中一黑一白，那么此時(shí)拿出的白子數(shù)為0枚.可見(jiàn)每次操作中拿出的白子都是偶數(shù)枚，而由于起初白子有200枚，是偶數(shù)枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶數(shù)枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子.【答案】黑子【例4在黑板上寫上1、2、3、4、2008,按下列規(guī)定進(jìn)行操作”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b,然后寫上它們的差（大數(shù)減小數(shù)），直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止.問(wèn)黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可知開(kāi)始時(shí)黑板上所有數(shù)的

6、和為1+2+3+|仲+2008=2009父1004是一個(gè)偶數(shù)，而每一次操作，將a、b兩個(gè)數(shù)變成了（a-b）,它們的和減少了2b,即減少了一個(gè)偶數(shù).那么從整體上看，總和減少了一個(gè)偶數(shù)，其奇偶性不變，還是一個(gè)偶數(shù).所以每次操作后黑板上剩下的數(shù)的和都是偶數(shù)，那么最后黑板上剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是個(gè)偶數(shù).【答案】偶數(shù)例5在1997X1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕.按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變?yōu)椴涣?，或由不亮變?yōu)榱?如果原來(lái)每盞燈都是不亮的，請(qǐng)說(shuō)明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要19

7、97次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態(tài)，由不亮變成亮.而第一列每格的燈都改變1997次狀態(tài)，由不亮變亮.如果少于1997次，則至少有一列和至少有一行沒(méi)有被按過(guò)，位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態(tài).【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆.開(kāi)始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子.問(wèn)能否做到：（1）某2堆石子全部取光？（2）3堆中的所有石子都被取走？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】（1）

8、可以，如（1989,989,89）t（1900,900,0）t（950,900,950）t（50,0,50）t（25,25,50）T（0,0,25）.（2）因?yàn)椴僮骶蛢煞N，每堆取走同樣數(shù)目的小石子，將有偶數(shù)堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數(shù)要么減少3的倍數(shù)，要么不變.現(xiàn)在共有1989+989+89=3067,不是3的倍數(shù)，所以不能將3堆中所有石子都取走.【答案】（1）可以（2）不能【例7】在某市舉行的一次乒乓球邀請(qǐng)賽上，有3名專業(yè)選手與3名業(yè)余選手參加.比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說(shuō)每?jī)擅x手都要比賽一場(chǎng).為公平起見(jiàn)，用以下方法記分：開(kāi)賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場(chǎng)，勝者

9、加分，負(fù)者扣分，每勝專業(yè)選手一場(chǎng)加2分，每勝業(yè)余選手一場(chǎng)加1分；專業(yè)選手每負(fù)一場(chǎng)扣2分，業(yè)余選手每負(fù)一場(chǎng)扣1分.問(wèn)：一位業(yè)余選手最少要?jiǎng)賻讏?chǎng)，才能確保他的得分比某位專業(yè)選手高？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當(dāng)一位業(yè)余選手勝2場(chǎng)時(shí)，如果只勝了另兩位業(yè)余選手，那么他得10+2-3=9（分）.此時(shí)，如果專業(yè)選手間的比賽均為一勝一負(fù)，而專業(yè)選手與業(yè)余選手比賽全勝，那么每位專業(yè)選手的得分都是10+2-2+3=13（分）.所以，一位業(yè)余選手勝2場(chǎng)，不能確保他的得分比某位專業(yè)選手高.當(dāng)一位業(yè)余選手勝3場(chǎng)時(shí)，得分最少時(shí)是勝兩位業(yè)余選手，勝一位專業(yè)選手，得10+2+2-2=12（分）.此時(shí)，

10、三位專業(yè)選手最多共得30+0+4=34（分），其中專業(yè)選手之間的三場(chǎng)比賽共得0分，專業(yè)選手與業(yè)余選手的比賽最多共得4分.由三個(gè)人得34分，34與=11，推知，必3有人得分不超過(guò)11分.也就是說(shuō)，一位業(yè)余選手勝3場(chǎng)，能確保他的得分比某位專業(yè)選手高.【答案】勝3場(chǎng)【例8】n支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用單循環(huán)制，即每對(duì)均與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng).現(xiàn)規(guī)定勝一場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.如果每一隊(duì)至少勝一場(chǎng)，并且所有各隊(duì)的積分都不相同，問(wèn)：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個(gè)隊(duì)共進(jìn)行了C2場(chǎng)比賽，而每場(chǎng)比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)

11、隊(duì)的得分總和為C42=12.因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝一場(chǎng)，所以得分最低的隊(duì)至少得2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以4個(gè)隊(duì)得分最少2+3+4+5=1412,不滿足.即n=4不可能。（2）我們知道5個(gè)隊(duì)共進(jìn)行C2場(chǎng)比賽，而每場(chǎng)比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)隊(duì)的得分總和為C2X2=20.因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝一場(chǎng)，所以得分最低的隊(duì)至少得2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以5個(gè)隊(duì)得分最少為2+3+4+5+6=20,滿足.即n=5有可能.但是我們必須驗(yàn)證是否存在實(shí)例.如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分淇中AtB”表示A、B比賽時(shí)，A勝B;B-C”表示B、C比賽時(shí)，B平C,余下類推.D三分4勢(shì)【

12、答案】（1）不可能（2）可能【例9】如圖35-1,將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個(gè)整數(shù)M.求M的最小值并完成你的填圖.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【解析】要使M最小，就要盡量平均的填寫，因?yàn)槿绻械倪B續(xù)5個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)特別小，有的特別大，那么M就只能大于等于特別大的數(shù)，不能達(dá)到盡量小的目的.因?yàn)槊總€(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都用了5次，所以10次的和為5X（1+2+3+10）=275每次和都小于等于朋，所以10M大于等于275,整數(shù)M大于28.下面來(lái)驗(yàn)證M=28時(shí)是否成立，注意到圓圈內(nèi)全部數(shù)的總和是55,所以肯定是一邊五個(gè)的和

13、是28,一邊是27.因?yàn)閿?shù)字都不一樣，所以和28肯定是相間排列，和27也是相問(wèn)排列，也就是說(shuō)數(shù)組每隔4個(gè)差值為1,這樣從1填起，容易排出適當(dāng)?shù)奶顖D.【例10如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作9個(gè)120的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù).并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作8個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試【解析】略.【答案】要在表盤上共可作出【難度】3星【題型】解答12個(gè)不同的扇形，且112中的每個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋.將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇形恰好蓋住整個(gè)表盤.那么，根

14、據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有|91+1=3個(gè)扇形屬于同一組，那么這一組的3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤.114另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這個(gè)數(shù)就沒(méi)有被剩下的8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇形不能蓋住整個(gè)表盤【鞏固】將1、2、3、4、5、6寫在一個(gè)圓周上，然后把圓周上連續(xù)三個(gè)數(shù)之和寫下來(lái)，則可以得到六個(gè)數(shù)切、a?、a3、a,、a5、a6,將這六個(gè)數(shù)中最大的記為A.請(qǐng)問(wèn)在所有填寫方式中，A的最小值是什么？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽【解析】要由于每個(gè)寫在圓周上的數(shù)都被用了三次，則

15、a1+a2+a3+a4+a5+a6=3父(1+2+3+4+5+6)=63,即寫出來(lái)的這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為10.5,因此A至少為11.由上圖的排列方式可知A為11的情形存在，故A的最小值為11.【答案】最小值為11【例11】1998名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼依次為1至1998的自然數(shù).現(xiàn)在要從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，使得剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒(méi)有一個(gè)人的號(hào)碼等于另外兩人的號(hào)碼的乘積.那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員最少有多少人？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】我們很自然的想到把用得比較多的乘數(shù)去掉，因?yàn)樗鼈儏⑴c的乘式比較多，把它們?nèi)サ粲兄谑故Ｏ碌臉?gòu)不成乘式，比較小的數(shù)肯定是用得最多的，因?yàn)樗鼈兊谋稊?shù)

16、最多，所以考慮先把它們?nèi)サ簦P(guān)鍵是除到何處？考慮到44的平方為1936,所以去到44就夠了，因?yàn)槿绻Ｏ碌臉?gòu)成了乘式，那么乘式中最小的數(shù)一定小于等于44,所以可以保證剩下的構(gòu)不成乘式.因?yàn)閷?duì)結(jié)果沒(méi)有影響，所以可以將1保留，于是去掉2,3,4,，44這43個(gè)數(shù).但是，是不是去掉43個(gè)數(shù)為最小的方法呢？構(gòu)造2X97,3X96,4X95,，44X45,發(fā)現(xiàn)這43組數(shù)全不相同而且結(jié)果都比1998小，所以要去掉這些乘式就至少要去掉43個(gè)數(shù)，所以43為最小值，即為所求.【答案】43【例12】一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1,最大的數(shù)是25,除1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍

17、，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和.問(wèn)：這組數(shù)之和的最小值是多少？當(dāng)取到最小值時(shí)，這組數(shù)是怎樣構(gòu)成的？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】首先把這組數(shù)從小到大排列起來(lái)，那么最小的肯定為1,1后面只能是1的2倍即2,2后面可以是3或4,3的后面可以是4,5,6;4的后面可以是5,6,8.最大的為25.下面將所有的可能情況列出：2,3,4,，25所有的和是35;2,3,5,，25所有的和是36;2,3,6,，25所有的和是37;2,4,5,，25所有的和是37;2,4,6,，25所有的和是38;2,4,8,，25所有的和是40.25是奇數(shù)，只能是一個(gè)偶數(shù)加上一個(gè)奇數(shù).在中間省略的數(shù)中不能

18、只有1個(gè)數(shù)，所以至少還要添加兩個(gè)數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)的和不能小于25,否則就無(wú)法得到25這個(gè)數(shù).要求求出最小值，先看這兩個(gè)數(shù)的和是25的情況，因?yàn)槭÷缘膬蓚€(gè)數(shù)不同于前面的數(shù)，所以從20+5開(kāi)始.25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12.這些數(shù)中20,19,18,17太大，無(wú)法產(chǎn)生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12.看這些誰(shuí)能出現(xiàn)和最小的1,2,3,4,，25中，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有可以滿足的：再看1,2,3,5,，25,發(fā)現(xiàn)1,2,3,5,10,15,25滿足，所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【答案】1+2+3+

19、5+10+15+25=36+25=61【例13】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流取，如果甲先取，如何才能保證贏？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】先從簡(jiǎn)單的情況看起，看看棋子數(shù)量較少時(shí)，在什么情況下先取者勝，什么情況下后取者勝.可以列表如下：棋子數(shù)量先取者勝后取者勝1枚V2枚V3枚V4枚V5枚（=3+1+1）V6枚（=4+1+1）V7枚V8枚V9枚（=1+8）V10枚V11枚（=3+8）V12枚（=4+8）V13枚（=3+10）V14枚（=4+10）V15枚（=7+8）V16枚|V717枚（=1+16）V18枚V19枚（=3+16）V20枚（

20、=4+16）V棋子數(shù)是18時(shí)比較容易看得出來(lái)是先取者勝還是后取者勝，可以看出只有棋子數(shù)是2枚和8枚時(shí)是后取者勝，其他情況下都是先取者勝當(dāng)棋子數(shù)大于8時(shí)，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子數(shù)變成前面已有的棋子數(shù).先取者為了取勝，第一次取后，應(yīng)該使剩下的棋子數(shù)是后取者勝的情況，比如變成剩下2枚或8枚.這樣推下去，可以發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)棋子數(shù)是8的倍數(shù)或者除以8余2時(shí)，是后取者勝，其他情況下是先取者勝.題目中有2004枚棋子，除以8余4,所以先取者肯定可以取勝.不過(guò)取勝的策略比較靈活，不能明確地說(shuō)每次后取者取多少枚先取者就相應(yīng)地取多少枚，應(yīng)該從除以8的余數(shù)來(lái)考慮：先取者第一次可以先取4枚，這樣還剩下2000

21、枚，2000除以8的余數(shù)是0;先取者為了保證獲勝，在每一次后取者取了之后，先取者再取的時(shí)候，應(yīng)該使得自己取后剩下的棋子數(shù)是8的倍數(shù)或者除以8余2;后取者每次可以取1,3,4,7枚，每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是0或2,所以每次后取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是7,5,4,1或1,7,6,3.所以接下來(lái)先取者可以對(duì)應(yīng)地取7,3,4,1或1,7,4,3枚棋子，這樣剩下的剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)為0,2,0,0或0,0,2,0.這樣就保證了第點(diǎn).每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是0或2,那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者獲勝.【答案】見(jiàn)解析【例14】在10X19方格表的每

22、個(gè)方格內(nèi)，寫上0或1,然后算出每行及每列的各數(shù)之和.問(wèn)最多能得到多少個(gè)不同的和數(shù)？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】首先每列的和最少為0,最多是10,每行的和最少是0,最多是19,所以不同的和最多也就是0,4,，18,19這20個(gè).下面我們說(shuō)明如果0出現(xiàn)，那么必然有另外一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn).如果0出現(xiàn)在行的和中，說(shuō)明有1行全是0,意味著列的和中至多出現(xiàn)0到9,加上行的和至多出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，所以少了一種可能.如果0出現(xiàn)在列的和中，說(shuō)明在行的和中19不可能出現(xiàn)，所以0出現(xiàn)就意味著另一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)，所以至多是19,下面給出一種排出方法】1II10001II100001IL1000001

23、11100000011J00000001】000000001000000000IJI1i11111II1111I1I1I11IIi1J1L111J1II】III111111II111111】11i11L【答案】19【例15】在8X8的國(guó)際象棋盤上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋盤上每行、每列及每條斜線上都有偶數(shù)枚棋子？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)?X8的國(guó)際象棋盤上的每行、每列都正好有偶數(shù)格，若某行（某列）有空格，必空偶數(shù)格.而斜線上的格子數(shù)有奇也有偶，不妨從左上角的斜線看起：第一條斜線只有1格，必空；第三條有3格，必至少空1格；第五、七條分別有5、7格，每條線上至少空

24、1格.由對(duì)稱性易知共有16條斜線上有奇數(shù)格，且這16條斜線沒(méi)有共用的格子，故至少必空出16格.其實(shí)，空出兩條主對(duì)角線上的16個(gè)格子就合題意.此時(shí)，最多可放置48枚棋子，放在除這兩條主對(duì)角線外的其余格子中，如下圖所示.【答案】48【例16在下圖中有16個(gè)黑點(diǎn)，它們排成了一個(gè)4通的方陣.用線段連接其中4點(diǎn)，就可以畫出各種不同的正方形.現(xiàn)在要去掉某些點(diǎn)，使得其中任意4點(diǎn)都不能連成正方形，那么最少要去掉多少個(gè)占？I八、【題型】解答【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【解析】至少要除去6個(gè)點(diǎn)，如下所示為幾種方法:【答案】6個(gè)【例17】三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排放在一起，成為【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星1X3的

25、長(zhǎng)方形.求證：/1十/2+/3=90.【題型】解答【解析】仔細(xì)分析，要證/1+/2+/3=90：;（圖1）隅2）由于/3=45，所以，只需證明/1+/2=45就可以了！于是想到能否把/2(21)移動(dòng)位置，與/1(22)拼合在一起，恰成一個(gè)45：的角呢？于是想到：如圖1所示，再拼上一個(gè)單位正方形DFK,則三角形AKC為等腰直角三角形，/KCA=45,又直角三角形KCF與AHD全等,所以ZKCF=N2.因此，/1+N2=N1+/KCF=/KCA=45.有了拼合/2與/1的思想，學(xué)生往往產(chǎn)生不同的拼合方式，沿著拼合全等的思路發(fā)散開(kāi)來(lái)，又可以找到許多拼法.如圖2三角形AHP是等腰直角三角形，/HAP=

26、45，/HAG=N2,/BAP=N1.所以Z1+N2=/BAP+NHAG=/HAP=45.如圖3三角形AQC是等腰直角三角形，/ACQ=45：1,/QCP=/2,.1.2=1.QCP=45.如圖4三角形WDB是等腰直角三角形，ZWDB=45,/CDB=/1,/WDH=/2.所以.1.2-.CDB.WDH-.WDB=45：；.如圖5三角形ZAH是等腰直角三角形，ZZHA=45：1/ZHY=/1,因此Z1+Z2=ZZHY+/2=ZZHA=45：1.其他的沿著拼合全等”的思路的證法就不例舉了如果利用相似三角形的知識(shí)，如圖5所示，又FH=1,FA=V2,FC=2,所以,曳=4=0=a，/HFA=NAF

27、C,因此AHFAsAAFC,=N2=NFHA=/FAC,但FA.22FCN1=/CAB,N1+Z2=/CAB+NFAC=/EAB=45.用相似三角形法不用添設(shè)輔助線，簡(jiǎn)潔明了.再開(kāi)思路，可用三角法證明如下：/2與/1都是小于45的銳角，可知N1+/2是銳角.又DAtan11=DCDAtanZ2=HD5=6-=1,所以N1+N2=45.1611tan_1tan_232tan.1.2=-3-21tan.1tan.211132【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析板塊二、染色與賦值問(wèn)題【例18】某學(xué)校的學(xué)生中，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生讀過(guò)學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書都至少被一個(gè)同學(xué)都讀過(guò).問(wèn)：能否找到兩個(gè)學(xué)生

28、甲、乙和三本書4、B、C,使得甲讀過(guò)A、B,沒(méi)讀過(guò)C,乙讀過(guò)B、C,沒(méi)讀過(guò)A證明判斷過(guò)程.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】首先從讀書數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲.由題設(shè)，甲至少有一本書未讀過(guò)，記為C.設(shè)B是甲讀過(guò)的書中一本，由題意知，可找到學(xué)生乙，乙讀過(guò)B、C.由于甲是讀書數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書數(shù)不能超過(guò)甲的讀書數(shù)，而乙讀過(guò)C書，甲未讀過(guò)C書，所以一定可以找出一本書A,使得甲讀過(guò)而乙未讀過(guò)，否則乙就比甲至少多讀過(guò)一本書.這樣一來(lái)，甲讀過(guò)A、B,未讀過(guò)C;乙讀過(guò)B、C未讀過(guò)A.因此可以找到滿足要求的兩個(gè)學(xué)生【例19】4個(gè)人聚會(huì)，每人各帶2件禮品，分贈(zèng)給其余3個(gè)人中的2人

29、.試證明：至少有2對(duì)人，每對(duì)人是互贈(zèng)過(guò)禮品的.【難度】3星【題型】解答【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【解析】略?！敬鸢浮繉⑦@四個(gè)人用4個(gè)點(diǎn)表示，如果兩個(gè)人之間送過(guò)禮，就在兩點(diǎn)之間連一條線.由于每人送出2件禮物，圖中共有4X2=8條線，由于每人禮品都分贈(zèng)給2個(gè)人，所以每?jī)牲c(diǎn)之間至多有1+1=2條線。四點(diǎn)間，每?jī)牲c(diǎn)連一條線，一共6條線，現(xiàn)在有8條線，說(shuō)明必有兩點(diǎn)之間連了2條線，還有另外兩點(diǎn)（有一點(diǎn)可以與前面的點(diǎn)相同）之間也連了2條線.即為所證結(jié)論【例20】有9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3個(gè)人中至少有2個(gè)人有共通的語(yǔ)言.求證：在這些數(shù)學(xué)家中至少有3人能用同一種語(yǔ)言交談。【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題

30、型】解答【解析】略.【答案】假設(shè)任意三位數(shù)學(xué)家都沒(méi)有共同會(huì)的語(yǔ)言，這表明每種語(yǔ)言至多有兩人會(huì)說(shuō).即這九位數(shù)學(xué)家為A、B、C、D、E、F、G、I.由于一位數(shù)學(xué)家最多會(huì)三種語(yǔ)言，而每種語(yǔ)言至多有兩人會(huì)說(shuō)，所以一位數(shù)學(xué)家至多能和另外三人通話，即至少與五人語(yǔ)言不通.不妨設(shè)A不能與B、C、D、E、F通話.同理，B也至多能和三人通話，因此在C、D、E、F中至少有一人與B語(yǔ)言不通，設(shè)為C.則A、B、C三人中任意兩人都沒(méi)有共同語(yǔ)言，與題意矛盾.這表明假設(shè)不成立，結(jié)論得證【例21】在1000X1000的方格表中任意選取n個(gè)方格染為紅色，都存在3個(gè)紅色方格，它們的中心構(gòu)成一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn).求n的最小值.【考點(diǎn)

31、】構(gòu)造與論證【解析】首先確定1998不行.反例如下:其次1999可能是可以的，因?yàn)槭紫葟男锌矗?999個(gè)紅點(diǎn)分布在1000行中，肯定有一些行含有2個(gè)或者以上的紅點(diǎn)，因?yàn)楹?或1個(gè)紅點(diǎn)的行最多999個(gè)，所以其他行含有紅點(diǎn)肯定大于等于1999-999=1000,如果是大于1000,那么根據(jù)抽屜原理，肯定有兩個(gè)這樣紅點(diǎn)在一列，那么就會(huì)出現(xiàn)紅色三角形；如果是等于1000而沒(méi)有這樣的2個(gè)紅點(diǎn)在一列，說(shuō)明有999行只含有1個(gè)紅點(diǎn)，而剩下的一行全是紅點(diǎn)，那也肯定已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形了，所以n的最小值為1999.【答案】n的最小值為1999【例22】甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班級(jí)之間舉行象棋比賽.各班同學(xué)都

32、按1,2,3,4,依次編號(hào).當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘.在甲、乙兩班比賽時(shí)，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘；在乙、丙班比賽時(shí)，有9臺(tái)是男、女生對(duì)壘.試說(shuō)明在甲、丙班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過(guò)24.并指出在什么情況下，正好是24?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】不妨設(shè)甲、乙比賽時(shí)，115號(hào)是男女對(duì)壘，乙、丙比賽時(shí).在115號(hào)中有a臺(tái)男女對(duì)壘，15號(hào)之后有9-a臺(tái)男女對(duì)壘（0QW9）甲、丙比賽時(shí)，前15號(hào)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)是15-a（如果1號(hào)乙與1號(hào)丙是男女對(duì)壘，那么1號(hào)甲與1號(hào)丙就不是男女對(duì)壘），15號(hào)之后，有9-a臺(tái)男女對(duì)壘.所以甲、丙比賽時(shí)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)

33、為15-a+9-a=24-2a6,2X3,1X7,1X8,24,19,3X3,2X5,2X6,3M,2X7,3X5,2刈，44,2X9,34，從這些長(zhǎng)方形中選出10個(gè)不同的長(zhǎng)方形，其面積和最小為：1M+1X2+13+14+22+1X5+16+2X3+1X7+18=46.而原長(zhǎng)方形的面積為5刈=45kw1600即連線不超過(guò)1600條.另一方面，設(shè)80個(gè)點(diǎn)分為兩組：A,A2，Aw；B,B2，B40第一組的每一點(diǎn)與第二組的每一點(diǎn)各用一條線相連，這樣的圖符合題目要求，共有40X40=1600條線【答案】（1）80（2）1600【例28】在一個(gè)6對(duì)的方格棋盤中，將若干個(gè)1X1的小方格染成紅色.如果隨意劃

34、掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一個(gè)是紅色的.那么最少要涂多少個(gè)方格？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：顯然，我們先在每行、每列均涂一個(gè)方格，使之成為紅色，如圖A所示，但是在圖B中，劃去3行3列后，剩下的方格沒(méi)有紅色的，于是再將兩個(gè)方格涂成紅色（依據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)將2個(gè)方格同時(shí)涂成紅色），如圖C所示，但是圖D的劃法，又使剩下的方格沒(méi)有紅色，于是再將兩個(gè)方格涂成紅色（還是由于對(duì)稱的緣故，將2個(gè)方格涂成紅色），得到圖E,圖E不管怎么劃去3行3歹U,都能使剩下的方格含有紅色的.這時(shí)共涂了10個(gè)方格.另一方面，如果只涂9個(gè)紅色方格，那么紅格最多的三行至少有6個(gè)紅格（否則第三多的行

35、只有1個(gè)紅格，紅格總數(shù)w5+3=8）去掉這三行至多還剩3個(gè)紅格，再去掉三列即可將這三個(gè)紅格也去掉.綜上所述，至少需要將10個(gè)方格涂成紅色.【答案】至少需要將10個(gè)方格涂成紅色【例29如圖，把正方體的6個(gè)表面剖分成9個(gè)相等的正方形.現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)3種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形所染的顏色不同.那么染成紅色的正方形的個(gè)數(shù)最多是多少個(gè)【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】如上面右圖所示，它們的對(duì)面也同樣的染色，這樣就有（5+4+2）2=22（個(gè)）方格染色，而且有公共邊的正方形顏色不同.所以，用紅色染成的正方形的個(gè)數(shù)最多是22個(gè).【答案】用紅色染成的正方形的個(gè)數(shù)最多是22個(gè)【

36、例30】證明：在6X6X6的正方體盒子中最多可放入52個(gè)1MW的小長(zhǎng)方體，這里每個(gè)小長(zhǎng)方體的面都要與盒子的側(cè)面平行.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】先將6X6X6的正方體盒子視為實(shí)體，那么6X64的正方體可分成216個(gè)小正方體，這216個(gè)小正方體可以組成27個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體.我們將這27個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體按黑白相間染色，如下圖所示.其中有14個(gè)黑色的，13個(gè)白色的，而一個(gè)白色的2X2X2的正方體可以對(duì)應(yīng)的放人4個(gè)每個(gè)面都與盒子側(cè)面平行的1MM的小長(zhǎng)方體，所以最多可以放入13X4=52個(gè)1X1X4的小長(zhǎng)方體.注：6X6X6的正方體的體積為216,1X1%的小長(zhǎng)方體

37、的體積為4,所以可放入的小正方體數(shù)目不超過(guò)216+5411M2的大長(zhǎng)方形，最少要【例31】用若干個(gè)1X6和1X7的小長(zhǎng)方形既不重疊，也不留孔隙地拼成一個(gè)用小長(zhǎng)方形多少個(gè)？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】我們先通過(guò)面積計(jì)算出最優(yōu)情況：11X2=132,設(shè)用14的小長(zhǎng)方形x個(gè)，用17的小長(zhǎng)方形y個(gè)，有6x+7x=132.X=17t解得：1(t為可取0的自然數(shù))，共需x+y=19+t個(gè)小長(zhǎng)萬(wàn)形.y=18-6t(1)當(dāng)t=0時(shí)，即x+y=1+18=19,表示其中的16的小長(zhǎng)方形只有1個(gè)，剩下的18個(gè)小長(zhǎng)方形都是1夕的.大長(zhǎng)方形中無(wú)論是1行還是1歹U,最多都只能存在1個(gè)1X7的小長(zhǎng)方形

38、，所以在大長(zhǎng)方形中最多只能無(wú)重疊的同時(shí)存在16個(gè)lH的小長(zhǎng)方形.現(xiàn)在卻存在18個(gè)17的小長(zhǎng)方形，顯然不滿足；TOC o 1-5 h z(2)當(dāng)t=1時(shí)，即x+y=8+12=20,有如下分割滿足，所以最少要用小長(zhǎng)方形20個(gè).【答案】20個(gè)【例32】試著把邊長(zhǎng)為工,1一工的這99個(gè)小正方形不重疊地放入1個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形內(nèi)。能做到2341005星【題型】解答就畫出一種放法，不能，請(qǐng)說(shuō)明理由?！究键c(diǎn)】構(gòu)造與論證【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽【解析】能.工+11X2=1,2321+1+1+14=1,1+1+工+1-8910151義8=1,8L+工+工+161718311X16=1,16工+323233

39、63321一X31=1,1+64+1X371.6566100641+1+1+1+1+工21.141T24816326464如下圖，將邊長(zhǎng)1,1的小正方形放入長(zhǎng)1、寬3的長(zhǎng)方形;將邊長(zhǎng)12的小正方形放入長(zhǎng)1、寬的長(zhǎng)方形；474將邊長(zhǎng)1L的小正方形放入長(zhǎng)1、寬1的長(zhǎng)方形；8158將邊長(zhǎng)工工的小正方形放入長(zhǎng)1、寬工的長(zhǎng)方形；163116將邊長(zhǎng)工工的小正方形放入入1、寬的長(zhǎng)方形；326332將邊長(zhǎng)工工的小正方形放入長(zhǎng)1、寬工的長(zhǎng)方形。64100641廠一161【答案】能【例33】有10個(gè)整數(shù)克的祛碼（允許祛碼重量相同）,將其中一個(gè)或幾個(gè)放在天平的右邊，待稱的物品放在天平的左邊，能稱出1,2,3,，20

40、0的所有整數(shù)克的物品來(lái)；那么，這10個(gè)祛碼中第二重的祛碼最少是克.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽【解析】這10個(gè)整數(shù)克的祛碼共重應(yīng)該是200,這樣，才能在最重的定下來(lái)后，第二重的盡量少.作為一般結(jié)論，如果要連續(xù)稱出一些重量，只在天邊的一邊放祛碼，另一邊放重物，則祛碼最少的情況應(yīng)該結(jié)合二進(jìn)制，即1,2,4,8,16,32,64,128.這種情況下，只需要7個(gè)祛碼，就能至多稱到128X2-1=255克重.而本題共有10個(gè)祛碼，只需要調(diào)整一下這里的祛碼：第一種方案：為了實(shí)現(xiàn)第二重最少，則可以讓第一重盡量大，而且不止一個(gè)，這里的思路是：如果后面6個(gè)數(shù)中，有5個(gè)

41、相同的最大，把前面所有5個(gè)數(shù)的和與之相等，200=6X33+2,即后面有5個(gè)33,前面則有1,2,4,8,18這種方案中，無(wú)法湊出16,17這兩種重量.于是換一種思路，讓最大數(shù)相同的只有4個(gè)，前面6個(gè)祛碼看作一個(gè).則最重的為40,這樣，可以構(gòu)造出1,2,4,8,12,13,40,40,40,40.不過(guò)，對(duì)于這種解法，與官方的推薦答案不符，原因在于，最重的有4個(gè)，次重的被看作第五名”.在這里，第五名“第二重”之間是有一定的歧義的.所以，我們建議大家做這道題應(yīng)用高級(jí)技巧歧義解決”.即說(shuō)清楚：TOC o 1-5 h z如果只看重量，第一重（可以并列）與第二重，則第二重最少可以是13克.如果根據(jù)名次”

42、，第二名（可以并列）為第二重，則第二重最少可以是18克.這種情況的算理是：首先考慮1、2、4、8這四種祛碼必須有，另外，對(duì)于第二重，至少要是16.這里除了第一重之外，16最多可以有5個(gè)祛碼，即：1、2、4、8、16、16、16、16、16.要稱200,第一重的要達(dá)到200（1+2+4+8+16+16+16+16+16）=105則96-104的重量無(wú)法稱出來(lái).所以，把第二重的調(diào)整為17,即；1、2、4、8、17、17、17、17、17、100但16無(wú)法稱出來(lái)，所以要調(diào)整出16,必會(huì)現(xiàn)18,（如果調(diào)整給100,即100變?yōu)?01,則100無(wú)法稱出來(lái)）.所以，最佳方案”是1、2、4、8、16、17、

43、17、17、18、100.【答案】18【例34】小明和8個(gè)好朋友去李老師家玩.李老師給每人發(fā)了一頂帽子，并在每個(gè)人的帽子上寫了一個(gè)兩位數(shù)，這9個(gè)兩位數(shù)互不相同，且每個(gè)小朋友只能看見(jiàn)別人帽子上的數(shù).老師在紙上又寫了一個(gè)數(shù)A,問(wèn)這9位同學(xué)：你知不知道自己帽子上的數(shù)能否被A整除？知道的請(qǐng)舉手.”結(jié)果有4人舉手.老師又問(wèn)：現(xiàn)在你知不知道自己帽子上的數(shù)能否被24整除？知道的請(qǐng)舉手.”結(jié)果有6人舉手.已知小明兩次都舉手了，并且這9個(gè)小朋友都足夠聰明且從不說(shuō)謊，那么小明看到的別人帽子上的8個(gè)兩位數(shù)的總和是.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽【解析】一個(gè)人不知道自己帽子上的數(shù)是多少，卻能知道這個(gè)數(shù)能否被A整除，只有一個(gè)可能，就是A的倍數(shù)中的兩位數(shù)都出現(xiàn)在其他人的帽子上，這樣他可以