淺說函數與幾何綜合題的解題策略及復習

1、.：.；淺說函數與幾何綜合題的解題戰(zhàn)略及復習 函數與幾何是初中數學中的重點內容,是中考命題重點調查的內容之一；函數中的幾何問題，能使代數知識圖形化，而幾何中的函數問題，能使圖形性質代數化；由于函數與幾何結合的綜合題的方式靈敏、立意新穎，能更好地調查學生的思想程度和數學思想方法，因此成為近幾年各地中考的一類搶手試題；這一特點在孝感市近三年的中考數學試卷中表現得尤為突出；如2001年的中考壓軸題是以直角三角形為背景，揉合一次函數、類似形、直線與圓的位置關系等知識構成；2002年的中考壓軸題是以矩形為背景，揉合軸對稱、二次函數、幾何證明等知識構成；2003年的壓軸題是以二次函數為背景，揉合直角三角形

2、的知識構成；因此，將函數知識與幾何知識有機結合編制出綜合題作為壓軸題是我市中考命題的一大特點，也是今后中考命題的一大趨勢； 函數知識與幾何知識有機結合的綜合題，根據構成命題的主要要素可分為以下兩類：一類是幾何元素間的函數關系問題這類問題無妨稱簡稱為“幾函問題，這類問題的特點是：根據知幾何圖形間的位置和數量關系如平行、全等、類似，特別是成比例建立自變量與函數所表示的幾何元素間的等量關系，求出函數關系式，運用函數的性質處理幾何圖形中的問題；另一類是函數圖像中的幾何圖形的問題如三角形、四邊形，特別是圓這類問題無妨簡稱為“函幾問題，這類問題的特點是：根據知函數圖像中的幾何圖形的位置特征，運用數形結合方

3、法處理有關函數、幾何問題；本文特從2003年各地的中考試題中略選幾例，談一談處理這類問題的戰(zhàn)略和復習方法，以期到達拋磚引玉的目的。一、函數與幾何綜合題例析 一 “幾函問題： 1、線段與線段之間的函數關系： 由于這類試題的主要要素是幾何圖形，因此，在處理此類問題時首先要察看幾何圖形的特征，然后根據相關圖形的性質如直角三角形的性質、特殊四邊形的性質、平行線分線段成比例定理及其推論、類似三角形的性質、圓的根本性質、圓中的比例線段等等找出幾何元素之間的聯絡，最后將它們的聯絡用數學式子表示出來，并整理成函數關系式，在此函數關系式的根底上再來處理其它的問題；處理此類問題時，要特別留意自變量的OACPFBE

4、 取值范圍。 例1 如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心AB=6，延伸BA到F，使FA=AB，假設P為線段AF上的一個動點不與A重合，過P點作半圓的切線，切點為C，過B點作BEPC交PC的延伸線于E，設AC=x，AC+BE=y，求y與x的函數關系式及x的取值范圍。2003年山東省煙臺市中考題 評析：這是一道集圓、直角三角形、類似三角形與函數的綜合題，由于知條件中有切線，因此可以聯想切線的性質、切割線定理、弦切角定理、切線長定理；又由于有直徑這一知條件，又可聯想構造直徑所對的圓周角。 因此，連結BC，構造出“雙直角三角形和弦切角定理的典型圖形，然后利用兩對類似三角形中的一對建立比例式，再結合勾股定理

5、處理問題。 解：連結BC，AB是O的直徑，ACB=90，BC2=36-x2 又PC切O于C，ECB=BCA； 由BEPC于E可知，ACB=CEB=90，ACBCEB； ，即 ； 當P點與A點重合時，AC=0最小，但P點與A點不重合， x0； 當P點與F點重合時，x=AC最大，此時有PC2=PAPB=612， 又P=P，PCA=PBCPCAPBC BC= 由勾股定理得， 函數關系式為： 2、面積與線段間的函數關系的建立： 處理此類問題除了掌握第一類型的知識外，還要留意到以下兩點：1常見圖形的面積公式，2學會靈敏地將非特殊圖形的面積轉化為特殊圖形的面積，將同底或等高的兩個三角形的面積之比轉化為它們

6、的高或底之比，將類似三角形的面積之比轉化為類似比或周長的比、對應邊上的高的比、對應邊上的中線的比等的平方。 例2如下圖，知A、B兩點的坐標分別為28，0和0，28，動點P從A點開場在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開場以每秒1個單位長度的速度向上平移即EFx軸，并且分別與y軸、線段AB交于E、F點，連結FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒。 1當t=1時，求梯形OPFE的面積。t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？ 2當梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長。 3設t的值分別取t1、t2時，t1t2，所對應的三角形

7、分別是 AF1P1和 AF2P2，試判別這兩個三角形能否類似；請證明他的判別。2003年廣西南寧市中考題 評析：這是一道綜合性較強的中考壓軸題，它將幾何與代數“相邀于平面直角坐標系中，使“數與“形、“動與“靜相互轉化，綜合調查了梯形面積計算、勾股定理、類似三角形、二次函數的性質等多個知識點，同時利用圖形的變化，浸透數形結合的數學思想、函數的思想、方程的思想；第1小題中前面的“靜為后面的“動作預備，而后面的“動是前面的“靜的升華，讓學生懂得靜止是相對的而運動是絕對的，在“動中求“靜，在考題中向學生浸透辯證唯物主義思想，從而不被“動所迷惑；第2小題在第1小題的根底上，首先建立梯形、三角形面積與t的

8、函數關系式，再利用方程的思想處理，調查了學生的知識遷移才干；在求得t值后，要決議取舍，調查了學生思想的批判性；第3小題是一個探求性問題，調查了學生的探求才干。象這種計算量小、坡度較緩、綜合性強、才干要求高的“雙動問題是今后各地中考命題的一大趨勢。 解：1A28，0，B0，28， OA=28，OB=28， AOB是等腰直角三角形； 當t=1秒時， OE=1，AP=3； OP=28-3=25，BE=28-1=27； 又EFOA， BEF BOA，BEF也是等腰直角三角形；EF=EB=27； 因此，當t=7秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98。2 而 解之：t1=8秒t2=0舍去 過F點作F

9、HAO垂足為H ， OAB=45，AH=FH=8，； 在Rt FHP中， 3當運動時間為t秒時，過P點作PGOA于G，那么FG=GA=t， 由勾股定理得：，AP=3t，FAAP=為一定值， 而 FAP=45， AF1P1 AF2P2 二“函幾問題： 縱觀歷年各地的中考試題，幾乎無一例外地出現函數中的幾何問題，這些標題從難度上來看大多數是難題，少數屬于中檔題，在題型上來看，絕大多數是探求題，只需少數是計算題，在設計方法上都注重創(chuàng)新，都注重在初中數學主干知識的交匯處進展命題，在調查意圖上，都突出對數學思想方法和才干特別是對思想才干、探求才干、創(chuàng)新才干、綜合運用知識才干的調查；因此在處理這類問題時要

10、靈敏運用函數的有關知識，并留意發(fā)掘標題中的一些隱藏條件，留意數形結合、數學建模、分類討論等數學思想的運用；下面談一談這類問題的分類及其解法。 1、三類根本初等函數中的圖形面積問題： 處理這類問題時，通常要將坐標系中的圖形進展分割，普通情況是將它分割成一些兩邊或三邊在坐標軸上或者兩邊或三邊平行于坐標軸的三角形或梯形、矩形等；同時要留意點到坐標軸的間隔 與點的坐標間的區(qū)別，正確利用點的坐標來表示線段的長度。 例3 如圖，直線OC、BC的函數關系式分別為 y=x和 y=-2x+6，動點Px，0在OB上挪動0 x3，過點P作直線 與x軸垂直。1求點C的坐標；2設OBC中位于直線 左側部分的面積為s，寫

11、出s與x之間 的函數關系式；3在直角坐標系中畫出2中函數的圖象；4當x為何值時，直線 平分OBC的面積？ 2003年常州市中考題 評析：這是以函數為主要背景的幾何綜合題，由于兩直線的解析式知，所以只須聯立兩個解析式就可以求出第1問中C點的坐標；在第二問中，由于OBC位于直線左邊的部分的外形有兩種情況：當直線在C點左邊時，左邊的部分為三角形；當直線在C點右邊時，左邊的部分為一不規(guī)那么的四邊形，因此在處理此問題時要分兩種情況討論，由于2中的函數是一個分段函數，所以在處理第3問時畫圖也要分兩部分來畫；在處理第4問時，首先要對直線l平分OBC的面積時，直線是在點C的左邊還是在右邊作出判別，然后再利用方

12、程的思想來處理。此題調查了學生的數形結合思想、分類討論的思想、方程的思想以及學生動手畫圖的才干。分值雖不大，但調查的知識點卻不少。解：1 解之得 ，點C的坐標為2，2 2作CD軸于點D，那么D2，0 = 1 * GB3 當0 x2時，設直線l與OC交于點Q，那么Qx，x， = 2 * GB3 當2x3時，設直線與OB交于點Q，那么此時的Q的坐標為x，6-x 而點B3，0SBQP= S=3-3-x2， 即S=-x2+6x-6 3略 4由于2中ODC的面積大于BDC的面積，那么直線l要平分OBC的面 積，那么點P只能在線段OD上，即0 x2，由于OBC的面積為3， ，解之得x=負值舍去；顯然，02

13、； l平分OBC的面積時，相應的x值為。2、三類根本初等函數中的三角形、四邊形、圓的問題： 這類標題普通由13問組成，第一問往往是求函數的解析式，然后在此根底上再與幾何中的三角形全等、類似或特殊三角形能否存在等問題四邊形面積的函數關系式、特殊四邊形能否存在和圓直線與圓的位置關系的判別、圓中的比例式能否成立結合起來，利用初中的主干知識全面調查學生綜合運用所學知識處理問題的才干；處理這類綜合性問題時要留意以下幾個問題：1留意弄清標題中所涉及的概念，熟習與之相關的定理、公式、技巧和方法；2留意分析綜合問題的構造，弄清知識點之間的聯絡，擅長把一個綜合題分成假設干個基此題，各個知識點之間的結合部，往往是

14、由一個根本問題轉化到另一個根本問題的關鍵；3留意從不同的角度來探求解題的途徑，留意運用“從知看可知，“從結論看需知等綜合法與分析法來溝通知條件與結論。 例4 知二次函數的圖象如下圖，1求二次函數的解析式及拋物線的頂點M的坐標 ； 2假設點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當點N在線段BM上運動時點N不與點B、點M重合，設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍； 3在對稱軸右側的拋物線上能否存在點P，使PAC為直角三角形？假設存在，求出一切符合條件的點P的坐標；假設不存在，請闡明理由； 4將OAC補成矩形，使OAC的兩個頂點成為矩

15、形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知頂點的坐標不需求計算過程。 2003年黃岡市中考試題 評析：該綜合題有4個大問題共7個根本問題，其問題之多、調查的知識點之多、調查的數學思想方法之多、分值之大總分值16分在全國各地的中考題中屈指可數；該題中的4個大問題難度依次添加，這就要求考生在遇到此問題時要有“攻書莫畏難的勇氣；處理第1個問題時，關鍵是要學生仔細察看函數的圖象，弄清楚點的坐標的含義，正確地確定A、B、C三點的坐標，然后再利用待定系數法求出二次函數的解析式，在正確確定解析式的根底上，利用配方法或拋物線的頂點坐標公式求出頂點M的坐標；在處理第2個問題時，由于四

16、邊形NQAC是由一個直角三角形AOC與一個直角梯形組成的圖形，而直角三角形AOC的面積是不變的，因此要處理此問題，關鍵是用含t的代數式表示直角梯形NQOA的面積，而該直角梯形的兩底OC、NQ的長分別為2和t，因此要處理梯形的面積問題，就要想法求出梯形的高即OQ的長，它等于點N的橫坐標，而點Q的縱坐標是-t而不是t，這一點學生最容易弄錯，且點Q在兩知點B、C決議的線段CB上運動，因此求點Q的橫坐標的問題就轉化成求直線BC的解析式的問題，有了直線BC的解析式問題便迎刃而解；第3問是一個探求性的問題，既可以用分析法處理，也可以用綜合法來處理；但要留意分PAC=90、ACP=90、APC=90三種情況

17、來討論；無論是PAC=90還是ACP=90，在分別過A點和C點作AC的垂線后，都出現了幾何中常見的“雙垂直的典型圖形，利用類似三角形的性質或直接利用射影定理可求出直線AP與y軸或直線CP與x軸的交點坐標，然后再求出直線AP或CP的解析式，再利用方程的思想求出合條件的點P的坐標；由于以AC為斜邊的直角三角形的直角頂點一定在以AC為直徑的圓上A、C除外察看圖形可知，以點P為直角頂點的直角三角形不存在；在處理第4時要求學生一定要仔細審題，弄清標題的要求，并且要求學生的思想嚴密，多方面思索點D存在的各種能夠性，只需這樣才干得出完好的結論；解答此處略 例5知二次函數y=x2+bx+c的頂點在直線y=-4

18、x上，并且圖象經過點A-1，0。 1求這個二次函數的解析式； 2設此二次函數與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點 為C，求經過M、 B、C三點的O的直徑長； 3設O與y軸的另一個交點為N，經過P-2，0、 N兩點的直線為l，那么圓心O能否在直線l上，請闡明理由請闡明 理由；2003年成都市中考試題 評析：這也是一個“函幾問題，由于二次函數的解析式中兩個待定的系數，而大前提中又有兩個獨立的知條件，因此處理問題1的的關鍵是如何運用頂點在直線y=-4x上這一知條件：可以用拋物線的頂點公式，也可以先設頂點的坐標為 m，-4m，然后用二次函數的頂點式來求解；在第2問中，由于要求O的直徑，而O的由B、M、

19、C三點確定的圓，因此要首先求出點C、M、B的坐標，然后求出線段CB、BM、CM的長，從它們的長度關系中發(fā)現三角形BMC是直角三角形，這是處理這一問題的關鍵，抓住了這一關鍵，問題2便迎刃而解；在第3問中，要判別圓心 O中否在直線PN上，關鍵是求直線PN的解析式和圓心O的坐標，由于點M、B的坐標都知，又知BM是圓的直徑，因此點O是線段BM的中點，所O點的坐標不難求出；而要求直線PN的解析式，關鍵是求點N的縱坐標，此時可以過點O作y軸的垂線，利用垂徑定理結合點到坐標軸的間隔 的有關知識可以求出點N的坐標； 解答此處略二、函數與幾何綜合題的解題戰(zhàn)略： “函幾問題與“幾函問題涉及的知識面廣、知識跨度大、

20、綜合性強，運用數學方法多、縱橫聯絡較復雜、構造新穎靈敏、注重根底才干、探求創(chuàng)新和數學思想方法，它要求學生有良好的心思素質和過硬的數學根本功，能從知所提供的信息中提煉出數學問題，從而靈敏地運用所學知識和掌握的根本技藝發(fā)明性的處理問題，正因如此，處理這類問題時，要留意處理問題的戰(zhàn)略，常用的解題戰(zhàn)略普通有以下幾種： 1、綜合運用分析法和綜合法。就是從條件與結論出發(fā)進展聯想、推理，“由知得可知，“從要求到需求，經過對問題的“兩邊夾擊，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產生聯絡，從而使問 題得以處理。如本文例5中的第2、3問的解答就運用了此種方法； 2、運用方程的思想。就是尋覓要處理的問題中量與量之間的等量關系，

21、建立知量與未知量間的方程，經過解方程從而使問題得到處理；在運用這種思想時，要留意充分發(fā)掘問題的的隱藏條件，尋覓等量關系建立方程或方程組；如本文例2中的第2個問題的處理就用到了此種思想； 3、留意運用分類討論的思想。函數與幾何結合的綜合題中往往留意調查學生的分類討論的數學思想，因此在處理這類問題時，一定要多一個心眼兒，多從側面進展縝密地思索，用分類討論的思想討論出現結論的一切能夠性，從而使問題的解答完好無遺。如本文例4中的第2、3問，要從直角的頂點的位置、矩形的第四個頂點的位置進展討論，例3第2問中，求面積S與x間的函數關系式時，也要分直線l在點C的左邊和右邊兩種情況來討論，千萬不能一蹴而就；

22、4、運用數形結合的思想。在中學數學中，“數與“形不是孤立的，它們的辯證一致表如今：“數可以準確地廓清“形的模糊，而“形能直觀地啟迪“數的計算；運用數形結合的思想來處理問題時，要時辰留意由圖形聯想其性質，由性質聯想相應的圖形，從而使問題得以簡化；如本文中的例1，在處理y與x間的函數關系時，首先根據圖形的性質，建立起線段間的關系式，然后再利用線段間的關系，建立y與x間的函數關系；在求自變量x的取值范圍時，把自變量所對應的幾何元素推到兩個極端的位置，求出相應的值，再結合幾何量的實踐意義和標題中的知條件加以確定； 5、運用轉化的思想。轉化的數學思想是處理數學問題的中心思想，由于函數與幾何結合的問題都具

23、有較強的綜合性，因此在處理這類問題時，要擅長把“新知識轉化為“舊知識，把“未知化為“知，把“籠統(tǒng)的問題轉化為“詳細的問題，把“復雜的問題轉化為“簡單的問題，上面一切各例，都用到了轉化的數學思想，可以大膽地說，不掌握轉化的數學思想，就很難正確而全面地處理函數與幾何結合的綜合問題；三、函數與幾何綜合題復習的幾點建議： 從以上的評析可以覺得到，函數與幾何結合的綜合問題都比較籠統(tǒng)，一些隱藏條件不易發(fā)現，有些思緒、方法具有特殊性，對根底知識和根本技藝要求既有廣度又有深度，對邏輯思想才干、聯想才干、都有較高的要求，要想讓學生能熟練地掌握其解法，在平常的教學中應留意以下幾點： 1、在復習過程中，要對近幾年各

24、地的中考試題進展歸類、整理，將類型一樣或類似的標題的精華濃縮于一個標題中進展分析、講解，提高復習效率。筆者對近三年各地的中試題進展研討發(fā)現，有很多地方的中考數學試題都有驚人的類似之處，如山西省2003年中考數學試卷中的第27題與孝感市2002年的壓軸題完全類似，只不過改動了提問的方式，使問題略有一點探求性；而2003年孝感市的壓軸題與2002年南京市中考數學試卷第八題中的知條件完全一樣，要處理的問題也幾乎一樣，2003年黃岡市的壓軸題與2002年哈爾濱市中考數學壓軸題的知條件和圖形都極其類似，問題只需第3問不一樣沒有第四問，因此深化研討各地的中考試題，將它們進展歸類進展復習，可以節(jié)約大量的時間

25、。 2、在復習過程中，對例題的講解要留意引導分析，解完題后要留意對解題過程作更深化、更寬廣的反思，總結那些比解題更重要的東西規(guī)律，如處理坐標系中的面積問題，通常要將不規(guī)那么的圖形轉化為規(guī)那么的圖形，而轉化的方法通常是過圖形的頂點作坐標軸的垂線，將求不規(guī)那么圖形的面積問題轉化為兩邊或三邊垂直于或平行于坐標軸的根本圖形的面積問題；又如，求動態(tài)幾何中的函數關系式中自變量的取值范圍時，可以把自變量所代表的幾何量推到兩個極端位置，求出相應值，再結合幾何量的實踐意義加以確定；假設我們在復習過程中不留意總結處理問題的規(guī)律，講得再多，練習得再多，也只能的“題海中打轉，很難進入“舉一反三、“觸類旁通的境界，遇到

26、新的問題，也就很難產生靈感，找到思緒； 3、在復習過程中，要留意發(fā)掘課本例、習題和各地中考成題中的潛在結論，變化出新的綜合題，以開闊學生的思緒，培育學生分析問題、處理問題的才干；如2002年孝感市的壓軸題就是將初中課本P182的“做一做改編而成，2002年襄樊市的閱讀了解題就是根據初二課本P38中的“讀一讀的內容改編而成，而太原市2003年的中考壓軸題是由第三冊P79例2改編、深化而成，嘉興市2003年中考數學試卷中的第24題、廈門市第28題都是由第三冊P126面的第4題和P72面的第7題改編而成；因此，在復習過程中，一定要注重課本，千萬不能以練代講，以資料替代課本。 下面從近幾年各地的中考題中略選幾例，供各位教師復習時參考： 1 知：如圖1，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAEn是正整數的關系，分別在兩鄰邊長a、na的矩形ABCD各邊上運動。設AE=x，四邊形EFGH的面積為S。 = 1 * GB2 當n=1，2時，如圖2、3，察看運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運