知識點19 二次函數(shù)幾何方面的應(yīng)用2019

1、 一、選擇題1. （2019樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結(jié).則線段的最大值是（） A B C D 【答案】C【解析】連接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），O是AB的中點，又是線段的中點，OQ=PB，點B是圓C外一點，當PB過圓心C時，PB最大，OQ也最大，此時OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故選C. 二、填空題1. （2019無錫）如圖，在中，AB=AC=5，BC=，為邊上一動點(點除外)，以為一邊作正方形，連接，則面積的最大值為 .【答案】8【解析】過

2、D作DGBC于G，過A作ANBC于N，過E作EHHG于H，延長ED交BC于M.易證EHDDGC，可設(shè)DG=HE=x，AB=AC=5，BC=，ANBC，BN=BC=2，AN=，GBC，ANBC，DGAN，BG=2x，CG=HD=4- 2x；易證HEDGMD，于是，即MG ，所以SBDE = BMHD=（2x）（4- 2x）=，當x=時，SBDE的最大值為8. 2. (2019 臺州)如圖,直線l1l2l3,A,B,C分別為直線l1,l2,l3上的動點,連接AB,BC,AC,線段AC交直線l2于點D.設(shè)直線l1,l2之間的距離為m,直線l2,l3之間的距離為n,若ABC90,BD4,且,則m+n的

3、最大值為_.【答案】【解析】過點B作BEl1于點E,作BFl3于點F,過點A作ANl2于點N,過點C作CMl2于點M,設(shè)AEx,CFy,則BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMDAND90,易得AEBBFC,CMDAND,即,mnxy,即,y10,nm,m+nm,mnxyx(10)x2+10 xm2,當x時,mn取得最大值為,m2,m最大,m+nm.3. （2019涼山）如圖，正方形ABCD中，AB=12, AE =AB，點P在BC上運動 （不與B、C重合），過點P作PQEP，交CD于點Q，則CQ的最大值為 .【答案】4【解析】在正方形ABCD中，AB

4、=12, AE =AB=3，BC=AB=12，BE=9，設(shè)BP=x，則CP=12-x.PQEP，EPQ=B=C=90，BEP+BPE=CPQ+BPE=90，BEP=CPQ，EBPPCQ，整理得CQ=，當x=6時，CQ取得最大值為4.故答案為4.三、解答題25（2019山東煙臺，25，13分）如圖，頂點為M的拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，過點C作軸交拋物線與另一個點D，作軸，垂足為點E雙曲線經(jīng)過點D，連接MD，BD(1)求拋物線的解析式(2)點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標；(3)動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

5、OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，的度數(shù)最大？（請直接寫出結(jié)果）【解題過程】 （1）當時 所以，因為軸，軸，所以四邊形OEDC為矩形， 又因為雙曲線經(jīng)過點D， 所以, 所以, 所以 將點、代入拋物線得 解得 所以拋物線的表達式為（2）解：作點D關(guān)于x軸的對稱點，作點M關(guān)于y軸的對稱點，如圖（1）第25題答圖（1）由圖形軸對稱的性質(zhì)可知，所以四邊形MDNF的周長， 因為是定值，所以當最小時，四邊形MDNF的周長最小， 因為兩點之間線段最短，所以當I、F、N、H在同一條直線上時最小 所以當I、F、N、H在同一條直線上時，四邊形MDNF的周長最小，連接，交x軸于點N，交y軸于點F， 因為拋

6、物線的表達式為，所以點M的坐標為， 由軸對稱的性質(zhì)可得， 設(shè)直線HI的表達式為， 所以，解得，所以直線HI的表達式為，當時，當時，所以，所以，所以當M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，（3）解：本題的答案為 解題分析：如圖（2），當兩點A、B距離是定值，直線CD是一條固定的直線，點P在直線CD上移動，由下圖可以看出只有當過A、B的圓與直線CD相切時最大 第25題答圖（2）第25題答圖（3） 所以可作過點B、D，且與直線OC相切，切點為P，此時的度數(shù)最大， 由已知，可得， 因為直線OC與相切，所以，所以直線PT的解析式為 因為拋物線的表達式為，所以點B的坐標為，因為點B、點可以求得直線BD的

7、垂直平分線的解析式為聯(lián)立與，得，直線PT與直線BD的交點即為點M，所以因為,可得解得或（舍去）所以當時，的度數(shù)最大27（2019江蘇鹽城卷，27，14）如圖所示，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于,兩點，點在點的右側(cè)，直線分別于軸、軸交于、兩點，且.求,兩點橫坐標；若OAB是以為腰的等腰三角形，求的值；二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸交于點,是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解題過程】（1）A、B是與的交點 ， ，點在點的右側(cè) ， 點橫坐標是，點橫坐標.（2）由（1）可知和由兩點間距離公式可得：OAB是以為腰的等腰三角形分為兩種情況：或當時即 當時即 或綜上所述，或或.（3）

8、存在，或【提示】由（1）可知和.根據(jù)題意分為兩種情況：點在點左側(cè)，點在點右側(cè).當點在點左側(cè)時 如圖1，過點作軸于點，作的垂直平分線交軸于點，連接 設(shè)=m ，由（1）可知和. 在RtBFH中，由得 ， 當點在點右側(cè)時 如圖，過點作軸于點，作的垂直平分線交軸于點，連接 由（1）可知和. 設(shè) 在RtBMN中，由得 ， 綜上所述，或.23（2019江西省，23，12分）特例感知(1)如圖1，對于拋物線，下列結(jié)論正確的序號是 ；拋物線，都經(jīng)過點C(0，1)；拋物線，的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個單位得到；拋物線，與直線y=1的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.形成概念(2)把滿足（n為正整數(shù)）的拋

9、物線稱為“系列平移拋物線”.知識應(yīng)用在(2)中，如圖2.“系列平移拋物線”的頂點依次為，用含n的代數(shù)式表示頂點的坐標，并寫出該頂點縱坐標y與橫坐標x之間的關(guān)系式；“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)”：，其橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k為正整數(shù))，判斷相鄰兩點之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點之間的距離；若不相等，說明理由；在中，直線y=1分別交“系列平移拋物線”于點，連接，判斷，是否平行？并說明理由.【解題過程】解：（1）對于拋物線，來說，拋物線，都經(jīng)過點C(0，1)，正確；拋物線，的對稱軸分別為：，的拋物線，的對稱軸由拋物線的對稱

10、軸依次向左平移個單位得到，正確；拋物線，與直線y=1的另一個交點的橫坐標分別為：-1、-2、-3，拋物線，與直線y=1的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.正確.答案：（2）由可知，頂點坐標為（，），該頂點縱坐標y與橫坐標x之間的關(guān)系式為；當橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k為正整數(shù))，對應(yīng)的縱坐標為：，相鄰兩點的距離相等，且距離為：.將y=1代入可得，x=-n（0舍去），點（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.當橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k為正整數(shù))，對應(yīng)的縱坐標為：，點（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），（-k-n，）

11、.設(shè)，的解析式分別為：y=px+q，y=mx+n，則，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.23（2019山西）綜合與探究如圖,拋物線yax2+bx+6經(jīng)過點A（2,0）,B(4,0)兩點,與y軸交于點C.點D是拋物線上一個動點,設(shè)點D的橫坐標為m(1m4).連接AC,BC,DB,DC.(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)當BCD的面積等于AOC的面積的時,求m的值;(3)在(2)的條件下,若點M是x軸上一動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.第23題圖【解題過程】(1)

12、拋物線yax2+bx+6經(jīng)過點A（2,0）,B(4,0)兩點,解之,得:,拋物線的函數(shù)表達式為:;(2)作直線DEx軸于點E,交BC于點G,作CFDE,垂足為點F,點A的坐標為(2,0),OA2,由x0,得y6,點C的坐標為(0,6),OC6,SAOCOAOC6,SBCDSAOC.設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為ykx+n,由B,C兩點的坐標得:,解之,得:,直線BC的函數(shù)表達式為:yx+6.點G的坐標為(m,m+6),DG(m+6).點B的坐標為(4,0),OB4,SBCDSCDG+SBDG.,解之,得m13,m21,m的值為3.第23題答圖(3)存在點M,其坐標為:M1(8,0),M2(0,0),

13、M3(,0),M4(,0).25（2019常德）如圖11，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使PNC的面積是矩形MNHG面積的，若存在，求出該點的橫坐標，若不存在，請說明理由 【解題過程】（1）設(shè)拋物線的解析式為y，把B（1，0）代入解析式得：4a40，解得a1，y；（2）四邊形MN

14、HG為矩形，MNx軸，設(shè)MGNHn，把yn代入y，即n，0，由根與系數(shù)關(guān)系得2，n3，4，44（n3）164n，MN 2，設(shè)矩形MNHG周長為C，則C2（MNMG）2（2n）42n，令t，則n4，C24t82，20，t1時，周長有最大值，最大值為10； （3）在（2）的條件下，當矩形周長最大時t1，1，n3，MN22，D（0，3），此時N與D重合， 236，又當y0時0，解得1，3，C（3，0），D（0，3），直線CD的解析式為yx+3，過P做y軸的平行線，交直線CD于點Q，設(shè)P橫坐標為m，則P（m，），Q（m，），PQ（）（），當P在Q的上方時，PQ，PQOC，解得m；當P在Q的下方時，PQ

15、，即，解得，（舍去）；P橫坐標為或25（2019衡陽）如圖，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB，請問：MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入yx2bxc，得解得該拋物線的函數(shù)表達式

16、為yx22 x3；（2）CPEB，OPEBCP90，OPEOEP90，OEPBPC，tanOEPtanBPC設(shè)OEy，OPx，整理，得yx2x（x）2當OP時，OE有最大值，最大值為，此時點P在（，0）處.（3）過點M作MFx軸交BN于點F，N（0，3），B（3，0），直線的解析式為y3 m.設(shè)M（m, m22 m3）,則MFm23m，MBN的面積OBMF( m23m) ( m) 2 .點M的坐標為（，）時，MBN的面積存在最大值.24（2019武漢，24，12分）已知拋物線C1：y（x1）24和C2：yx2（1） 如何將拋物線C1平移得到拋物線C2？（2） 如圖1，拋物線C1與x軸正半軸交于

17、點A，直線經(jīng)過點A，交拋物線C1于另一點B請你在線段AB上取點P，過點P作直線PQy軸交拋物線C1于點Q，連接AQ 若APAQ，求點P的橫坐標 若PAPQ，直接寫出點P的橫坐標（3） 如圖2，MNE的頂點M、N在拋物線C2上，點M在點N右邊，兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行若MNE的面積為2，設(shè)M、N兩點的橫坐標分別為m、n，求m與n的數(shù)量關(guān)系 【解題過程】（1）先向左平移1個單位，在向上平移4個單位（2）kAB和A（3，0）易求AB：yAPAQ，PQAOPAOQAOAQ：y聯(lián)立得設(shè)P（t，）則Q（t，）易求：PQ，PAPAPQ （3）設(shè)ME：聯(lián)立則同理：

18、化簡得：25（2019黃岡）如圖在平面直角坐標系xOy中，已知A(2，2)，B(2，0)，C(0，2)，D(2，0)四點，動點M以每秒個單位長度的速度沿BCD運動(M不與點B、點D重合)，設(shè)運動時間為t(秒).(1)求經(jīng)過A、C、D三點的拋物線的解析式；(2)點P在(1)中的拋物線上，當M為BC的中點時，若PAMPBM，求點P的坐標；(3)當M在CD上運動時，如圖.過點M作MFx軸，垂足為F，MEAB，垂足為E.設(shè)矩形MEBF與BCD重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(4)點Q為x軸上一點，直線AQ與直線BC交于點H，與y軸交于點K.是否存在點Q，使得HOK為等腰三角

19、形?若存在，直接寫出符合條件的所有Q點的坐標；若不存在，請說明理由.【解題過程】28（2019隴南）如圖，拋物線yax2+bx+4交x軸于A（3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PMx軸，垂足為點M，PM交BC于點Q試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點P作PNBC，垂足為點N請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？ 解：（1）由二次

20、函數(shù)交點式表達式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）= ax2ax12a，拋物線yax2+bx+4，12a4，解得：a，拋物線的表達式為yx2+x+4；（2）存在，理由：點A、B、C的坐標分別為（3，0）、（4，0）、（0，4），則AC5，AB7，BC4，OABOBA45，將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直線AC的表達式為：yx+4，設(shè)直線AC的中點為P（，4），過點P與CA垂直直線的表達式中的k值為，同理可得過點P與直線AC垂直直線的表達式為：yx+，當ACAQ時，如圖1，則ACAQ5，設(shè)：QMMBn，則AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n22

21、5，解得：n3或4（舍去4），故點Q（1，3）；當ACCQ時，如圖1，CQ5，則BQBCCQ45，則QMMB，故點Q（，）；當CQAQ時，聯(lián)立并解得：x（舍去）；故點Q的坐標為：Q（1，3）或（，）；（3）設(shè)點P（m，m2+m+4），則點Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）m2+m，0，PN有最大值，當m時，PN的最大值為：1. （2019湖州）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)AC，OA3，tanOAC，D是BC的中點（1）求OC的長及點D的坐標；（2）如圖2，M是線段OC

22、上的點，OMOC，點P是線段OM上的一個動點，經(jīng)過P，D，B三點的拋物線交x軸的正半軸于點E，連結(jié)DE交AB于點F將DBF沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時BF的長和點E的坐標；以線段DF為邊，在DF所在的直線的右上方作等邊DFG，當動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動，請直接寫出點G的運動路徑的長【思路分析】（1）RtAOC中，由正切三角函數(shù)，可求OC的長；再由矩形的性質(zhì)及線段中點的定義鎖定點D的坐標（2）由翻折可知DBDC，從而DCA30通過解直角三角形得到FAFB，在RtAEF中，AEAFtanAFE，從而求得點E的坐標按一找點G的運動起點與終點，從而找到點G的路徑，

23、二求該路徑的長即可鎖定答案如答圖2和答圖3，表示動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動時的起點、與終點的位置，G點的路徑是一條線段【解題過程】（1）在RtAOC中，由tanOAC，OA3，得OCOAtanOAC3 四邊形OABC是矩形，點D為BC的中點，D(，) （2）如答圖1，易知OACACB30而由折疊可知DBDC，從而DCA30BDF30DFBAFE60RtDBF中，易求BFAFABBFRtAEF中，AEAFtanAFEOE，E(，0)綜上，BF的長為，點E的坐標為E(，0)第24題答圖3第24題答圖2第24題答圖1【知識點】矩形性質(zhì)；解直角三角形；翻折（軸對稱）；等腰三角形；等邊三角

24、形；二次函數(shù)；動態(tài)問題；數(shù)形結(jié)合思想；探究性問題；壓軸題；原創(chuàng)題2. （2019天津）在平面直角坐標系中，O為原點，點A(6，0),點B在y軸的正半軸上，ABO=30，矩形CODE的頂點D,E,C分別在OA,AB,OB上，OD=2.（1）如圖，求點E的坐標；（2）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形CODE,點C,O,D,E的對應(yīng)點分別為C,O,D,E,設(shè)OO=t,矩形CODE與ABO重疊部分的面積為S如圖，當矩形CODE與ABO重疊部分為五邊形時，CE,ED分別與AB相交于點M,F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；當時，求t的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）【思路分析】(1)由

25、題意知OA=6，OD=2，AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以點E的坐標為（2，）由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根據(jù)EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因為重疊部分是五邊形，所以t的取值范圍是0t2；當S=時，=，此時t=，所以重疊部分不是五邊形；當S=時，=，此時t=，所以重疊部分不是五邊形；當2t4時，重疊部分是四邊形如圖所示，當4t6時，重疊部分是三角形如圖所示.當2t4時,當4t6時,所以，當S=時，此時t=4.5,不在2t4范圍

26、內(nèi)；當S=時，此時t=2.5；當S=時，此時t=，綜上所述，t的取值范圍是2.5t； 【解題過程】(1)A（6,0），OA=6，OD=2,AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以點E的坐標為（2，）(2)由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根據(jù)EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因為重疊部分是五邊形，所以t的取值范圍是0t0，a0，b0；（2）過點 D 作 DMy軸于M，則DMAO， DM =AO，設(shè) A（-2m，0）(m0)，則 AO=2m，DM

27、=m.OC=4，CM=2，D（m，-6），B（4m，0），設(shè)對稱軸交x軸于N，則DNy軸， DNBEOB，OE=8，SBEF = 44m =8， m =1，A（-2，0），B（4，0），設(shè) y = a(x + 2)(x - 4)，即 y= ax 2-2ax- 8a，令 x=0，則 y=-8a，C（0，-8a），-8a=-4，a=， y = x2- x -4.易知：B（4m，0），C（0，-4），D（m，-6），由勾股定理得 CB2 =16m2 +16，CD2 = m 2 +4，DB2 = 9m2 + 36.9m 2 +36+16m2 +16 m2 +4，CB2 + DB2CD2，CB D為銳角

28、，故同時考慮一下兩種情況：1當CDB 為銳角時，CD2 + DB2CB2，m2 +4 + 9m 2 +3616m2 +16 ，解得 -2m2，2當BCD 為銳角時，CD2 +CB 2DB 2， m2 +4 +16m2 +16 9m 2 +36，解得 m或m-（舍），綜上： m2 ，22m4， 2OA4.第27題答圖【知識點】二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形判定與性質(zhì)；銳角三角形的判定；數(shù)形結(jié)合思想9 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考數(shù)學(xué)（解析版）分類匯編精品分類匯編，合作共贏！組織者：倉猛 .（2019岳陽）如圖1，AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：

29、的圖象上，點A的橫坐標為4，點B的縱坐標為2（點A在點B的左側(cè)）（1）求點A、B的坐標；（2）將AOB繞點O逆時針轉(zhuǎn)90得到AOB，拋物線F2：經(jīng)過A、B兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，連接OM、AM，求OAM的面積；（3）如圖2，延長OB交拋物線F2于點C，連接AC，在坐標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由 【思路分析】（1）分別將A點橫坐標和B點縱坐標代入拋物線F1可得；（2）通過A、B的坐標求出拋物線F2的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點M在對稱軸上求出點M的橫坐標；延長AM交x軸于點N

30、，則AMN為等腰直角三角形，求出N點坐標，進一步求出直線AN的解析式，得到點M的坐標，最后利用SAOM SAONSOMN求解（3）根據(jù)點在直線OB和拋物線F2上求出點C的坐標，得到AC的長度及OAC的度數(shù)，根據(jù)兩邊成比例并且夾角相等證明三角形相似，分兩種情況討論求點D的坐標【解題過程】（1）將x=4代入，得：，A（4，4）將y=2代入，得：，解得：x1=1，x2=6點A在點B的左側(cè)，B（1，2）（2）由旋轉(zhuǎn)可知：A（4，4），B（2，1）代入拋物線，得：解得：拋物線F2：對稱軸為：延長AM交x軸于點N，點A恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，OAM=90A（4，4），AON=45 AON為等腰直角三角形

31、ON=42=8N（8，0）設(shè)直線AN：y=mxn則解得：y=x8當x=6時，y=2M（6，2）SAOM SAONSOMN 8所以，OAM的面積為8（3）設(shè)直線OB解析式為：y=kx，代入B（2，1），得：2k=1設(shè)直線OB解析式為：解方程組：得：，B（2，1）C（8，4）A（4，4），ACx軸，AC=84=4，OAC=135若以A、O、D為頂點的三角形與OAC相似則AOD必有一個鈍角135，故點O與點A是對應(yīng)頂點所以點D在x軸或y軸正半軸上OA=OA=若AODOAC，則OD=AC=4此時點D的坐標為（4，0）或（0，4）若AODCAO，則OD=8此時點D的坐標為（8，0）或（0，8）由可知，坐

32、標軸上存在點D，其坐標分別為（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）【知識點】二次函數(shù)綜合，圖形的旋轉(zhuǎn)，求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定，存在性問題，分類討論思想10. （2019懷化）如圖，在直角坐標系中有RtAOB，O為坐標原點，OB=1，tanABO=3，將此三角形繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90，得到RtCOD，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象剛好經(jīng)過A，B，C三點.求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；過定點Q的直線l：y=kx-k+3與二次函數(shù)圖象相交于M，N兩點.若SPMN=2，求k的值；證明：無論k為何值，PMN恒為直角三角形當直線l繞著定點Q旋轉(zhuǎn)時，PMN外接圓圓心在一條拋物線上

33、運動，直接寫出拋物線的表達式.【思路分析】（1）根據(jù)題意分別求出點A和點C的坐標，并把坐標代入y=-x2+bx+c，解出b和c的值即可，進而得出頂點P的坐標；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），首先求出定點Q的坐標，然后根據(jù)SPMN=PQ(x2-x1)得出x1和x2的數(shù)量關(guān)系，最后聯(lián)立方程y=-x2+2x+3與方程y=kx-k+3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=2-k，x1x2=-k，進而求出k的值；過點P作PGx軸，垂足為G，分別過點M、N作PG的垂線，垂足分別為E、F，首先表示出線段PE，ME，PF，NF，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanPAE與tanFPN，根據(jù)x1+x2

34、=2-k，x1x2=-k，可得1-x1=，進而推出tanPAE=tanFPN，進而證明出結(jié)論；設(shè)線段MN的中點（x，y），由可得MN的中點為（，）進而得出拋物線方程.【解題過程】（1）解：OB=1，tanABO=3，OA=OBtanABO=3，A（0，3）.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得RtAOBRtCOD，OC=OA=3，C（3，0），根據(jù)題意可得，解得，二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3，頂點坐標P（1，4）（2）解：由直線l的方程y=kx-k+3可得定點Q（1，3），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則SPMN=PQ(x2-x1)=2，x2-x1=4.聯(lián)立y=-x2+2x+3與y=kx-k+

35、3可得x2+(k-2)x-k=0，x1+x2=2-k，x1x2=-k，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=k2+4=16，k=.證明：過點P作PGx軸，垂足為G，分別過點M、N作PG的垂線，垂足分別為E、F.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）.M，N在二次函數(shù)y=-x2+2x+3圖象上，y1=-x12+2x1+3，y2=-x22+2x2+3.P（1，4），PE=4-y1=4+x12-2x1-3=(x1-1)2，ME=1-x1，PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2，NF=x2-1，tanPAE=，tanFPN=.由可知x1+x2=2-k，x1x2=-k，x1+x2

36、=2+x1x2，(1-x1)(x2-1)=1，1-x1=，tanPAE=tanFPN，PAE=FPN.PAE+APE=90，F(xiàn)PN+APE=90，即APN=90，無論k為何值，PMN恒為直角三角形.解：設(shè)線段MN的中點（x，y），由可得MN的中點為（，），化簡，得y=-2x2+4x+1.拋物線的表達式為y=-2x2+4x+1.【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，銳角三角函數(shù)的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點坐標公式25（2019山東省德州市，25，14）如圖，拋物線ymx2mx4與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，與y軸交于點C，且x2x1（1

37、）求拋物線的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上的兩點，當ax1a+2，x2時，均有y1y2，求a的取值范圍；（3）拋物線上一點D（1，5），直線BD與y軸交于點E，動點M在線段BD上，當BDCMCE時，求點M的坐標【思路分析】（1）函數(shù)的對稱軸為：x，而且x2x1，將上述兩式聯(lián)立并解得：x1，x24，從而求出拋物線的解析式；（2）由（1）知，函數(shù)的對稱軸為：x，則x和x2關(guān)于對稱軸對稱，故其函數(shù)值相等，結(jié)合函數(shù)圖象求出a的取值范圍；（3）確定BOC、CDG均為等腰直角三角形來求解【解題過程】解：（1）函數(shù)的對稱軸為：x，而且x2x1，將上述兩式聯(lián)立并解得：x1，x24

38、，則函數(shù)的表達式為：ya（x+）（x4）a（x24x+x6），即：6a4，解得：a，故拋物線的表達式為：yx2x4；（2）由（1）知，函數(shù)的對稱軸為：x，則x和x2關(guān)于對稱軸對稱，故其函數(shù)值相等，又ax1a+2，x2時，均有y1y2，結(jié)合函數(shù)圖象可得：，解得：2a；（3）如圖，連接BC、CM，過點D作DGOE于點G，而點B、C、D的坐標分別為：（4，0）、（0，4）、（1，5），則OBOC4，CGGC1，BC4，CD，故BOC、CDG均為等腰直角三角形，BCD180OCBGCD90，在RtBCD中，tanBDC4，BDCMCE，則tanMCE4，將點B、D坐標代入一次函數(shù)表達式：ymx+n并解

39、得：直線BD的表達式為：yx，故點E（0，），設(shè)點M（n，n），過點M作MFCE于點F，則MFn，CFOFOC，tanMCE4，解得：n，故點M（，）26（2019山東濱州，26，14分）如圖，拋物線yx2+x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，C，將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，所得直線與x軸交于點D（1）求直線AD的函數(shù)解析式；（2）如圖，若點P是直線AD上方拋物線上的一個動點當點P到直線AD的距離最大時，求點P的坐標和最大距離；當點P到直線AD的距離為時，求sinPAD的值【思路分析】（1）根據(jù)拋物線yx2+x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，C，可以求得點A、B、C的坐標，再根據(jù)將直

40、線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，所得直線與x軸交于點D，可以求得點D的坐標從而可以求得直線AD的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得點P到直線AD的距離最大值，進而可以得到點P的坐標；根據(jù)中關(guān)系式和題意，可以求得點P對應(yīng)的坐標，從而可以求得sinPAD的值【解題過程】解：（1）當x0時，y4，則點A的坐標為（0，4），1分當y0時，0 x2+x+4，解得x14，x28，則點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（8，0），OAOB4，OBAOAB45將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到直線AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，點D的坐標為（4，0）2分設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為ykx+b，得，即直線AD的函數(shù)解析式為yx+44分（2）作PNx軸交直線AD于點N，如右圖所示，設(shè)點P的坐標為（t，t2+t+4），則點N的坐標為（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，6分P