高中數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì)

1、.江蘇教育學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組教研資料PAGE ：.；PAGE 8高中數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中可選內(nèi)容的分析和思索第一課時(shí) 主持人張思明北京大學(xué)附屬中學(xué) 特級(jí)教師 評(píng)論嘉賓王尚志首都師范大學(xué) 教授 博導(dǎo) 高中課標(biāo)研制組擔(dān)任人 評(píng)論嘉賓張怡慈首都師范大學(xué) 教授 博導(dǎo) 高中課標(biāo)研制組擔(dān)任人 特邀嘉賓檀晉軒北京第十九中學(xué) 高級(jí)教師 特邀嘉賓邵文武北京第八中學(xué) 碩士主持人：各位教師大家好！歡迎大家參與高中數(shù)學(xué)新課程遠(yuǎn)程研修。今天我們非常榮幸的請(qǐng)到了兩位嘉賓，我身邊的這一位是首都師范大學(xué)教授張飴慈教授，那邊那位是首都師范大學(xué)的教授、博士生導(dǎo)師王尚志。他們兩位都是參與了我們高中數(shù)學(xué)新課程規(guī)范的研

2、制以及參與了高中新課程規(guī)范教材的編寫，都是擔(dān)任人之一。那么我想他們兩個(gè)的參與，為我們研討提供了非常好的實(shí)際和實(shí)際的保證。我們這一講的主題是對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程可選內(nèi)容的分析和思索。在這一講里頭我們要涉及高中數(shù)學(xué)新課程添加了很多項(xiàng)選擇學(xué)的內(nèi)容，如何選擇這些內(nèi)容？選擇了以后，我們要做哪些分析？怎樣樣處置在選擇中的一些問(wèn)題？這里頭我們也會(huì)給教師們提供一些案例，也要加上一些分析，特別是我們這一部分內(nèi)容，對(duì)很多教師都有特別新或者比較陌生的覺得，怎樣來(lái)處置這些矛盾？怎樣來(lái)提高本人對(duì)這些選擇性內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和識(shí)別？我想這是一個(gè)很重要的問(wèn)題！我們來(lái)看這樣一個(gè)采訪，看看教師們是怎樣看的：各位教師好！在我們一同座談的過(guò)程

3、中，我們也感遭到了高中新課程添加了很多新的內(nèi)容，特別是選三選四有很多新的模塊，作為一個(gè)教師，在他本人的學(xué)習(xí)生涯里頭，不能夠或者說(shuō)很難把這些內(nèi)容都學(xué)過(guò)。但是我們面臨進(jìn)入新課程以后，每個(gè)教師都有這種選擇，要選擇一部分內(nèi)容去教，也要先去學(xué)。我想問(wèn)大家，假設(shè)給了他這個(gè)時(shí)機(jī)他希望選擇哪些內(nèi)容？畢：我喜歡選數(shù)學(xué)史，我覺得這個(gè)數(shù)學(xué)史很容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他明白數(shù)學(xué)是怎樣來(lái)的，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，每一個(gè)過(guò)程都是怎樣樣得到的，也會(huì)培育他一種科學(xué)的精神。李：假設(shè)我去選，我能夠更會(huì)選擇一些與學(xué)生生活更為相關(guān)，或者是更能表達(dá)數(shù)學(xué)價(jià)值的一些內(nèi)容。比如說(shuō)信息平安與密碼、象布爾代數(shù)與開關(guān)電路，這些內(nèi)容更容易去激發(fā)學(xué)生學(xué)

4、習(xí)數(shù)學(xué)的這種興趣，也更有利于學(xué)生去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在生活當(dāng)中運(yùn)用價(jià)值和指點(diǎn)意義。郗：閱歷過(guò)多年的教學(xué)以后，大學(xué)學(xué)的內(nèi)容遺忘的也比較多。因此我在看這些個(gè)選修內(nèi)容的時(shí)候，我覺得對(duì)我來(lái)說(shuō)能夠都是比較新的、陌生的，但是我覺著這一輪的課程改革，對(duì)每一個(gè)年輕教師來(lái)說(shuō)，都存在著一個(gè)機(jī)遇和挑戰(zhàn)的問(wèn)題。這個(gè)時(shí)機(jī)我想也是促進(jìn)教師專業(yè)化開展的一個(gè)途徑，所以雖然他們都是新的，但是我從中還是選擇了一個(gè)。但是在學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)一開場(chǎng)覺得難，但是后來(lái)覺得也不是特別難，只需本人可以去研討，在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中不斷地去探求，實(shí)踐上還是可行的。劉：我是比較年輕的教師，我們?cè)谀贻p教師隊(duì)伍當(dāng)中，有一些是高學(xué)歷的教師，以前很多教師以為這樣高

5、學(xué)歷的教師到中學(xué)來(lái)教書，是不是就沒(méi)有用武之地，我覺得這個(gè)新課程的改革恰好給了我們一個(gè)很好的一個(gè)展現(xiàn)的舞臺(tái)。在這里我們經(jīng)過(guò)研討生、甚至是博士生這個(gè)階段所學(xué)的內(nèi)容，在中學(xué)當(dāng)中有一些簡(jiǎn)單的引見。這個(gè)時(shí)候就可以利用我們專業(yè)上的一些優(yōu)勢(shì)，把這樣的課程開設(shè)起來(lái)，然后讓有這種才干的學(xué)生對(duì)我們數(shù)學(xué)知識(shí)更高層次上的內(nèi)容有所了解，這可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。比如說(shuō)歐拉公式與閉曲線分類，這些能夠很多教師在大學(xué)階段是沒(méi)有學(xué)到的，而我們?cè)谘杏懮A段學(xué)過(guò)這部分內(nèi)容，所以開設(shè)起來(lái)能夠更容易一些，這個(gè)時(shí)候就充分發(fā)揚(yáng)了年輕教師的一些優(yōu)勢(shì)。馬：當(dāng)一看到選三選四這16個(gè)專題的時(shí)候，很容易望文生畏，比如說(shuō)信息平安與密碼、開關(guān)電子與布

6、爾代數(shù)，大家會(huì)提出這樣的質(zhì)疑，說(shuō)這些課程有的在大學(xué)的數(shù)學(xué)系都不能開出來(lái)，我們作為中學(xué)教師怎樣能夠講給學(xué)生聽呢？在這里我想說(shuō)一下這16個(gè)專題，并不是簡(jiǎn)單地把大學(xué)的內(nèi)容的下放，而是利用學(xué)生初三的那個(gè)認(rèn)知的根底上來(lái)編寫的這些相關(guān)的教材，假設(shè)我要去中學(xué)講這個(gè)選修課的話，我想根據(jù)如今我們經(jīng)濟(jì)生活的這個(gè)情勢(shì)，大家比較喜歡投資，比較喜歡炒股，所以我想給學(xué)生開設(shè)風(fēng)險(xiǎn)與決策這門課，能夠?qū)W生會(huì)比較感興趣。這門課學(xué)生有能夠他學(xué)到的知識(shí)，并不能直接運(yùn)用于我們?nèi)缃竦慕?jīng)濟(jì)生活，但是他可以經(jīng)過(guò)學(xué)這門課使學(xué)消費(fèi)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣了，以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以說(shuō)就會(huì)省很多的勁，很多學(xué)生也就因此開竅了。 陳：我覺得對(duì)于我

7、來(lái)說(shuō)，作為一個(gè)年輕教師，一切的選修課都應(yīng)該要開，有些課雖然說(shuō)原來(lái)大學(xué)學(xué)得也不是很深甚至沒(méi)學(xué)過(guò)，但是我們有前面的大學(xué)的數(shù)學(xué)做根底，可以進(jìn)一步地學(xué)習(xí)，然后去處理這些問(wèn)題。對(duì)于我個(gè)人的喜好來(lái)說(shuō)，我偏向于開初等數(shù)論初步和三等分角及數(shù)域的擴(kuò)展、初等數(shù)論。主要是原來(lái)我給學(xué)生講數(shù)學(xué)計(jì)算的時(shí)候，涉及過(guò)這里面的一些東西，覺得這里面它雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)不是特別多，但是它有很多想法，可以浸透一些數(shù)學(xué)的智慧在里邊，對(duì)于三等分角及數(shù)域擴(kuò)展，由于這個(gè)原來(lái)我上大學(xué)的時(shí)候這塊也挺感興趣，而且覺得這里面有很多可以領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容的一些東西，所以我喜歡開這兩門課。主持人：大家都看到了，在這個(gè)采訪中，教師們都有很多的想法，特別是表現(xiàn)出

8、了一種青年教師的一種朝氣。很多教師都說(shuō)我本人一定要努力，盡快順應(yīng)高中新課程，在這個(gè)過(guò)程中跟課程一同生長(zhǎng)，我覺得這種心態(tài)和這種要求非常值得我們贊賞。我們也可以請(qǐng)嘉賓幫我們分析一下，在新課程中添加了這么多的內(nèi)容，是出于怎樣的思索？王尚志：我先來(lái)說(shuō)一下，就是首先談一下選擇性的問(wèn)題。這次高中課程改革的一個(gè)最大的一個(gè)突破，就是在選擇性上，這個(gè)選擇性包括這么幾個(gè)層面，一個(gè)就是領(lǐng)域的劃分，不同領(lǐng)域的選擇；另一個(gè)就是某一個(gè)學(xué)科里都提供了一個(gè)比較廣泛的一個(gè)選擇空間，那么這個(gè)選擇性的作用，我想大家都比較清楚，隨著時(shí)代的開展，使我們的社會(huì)對(duì)于人選擇才干提出了越來(lái)越高的要求，過(guò)去都是包分配的，如今是要本人找任務(wù)的。因

9、此要選擇適宜于本人的任務(wù)，可以發(fā)揚(yáng)本人優(yōu)勢(shì)的任務(wù)，那么這樣的選擇才干，不是一蹴而就的，需求我們從高中階段就開場(chǎng)培育和樹立選擇的才干和一種選擇的認(rèn)識(shí)，或者我們更進(jìn)一步說(shuō)叫做把握人生的才干。所以我想這一件事情，是一個(gè)非常重要的一個(gè)突破。作為數(shù)學(xué)課程規(guī)范，在選擇性上也做了一些討論，關(guān)于選修一和選修二系列的內(nèi)容，我們?cè)?jīng)做了引見，如今就著重談一下選修三、選修四系列的設(shè)定的一個(gè)根本情況。當(dāng)初我們都參與了課程規(guī)范的研制。我想這個(gè)選擇性內(nèi)容的選擇，閱歷了這么一個(gè)過(guò)程，首先大家都知道我們國(guó)家的著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生、段學(xué)富先生以及如今著名的數(shù)學(xué)家姜伯駒先生等等，他們都為中學(xué)生在60年代的時(shí)候?qū)懗隽艘慌浅：玫?/p>

10、小冊(cè)子，比如說(shuō)從祖沖之的圓周率談起、對(duì)稱與群、楊輝三角、一筆劃問(wèn)題等等。那么這些實(shí)踐上影響了一代人的生長(zhǎng)，我個(gè)人也是在這樣的，讀這樣一些書的過(guò)程中生長(zhǎng)起來(lái)的。我們前后屆都是這樣一個(gè)過(guò)程，我們議論起這些書對(duì)于我們影響的時(shí)候，都感遭到這個(gè)書對(duì)我們開闊眼界，提高素養(yǎng)起了很重要的作用。另外一個(gè)方面，我們當(dāng)時(shí)自創(chuàng)了俄國(guó)和歐洲一些國(guó)家為他們的學(xué)生開設(shè)的選課，應(yīng)該說(shuō)他們開出來(lái)的選課是非常豐富的。我們都知道俄國(guó)有一個(gè)特殊的一些學(xué)校叫做物理學(xué)校。他們就為學(xué)生開設(shè)出了很多和近代數(shù)學(xué)、近代物理學(xué)有關(guān)的許許多多的選擇課程，以此來(lái)開辟學(xué)生的眼界，促進(jìn)學(xué)生的開展。那么在歐洲，象在芬蘭和其他一些歐洲的大國(guó)也都開出了一些相應(yīng)

11、的選擇課程，一切這些都是我們構(gòu)建選擇課程的根底。我們廣泛的征求我們國(guó)家數(shù)學(xué)界的數(shù)學(xué)家、運(yùn)用數(shù)學(xué)家、還有大學(xué)數(shù)學(xué)教師的意見。張怡慈：我們?nèi)缃襁@一次跟60年代華先生那一代他們還不太一樣，就是當(dāng)時(shí)他們是主要針對(duì)一些對(duì)數(shù)學(xué)特別有興趣的人開設(shè)的，而我們需求對(duì)寬廣的高中生開設(shè)的，比如說(shuō)包括運(yùn)用數(shù)學(xué)方面的和更廣一些，甚至數(shù)學(xué)史方面這些內(nèi)容。我們開了很大的一個(gè)單子，征求意見，然后再讓這些數(shù)學(xué)家們來(lái)發(fā)表意見，對(duì)每一個(gè)贊同開還是不贊同開，為什么贊同開，做了這樣一個(gè)廣泛的調(diào)查，最后我們初步確定了是如今這樣的一些。然后我們就在中學(xué)不同層次的學(xué)校做了實(shí)驗(yàn)。王尚志：對(duì)，我們開設(shè)了這些課程，向這些學(xué)生征求了一些意見，也有一

12、些中學(xué)教師和我們一同去開了這個(gè)課程，并且做了調(diào)整，最后又在我們規(guī)范內(nèi)部，又報(bào)告了這些內(nèi)容，然后經(jīng)過(guò)了一個(gè)反復(fù)的討論，最后又經(jīng)過(guò)審查委員會(huì)的審查，他們也提出了他們的修正意見。所以大體上閱歷了這么一個(gè)過(guò)程。從如今來(lái)看，能夠我們最近又聽到了新的意見，那么教育部希望采取一個(gè)分布推進(jìn)的一個(gè)戰(zhàn)略來(lái)逐漸的拓展選擇的空間，比如說(shuō)如今希望在中學(xué)大約有十個(gè)選擇課程，包括幾何論證選講、不等式選講、坐標(biāo)系參數(shù)方程、優(yōu)選法與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、初等數(shù)論、矩陣與變換、風(fēng)險(xiǎn)與決策、數(shù)學(xué)史選講、對(duì)稱與群、球面幾何大約這十個(gè)。對(duì)于其他的想經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，再逐漸的拓展。如今也有這么一個(gè)想法，也能夠會(huì)逐漸的再拓展個(gè)別的也有能夠做一些互換。我想

13、這個(gè)是比較客觀的，也是很對(duì)的一個(gè)做法。而且對(duì)于一些學(xué)校來(lái)說(shuō)，也不要求這些學(xué)校一下子把一切這些課程都開齊，也是有一個(gè)逐漸的過(guò)程；對(duì)于一個(gè)教師來(lái)說(shuō)，也不要求他一下子把一切的課都開齊，也是有一個(gè)逐漸的過(guò)程。就是我想無(wú)論是教研室，無(wú)論是學(xué)校，都可以訂立一個(gè)方案逐漸的開展選修的課程。目前在實(shí)驗(yàn)區(qū)陸續(xù)的在擴(kuò)展選修的范圍，比如說(shuō)廣東他們對(duì)于選修課程采取了文科是一選一，文科是二選一；寧夏回族自治區(qū)文科是六選一等等。那么北京又提出了新的舉措，希望在示范學(xué)校可以開出選修課程的60%，并且要求示范學(xué)校一定要帶這個(gè)頭，比如說(shuō)像二中、四中、人大附中、北大附中，都在訂立本人學(xué)校開設(shè)選修課程的方案，并且分別要落實(shí)到人，我想

14、有一批中青年教師開設(shè)選修課程的積極性非常高，拿四中來(lái)說(shuō)，這曾經(jīng)成為他們學(xué)校開展的一個(gè)傳統(tǒng)，我想其他的學(xué)校也都設(shè)立了不同性質(zhì)的校本課程。我想他們會(huì)把選修課程和校本的開發(fā)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，不斷地拓展開設(shè)選修課的空間，另外一點(diǎn)就是選修課程的開設(shè)，對(duì)于教師的專業(yè)生長(zhǎng)確實(shí)也是一個(gè)非常好的載體，我覺得開和不開還是不一樣的。主持人：我們?nèi)缃竦暮芏嘟處熞彩沁@樣的，比如我們這個(gè)課程組的教師，很多教師都是經(jīng)過(guò)開選修課以后，就構(gòu)本錢人的特征品牌，像我們一會(huì)兒來(lái)做教材分析的檀晉軒教師，他不僅開了而且參與了教材的編寫。我們還有很多青年教師，在學(xué)校里頭剛分配來(lái)一年、兩年，但是他對(duì)新的這些內(nèi)容非常熟習(xí)，把這個(gè)選修課作為本人在

15、學(xué)校的一個(gè)品牌創(chuàng)建起來(lái)，同時(shí)也經(jīng)過(guò)這個(gè)研修構(gòu)成了本人的一些教學(xué)風(fēng)格，比如說(shuō)像這個(gè)矩陣變換，講數(shù)學(xué)史的教師，他文理交融，能很好的發(fā)揚(yáng)本人的專長(zhǎng)，發(fā)揚(yáng)本人個(gè)性的一些專長(zhǎng)領(lǐng)域。王尚志：所以在開設(shè)選修課的過(guò)程中，我們還面臨這樣一個(gè)挑戰(zhàn)，就是不考的開不開，我想以數(shù)學(xué)史選講為例，那么很多教師確實(shí)有這樣的妨礙，以為這個(gè)高考不考，我們還需不需求開設(shè)。但是也有一部分教師，做了非常好的嘗試，他們經(jīng)過(guò)試一試，情愿開設(shè)這門課程。如今很多學(xué)校都開出數(shù)學(xué)史選講這門課程，我覺得這是一個(gè)很大的開展，我聽李文林教師說(shuō)最近他們參與數(shù)學(xué)史教學(xué)研討會(huì)的人數(shù)忽然的添加了非常多。很多中學(xué)教師都參與了他們的會(huì)議，并且引見本人在開設(shè)數(shù)學(xué)史選

16、講的一些閱歷和領(lǐng)會(huì)。我們?cè)谙乱恢v希望約請(qǐng)李文林教師來(lái)參與我們的活動(dòng)，我想開設(shè)數(shù)學(xué)史選講雖然不會(huì)考，但它會(huì)起到非常好的作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本質(zhì)。張怡慈：有一些選修課，當(dāng)然功利的看不是高考的問(wèn)題，但是我想這些課的開設(shè)，對(duì)學(xué)生的才干培育還有很大的益處。比如像對(duì)稱與群，福州的八中它就還沒(méi)有進(jìn)入這個(gè)課程它曾經(jīng)就開了，北京四中也曾經(jīng)開了。他們教師和學(xué)生反映，都是非常非常好的。從培育一個(gè)人來(lái)說(shuō)，我想這一次選擇性的設(shè)立，無(wú)論對(duì)學(xué)生還是對(duì)教師都是有非常好的一個(gè)作用。當(dāng)然詳細(xì)的操作的話，未來(lái)可以有修訂修正。王尚志：我覺得這是非常好的一個(gè)方向。比如說(shuō)我舉一個(gè)例子，首師大附中，

17、雖然還沒(méi)有進(jìn)入這個(gè)新課程，但是他們一個(gè)剛畢業(yè)的教師就開設(shè)了矩陣與變換，效果非常好。開設(shè)課教師跟我說(shuō)，她說(shuō)我發(fā)現(xiàn)有些過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣的同窗，經(jīng)過(guò)上這樣的一個(gè)選修課，變得對(duì)數(shù)學(xué)有興趣了，學(xué)習(xí)成果也發(fā)生了一定的變化。而這個(gè)教師恰恰是畢業(yè)時(shí)間不長(zhǎng)的一個(gè)教師，我們還會(huì)約請(qǐng)她來(lái)參與我們的討論。所以我想開設(shè)選修課的過(guò)程也可以看作是一個(gè)教師生長(zhǎng)的過(guò)程。主持人：兩位教師對(duì)開設(shè)選修課的必要性和能夠性、可行性都做了分析。我想很多教師都關(guān)懷我們實(shí)驗(yàn)區(qū)對(duì)于選修課的評(píng)價(jià)，怎樣考？用什么方案去考？這方面有哪些舉措？我們想請(qǐng)課程中心的馬芳華教師給我們大家做一個(gè)引見。馬芳華：請(qǐng)見附件：41高中新課程實(shí)驗(yàn)省市數(shù)學(xué)高考方案馬芳華

18、.ppt主持人：剛剛馬芳華教師把實(shí)驗(yàn)區(qū)里的一些典型省份的高考的對(duì)于選修課的這種考法，做了一個(gè)初步的引見。當(dāng)然我們想象隨著實(shí)驗(yàn)區(qū)的擴(kuò)展，更多的省市會(huì)拿出更積極的方案，我們也從這個(gè)方案中看到這種態(tài)勢(shì)，您說(shuō)呢？王尚志：是的！我想隨著時(shí)間的推進(jìn)，選擇的空間會(huì)逐漸的擴(kuò)展。我們也衷心的希望高考的命題者可以和我們一線的教師一同來(lái)研討，如何在高考中出好選修課專題的考試題。這樣可以更加積極的推進(jìn)選修課的開設(shè)。我想這是一個(gè)非常重要的，也是我們積極等待的一件事情。主持人：我們很多教師也都以為選修課本人上大學(xué)的時(shí)候沒(méi)有學(xué)過(guò)，所以看著這個(gè)“選“就覺得和難“聯(lián)絡(luò)在一同，其實(shí)未必是這樣。我們下面將經(jīng)過(guò)一些詳細(xì)的案例，也來(lái)解

19、剖兩個(gè)詳細(xì)的麻雀。我們就選了兩個(gè)選修課的重點(diǎn)內(nèi)容，就是選的頻率比較高的內(nèi)容，一個(gè)是矩陣和變換，還有一個(gè)是數(shù)學(xué)史。我們想聽一聽一線的教師在參與這些教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)際的時(shí)候，他們對(duì)這兩個(gè)選修內(nèi)容的分析和他們的領(lǐng)會(huì)。下面請(qǐng)北京的檀晉軒和邵文武兩位教師，來(lái)做的矩陣單元的整體教學(xué)分析。檀：對(duì)于矩陣與變換，邵教師幫我們來(lái)分析一下矩陣與變換在高等數(shù)學(xué)中具有怎樣的位置和作用。邵：應(yīng)該說(shuō)矩陣的學(xué)習(xí)在代數(shù)學(xué)習(xí)課程中占有舉足輕重的位置。由于如今從大學(xué)的課程安排來(lái)看，無(wú)論是工科學(xué)生還是文科學(xué)生，都要學(xué)習(xí)線性代數(shù)的知識(shí)。特別在如今一些高等院校中，一些文科院系也開展了高等數(shù)學(xué)，那么線性代數(shù)也是其中一個(gè)嚴(yán)重內(nèi)容之一。因此實(shí)

20、踐上一切學(xué)生假設(shè)升入大學(xué)以后很多都要接觸到線性代數(shù)。那么矩陣就是其中一個(gè)研討內(nèi)容之一。所以我們?nèi)缃癜堰@個(gè)課程想引入高中課程，另外一個(gè)作為籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)對(duì)象之一，矩陣實(shí)踐上是很籠統(tǒng)的，但把矩陣研討清楚之后，學(xué)生假設(shè)繼續(xù)想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)里邊一些知識(shí)，那矩陣又將作為一個(gè)詳細(xì)的實(shí)例出現(xiàn)，所以說(shuō)它具有廣泛的運(yùn)用性，還有一個(gè)根底性作用，是其他學(xué)科一些根底知識(shí)不能替代的。檀：正由于矩陣在高等數(shù)學(xué)中具有這樣的位置和作用，因此新課程規(guī)范中，就把矩陣作為一個(gè)內(nèi)容引入到高中的課程中來(lái)，那么一方面是希望學(xué)生可以在中學(xué)階段就極早的接觸和了解一部分高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和內(nèi)容，是經(jīng)過(guò)課程改革使學(xué)生可以開辟數(shù)學(xué)視野。邵：既然這樣看的話，檀教

21、師他怎樣以為假設(shè)在高中開設(shè)這門課程和在大學(xué)開設(shè)這門課有哪些不同，應(yīng)該怎樣去處置。檀：我想是不一樣的！在大學(xué)中矩陣主要是以籠統(tǒng)的代數(shù)的角度，那么把矩陣作為一個(gè)代數(shù)的運(yùn)算對(duì)象從籠統(tǒng)普通的矩陣出發(fā)來(lái)研討矩陣的運(yùn)算，以及它相關(guān)的一些運(yùn)算性質(zhì)。而在高中階段，我們只限于二階方陣。對(duì)詳細(xì)的二階方陣研討，主要是研討它與平面向量的乘法以及二階方陣本人的乘法。那么又由于二階方陣與平面向量乘法具有非常明顯的幾何意義，因此我們?cè)谥袑W(xué)階段應(yīng)該突出它這幾何意義，并且從幾何意義的角度來(lái)講。希望學(xué)生可以從幾何上更加直觀的去感受矩陣的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)。邵：說(shuō)到這里我們想對(duì)比一下，矩陣在高中有一個(gè)認(rèn)識(shí)，在大學(xué)同樣有另外一個(gè)認(rèn)識(shí)。但如

22、今這門課程既然在高中開設(shè)的話，那我們要認(rèn)識(shí)清楚究竟怎樣來(lái)開設(shè)？實(shí)踐上這門課程設(shè)置主要目的之一還是想講矩陣，是想講矩陣的相關(guān)運(yùn)算和性質(zhì)，但是由于其本身非常籠統(tǒng)，作為高中來(lái)講它無(wú)論在知識(shí)，還是接受才干等發(fā)面都有一些欠缺。這樣課標(biāo)要求我們從線性變換角度來(lái)講矩陣，所以說(shuō)實(shí)踐上經(jīng)過(guò)二階方陣的幾何背景來(lái)了解矩陣，因此自始至終我們假設(shè)要講矩陣的話，都應(yīng)該把矩陣看成一種運(yùn)算，但是把幾何變換看成一種背景。從這個(gè)角度去了解，這樣說(shuō)的話就有一個(gè)問(wèn)題，我們?cè)谥v授這門課的時(shí)候，不能把它以為是一門幾何課程。這個(gè)和我們?nèi)缃窳硗庖粋€(gè)分支是不同的，比如說(shuō)解析幾何，解析幾何是用代數(shù)的方法來(lái)研討幾何。矩陣與變換，我們是想研討代數(shù)的

23、知識(shí)，而是經(jīng)過(guò)幾何背景來(lái)引見和學(xué)習(xí)。檀：邵教師主要提出來(lái)的是矩陣和向量在教學(xué)中的一個(gè)定位，和它在整體的教學(xué)中的一個(gè)突出的主線。實(shí)踐上作為大學(xué)的一個(gè)非常籠統(tǒng)的內(nèi)容，它引入到高中作為一個(gè)專題來(lái)進(jìn)展教學(xué)的話，對(duì)于高中的學(xué)生是有一定的困難。這個(gè)困難我想能夠于幾個(gè)方面：一個(gè)方面首先作為一種非常新的運(yùn)算對(duì)象，它的運(yùn)算定義的方式以及它的很多的性質(zhì)，是學(xué)生初次遇到。比如說(shuō)對(duì)于乘法的不交換性，學(xué)生從未見到過(guò)，因此學(xué)生在接受這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，他首先有非常大的困惑；另外對(duì)于這一門課程它本身，對(duì)于在變換中的不變性。比如說(shuō)在矩陣的特征向量和特征值這個(gè)問(wèn)題上，從概念的了解以及它相關(guān)的運(yùn)用被學(xué)生掌握起來(lái)都是非常困難的。那么

24、邵教師對(duì)這個(gè)方面有什么樣的一些想象？邵：要想就是處理這個(gè)問(wèn)題的話，由于矩陣本身具有一些本人的難點(diǎn)，所以我們講的時(shí)候，首先一個(gè)進(jìn)展處置的方法是要分散難點(diǎn)。比如說(shuō)應(yīng)該在多種場(chǎng)所對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)展浸透，或者說(shuō)先給出一些鋪墊。比如說(shuō)在最開場(chǎng)研討幾何變換的時(shí)候，就可以給出特殊向量中一些簡(jiǎn)單的例子，讓學(xué)生從感性上加以認(rèn)識(shí)，但是并不給出詳細(xì)的定義，也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)詳細(xì)在研討反射變換、伸縮變換這樣一些詳細(xì)的矩陣變換過(guò)程中，可以提出一些個(gè)相關(guān)的問(wèn)題，使學(xué)生去初步經(jīng)過(guò)運(yùn)算去感受在這運(yùn)算下的一些不變性質(zhì)，或者說(shuō)把他們作為其中一些特殊的例題或者例子出現(xiàn)，讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)。這樣在他真正講這個(gè)定義的時(shí)候，學(xué)生曾經(jīng)有了一個(gè)認(rèn)識(shí)，然

25、后經(jīng)過(guò)一些大量的感性認(rèn)識(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展籠統(tǒng)概括，這樣講起來(lái)能夠會(huì)更好一些。還有一個(gè)比如說(shuō)我們最后講特征向量究竟怎樣運(yùn)用，我可以先講運(yùn)用，說(shuō)這個(gè)向量假設(shè)講完以后它具有這樣的性質(zhì)。在運(yùn)算過(guò)程中我可以簡(jiǎn)化很多運(yùn)算，讓學(xué)生先從它的詳細(xì)的實(shí)踐意義來(lái)了解，了解以后再反過(guò)來(lái)講它其他東西，比如說(shuō)怎樣樣求特征向量，這樣能夠會(huì)更清楚一點(diǎn)。便于學(xué)生把這個(gè)難點(diǎn)抑制。檀：當(dāng)然另外我們還可以對(duì)大量的復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，借助一些相關(guān)的運(yùn)算工具，比如一些手持的計(jì)算工具，以及計(jì)算機(jī)中的Excel等等一些程序，我們都可以完成一些復(fù)雜的運(yùn)算。這樣的話在學(xué)生初步掌握了運(yùn)算的規(guī)律根底上，他可以經(jīng)過(guò)這種結(jié)果去察看和深化研討運(yùn)算中所蘊(yùn)涵的一

26、些性質(zhì)和運(yùn)算的規(guī)律。邵：由于信息技術(shù)如今，也是課標(biāo)的一個(gè)要求。我們可以把這部分加進(jìn)去更加表達(dá)出幾何直觀性，來(lái)了解矩陣相關(guān)知識(shí)。檀：本質(zhì)上對(duì)于這個(gè)專題的內(nèi)容而言，并沒(méi)有太大的難度，初中畢業(yè)的學(xué)生就可以可以開場(chǎng)掌握。所以高一開設(shè)是完全可以的，但是假設(shè)要是在高一開設(shè)的話，勢(shì)必要補(bǔ)充適當(dāng)?shù)南蛄?、平面向量的相關(guān)知識(shí)，因此要拿出一定的課時(shí)在之前對(duì)學(xué)生，在平面向量中給予適當(dāng)?shù)匿亯|。邵：假設(shè)這個(gè)課要是在高二開的話，能夠效果會(huì)更好一點(diǎn)，這是我們個(gè)人以為，當(dāng)然不是說(shuō)非得強(qiáng)求。由于這個(gè)時(shí)候?qū)W生所需根本知識(shí)曾經(jīng)具備了。比如說(shuō)向量我曾經(jīng)講過(guò)了，另外學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的高中學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)才干要比高一學(xué)生強(qiáng)得多，這樣接受起來(lái)能夠更容

27、易一些。同時(shí)假設(shè)在高二開設(shè)這門課程的話，它實(shí)踐還可以協(xié)助 學(xué)生了解另外一些概念，比如說(shuō)我們?cè)谶@里要求，把矩陣看成一種映射，是平面點(diǎn)到平面的話，這樣可以加強(qiáng)對(duì)什么叫映射。給出一個(gè)詳細(xì)實(shí)例，還比如說(shuō)在這里邊實(shí)踐有一個(gè)逆矩陣，就可以和函數(shù)里邊的反函數(shù)相對(duì)，反函數(shù)雖說(shuō)課標(biāo)里曾經(jīng)降低要求，但他給出詳細(xì)實(shí)例，了解起來(lái)能夠更容易一些。當(dāng)然還有一些其他拓展，這樣的話能夠就是會(huì)更好一些，效果是不一樣的。矩陣作為一個(gè)新的課程內(nèi)容，是在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程，或者說(shuō)要求是從來(lái)沒(méi)有的。作為一種現(xiàn)代社會(huì)的研討對(duì)象，是第一次把它下放高中，而這個(gè)實(shí)踐上并不是第一次，那我們?nèi)缃裨?jīng)把微積分的一些知識(shí)，還有概率統(tǒng)計(jì)的一些知識(shí)下放到高中

28、了。同樣那門課從如今講課效果來(lái)看的話，曾經(jīng)獲得了一定的成果，或者一定提高。而我置信假設(shè)教師可以把這部分處置比較好的話，矩陣這門知識(shí)同樣可以講的好，而如今根據(jù)我們了解的信息的話，在一些省市實(shí)踐上這門課開的情況確實(shí)不錯(cuò)。檀：北京也有很多的學(xué)校早曾經(jīng)在新課程進(jìn)入之前，曾經(jīng)嘗試著開設(shè)了這門課程。邵：還有一個(gè)問(wèn)題就是剛剛跟一個(gè)教師了解的話，就是教師能夠在備課過(guò)程中要遇到一些困難。由于這門課是新的，但是學(xué)生接受起來(lái)是比較容易的。這樣的話能夠?qū)W(xué)生從勝利感的覺得來(lái)說(shuō)，能夠會(huì)更好一些。所以我們希望教師能把這門課開好。主持人：好！ 看了兩位教師做的矩陣單元分析。我想請(qǐng)張教授來(lái)分析一下，這個(gè)矩陣單元的內(nèi)容他覺得應(yīng)

29、該怎樣對(duì)待把握？張怡慈：我想就我們中學(xué)的矩陣的定位，把它再說(shuō)一下。我想能夠我們要分六個(gè)層面來(lái)了解這一部分，就它的層次來(lái)說(shuō)，首先第一個(gè)層次就是我們要認(rèn)識(shí)到矩陣它把平面上每一個(gè)點(diǎn)變到了另外一個(gè)點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)當(dāng)然可以跟它是一樣的，并且知道是怎樣變的，然后從這就提高到，我們矩陣它把平面上每一個(gè)點(diǎn)變到了平面上另一個(gè)點(diǎn)。王尚志：對(duì)于矩陣是平面到平面上的一個(gè)變換，希望教師不要一蹴而就，這是需求一個(gè)比較長(zhǎng)時(shí)間的積累，才干協(xié)助 學(xué)生構(gòu)成這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)。由于在義務(wù)教育階段，我們經(jīng)常談的是圖形的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)圖形變到另一個(gè)圖形。另外一個(gè)方面實(shí)踐上它是一個(gè)變換下完成的這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)，所以我想教師應(yīng)該特別留意這一點(diǎn)，就是要強(qiáng)調(diào)變

30、成整個(gè)平面的點(diǎn)。第二個(gè)層次的話，我們講的是幾個(gè)常見的矩陣表示的變換。這有兩個(gè)層次，第一就是加深對(duì)前面矩陣變換的了解；第二我們把過(guò)去常講的壓伸、旋轉(zhuǎn)、反射等等這些變換，經(jīng)過(guò)在這一段里頭讓學(xué)生對(duì)它有一個(gè)了解。知道我們矩陣可以表示這樣一些變換，經(jīng)過(guò)對(duì)這些變換的了解來(lái)掌握第一部分矩陣與變換的問(wèn)題。我們?cè)谶@一部分，就是經(jīng)過(guò)幾何的圖形平面的點(diǎn)來(lái)領(lǐng)會(huì)變換。我們希望學(xué)生、我們的教師都可以認(rèn)識(shí)到。王尚志：在講這個(gè)層次的時(shí)候，有兩個(gè)角度，一個(gè)是張教師剛堅(jiān)強(qiáng)調(diào)的幾何的角度，特別是經(jīng)常有的教師情愿選擇在第一象限的一個(gè)正方形，在這個(gè)變換下變成一個(gè)什么樣的圖形。那么第二個(gè)角度，也需求從代數(shù)上來(lái)領(lǐng)會(huì)，第一個(gè)坐標(biāo)變了沒(méi)有？第

31、二個(gè)坐標(biāo)變了沒(méi)有？第一個(gè)坐標(biāo)變了多少？第二個(gè)坐標(biāo)變了多少？第一個(gè)坐標(biāo)的變化？是由第一個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生的？還是由第一個(gè)和第二個(gè)坐標(biāo)混合產(chǎn)生的？等等。我想這一些都是我們教師在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)該給予關(guān)注的。而且我們要在這一部分的最后，把我們的變換要總結(jié)起來(lái)，實(shí)踐上我們希望要認(rèn)識(shí)到這個(gè)矩陣是一個(gè)線性變化，要經(jīng)過(guò)實(shí)例對(duì)矩陣是一個(gè)線性變換進(jìn)展認(rèn)識(shí)，并不是一切的變換都在這表示這個(gè)，線變化是能把直線變成直線。張怡慈：第三個(gè)層次，我們要討論矩陣和矩陣之間的關(guān)系，也就是變換和變換之間的關(guān)系，也就是在數(shù)學(xué)上表示成矩陣的乘法。我們要讓學(xué)生們清楚矩陣乘矩陣還是一個(gè)矩陣，它表示的是延續(xù)實(shí)施兩次變換。面對(duì)從代數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)這樣一個(gè)

32、變換，在這里，我們知道這個(gè)變換乘法跟我們過(guò)去學(xué)的乘法有很大的不同：第一次出現(xiàn)了沒(méi)有交換律的乘法，這一點(diǎn)也是對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)了解運(yùn)算有益處的。由于過(guò)去總覺得交換律是一個(gè)顯然的事情，不斷到向量。到這第一次出現(xiàn)了乘法不適宜交換律。王尚志：也可以從幾何角度來(lái)認(rèn)識(shí)，這個(gè)矩陣為什么乘法會(huì)沒(méi)有交換律，也就是選轉(zhuǎn)后緊縮和先緊縮后旋轉(zhuǎn)結(jié)果是不一樣的。張怡慈：第四個(gè)層次，我們要講逆變換，也就是逆矩陣，也就是這個(gè)變回來(lái)的變換是一個(gè)什么樣的變換？我們還是用我們前面第二層面講的，常見的壓伸、反射、旋轉(zhuǎn)來(lái)講逆變換，那么在逆變換里頭我們?cè)谇懊驿亯|了一個(gè)投影變換，在這里頭我們用這個(gè)投影變換來(lái)闡明有的矩陣沒(méi)有逆變換，為什么沒(méi)有逆變

33、換，就是它把很多點(diǎn)變到了一個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。經(jīng)過(guò)這樣的例子，來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)逆變換，另外我們也把逆變換一些性質(zhì)，先做緊縮再旋轉(zhuǎn)，回來(lái)的時(shí)候一定是后做的要先做，先做的要后做，這是逆變換的性質(zhì)。第五個(gè)層次是線性方程組與矩陣的關(guān)系。我們可以把它梳理一下，線性方程組是一個(gè)代數(shù)的問(wèn)題，最早在數(shù)學(xué)上出現(xiàn)方程組，都是處理牛羊分配問(wèn)題等等。那么我們?cè)趯W(xué)了高中的幾何以后，我們知道從解析幾何角度，可以認(rèn)識(shí)線性方程組，從直線相交平行重合的角度，還可以從向量根本定理來(lái)認(rèn)識(shí)方程組，那么如今我們從矩陣的角度，就是說(shuō)我們給了一個(gè)變換，和一個(gè)變換結(jié)果，問(wèn)是有沒(méi)有一個(gè)東西，在這個(gè)變化下變到它，是誰(shuí)變到了它。這一個(gè)觀念在數(shù)學(xué)上

34、，是一個(gè)非常重要的觀念。把方程看成一個(gè)變換的這樣一個(gè)觀念，是一個(gè)非常重要的觀念。求解方程組，是不是求一個(gè)知向量的原象，所以就變成這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)。最后我們是講特征值與特征向量。也就是我們還是經(jīng)過(guò)一些詳細(xì)的例子，比如說(shuō)經(jīng)過(guò)壓伸變換，來(lái)看到有一些向量在這個(gè)變化下根本上沒(méi)變，或者它根本就沒(méi)有動(dòng)，或者它只是拉伸了一下，就是它還是和原來(lái)的向量，是共線的。我們把這樣的向量，經(jīng)過(guò)這樣的例子，然后把它提煉出來(lái)，把它稱為它的變換特征向量和特征值。然后我們要講一講它的作用、它的意義。在這一方面來(lái)講，我想這是我們最重要的幾個(gè)層面。也就是我們教師在給學(xué)生講的時(shí)候，要把層次描畫清楚。王尚志：但是對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，我想知道這些還

35、不夠。教師還應(yīng)該多了解一點(diǎn)東西，我想教師應(yīng)該有時(shí)機(jī)復(fù)習(xí)一下在大學(xué)里學(xué)習(xí)的線性代數(shù)的課程。我就想在張教師的根底上，給教師簡(jiǎn)單的引見一下大學(xué)的線性代數(shù)課程和我們中學(xué)的矩陣與變換的課程之間的聯(lián)絡(luò)和區(qū)別。我們知道在大學(xué)線性代數(shù)的內(nèi)容是主要依托于對(duì)這幾個(gè)對(duì)象的研討。一個(gè)是行列式、一個(gè)是矩陣、一個(gè)是向量空間，當(dāng)然還可以拓展成為一個(gè)線性空間、一個(gè)是線性變換、一個(gè)是線性方程組。那么對(duì)這五個(gè)內(nèi)容，在我們線性代數(shù)的課程中希望去開掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，就用我的教師的一句話來(lái)說(shuō)，它的本質(zhì)上是一致的，這是丁時(shí)孫丁先生說(shuō)過(guò)的一句話，我覺得是很有道理的。比如說(shuō)我們可以用行列式去討論矩陣的秩，我們用行列式可以去討論向量的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的問(wèn)題，我們又可以用矩陣去表示線性變換，我們又可以用行列式去討論線性方程組的根，我們又可以用矩陣去研討線性方程組的解，我們又可以用向量去表示線性方程組的解，反回來(lái)說(shuō)我們又可以用線性方程組去討論行列式的性質(zhì)、矩陣的性質(zhì)、向量空間的性質(zhì)以及線性變換的性質(zhì)，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)絡(luò)。而我們高中的矩陣與變換的課程，是依賴于二階矩陣，把這樣一些根本的思想在我們二階矩陣的載體