《離散數(shù)學(xué)》第一章至第七章-習(xí)題詳解

1、(2離學(xué)課后練習(xí)題答1、是命題的國(guó)家蒂品課程主講教捌皿僦於耿索云菲上訃冊(cè)、（）、（）、（6）H、（）、（$高等教育出版社蔘命題題邏輯基.本概念希PrRfls普通高等教育”十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材是簡(jiǎn)單命題的為（）、（）、（）、（）、（3是真命題的為（）、（）、（）、（）、（）真是值現(xiàn)在不知道的為（13是、3略將.下列命題符號(hào)化，并指出真值：（）pAq,其中，p是素?cái)?shù)，q是素?cái)?shù)，真值為；（）pAq,其中，p：是無(wú)理數(shù)，q自然對(duì)數(shù)的底是無(wú)理數(shù),真值為；（）pAqq,其中，p是最小的素?cái)?shù)，q是最小的自然數(shù),真值為；（）pAq,其中，p是素?cái)?shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）npAqq,其中，p是素?cái)?shù)，q是偶數(shù)，

2、真值為將下列命題符號(hào)化，并指出真值：（）pVq,其中，p是偶數(shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）pVq,其中，p是偶數(shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）pVqq,其中，p是偶數(shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）pVq,其中，p是偶數(shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）npVqq,其中，p是偶數(shù)，q是偶數(shù)，真值為；（）GpAq）V（pArq）,其中，小麗從筐里拿一個(gè)蘋果，q：小麗從筐里拿一個(gè)梨;（）（pAqq）V（npAq），其中，p：劉曉月選學(xué)英語(yǔ)，q：劉曉月選學(xué)日語(yǔ)；因?yàn)閜與q不能同時(shí)為真設(shè)p記為記可以用多種方法證明*為重言式，下面用等值演算法證明：使用了交換律pq!r)o(VqVqr-qVqVVqAVqVqOqVVqAq都是負(fù)數(shù)O

3、qVVqAq設(shè)兩數(shù)之積為負(fù)數(shù)，兩數(shù)種恰有一個(gè)負(fù)數(shù)，：推理的形式結(jié)構(gòu)為pAqrqAqO-qpVqVAqpr-qqAqrVOqrqAq使用了吸收律OVqAq由于主析取范式中只含有個(gè)極小項(xiàng)，故推理不正確略.證.明的命題序列可不惟一，下面對(duì)每一小題各給出一個(gè)證明pq前提引入P前提引入假言推理前提引入假言推理前提引入前提引入置換前提引入析取三段論前提引入拒取式前提引入置換V置換置換置換一rr2）證明：TOC o 1-5 h zAnVqqpqp3）證明：pqqVqq（pVq）AqpV（AqfV.（證明1）：S結(jié)論否定引入前提引入假言推理一q前提引入q假言推論q前提引入r假言推理2）證明：p附加前提引入pr

4、q附加r）-r前提引入r假言推理s化簡(jiǎn)rst附加r）u前提引入拒取式（證明1）：pnr=rrrr結(jié)論否定引入前提引入假言推理前提引入析取三段論前提引入化簡(jiǎn)rN2)證明：rrrVrrrrprpqrqrpNrqr(Vpq)口pVq(11)口rV合取結(jié)論否定引入置換化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)前提引入拒取式前提引入拒取式合取置換前提引入AV口合取7設(shè)：到過(guò)受害者房間，在點(diǎn)以前離開(kāi)，：犯謀殺罪,：看門人看見(jiàn)過(guò)A前提：Ar結(jié)論：證明：q前提引入rs前提引入rq拒取式前提引入Pr合取（An）-前提引入假言推理（）設(shè)：今天是星期六，q我們要到頤和園玩，s頤和園游人太多。前提：一V一n結(jié)論：證明：一n前提引入s前提引入nq假言推

5、理p前提引入pV前提引入V假言推理析取三段論（）設(shè)小王是理科學(xué)生，q小王數(shù)學(xué)成績(jī)好，r小王是文科學(xué)生。前提：一nn結(jié)論：證明：p前提引入前提引入r拒取式前提引入拒取式返回r拒取式r拒取式第四章(一階)謂詞邏輯基本概念本章自測(cè)答案(1)x(F(x)人rG(x)o*x(F(x)G(x)，其中,F(x)：x是有理數(shù),G(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)；rx(F(x)G(x)x(F(x)AqG(x),其中,F(x):x在北京賣菜,G(x):x是外地人；x(F(x)G(x)，其中,F(x):x是烏鴉,G(x):x是黑色的；xF(x)AG(x),其中,F(x):x是人,G(x):x天天鍛煉身體。因?yàn)楸绢}中沒(méi)有指明個(gè)

6、體域，因而使用全總個(gè)體域。.(1)x5(F(x)AG(y)H(x,y),其中,F(x):x是火車,G(y):y是輪船,H(x,y):x比y快；兀片(F(x)AG(y)H(x,y),其中,F(x)：x是火車,G(y)：y是汽車，H(x,y):x比y快；x(F(x)Ay(G(y)H(x,y)ox(F(x)y(G(y)AqH(x,y),其中,F(x)：x是汽車,G(y):y是火車,H(x,y)：x比y快;r*x(F(x)*y(G(y)H(x,y)O日y(F(x)AG(y)AH(x,y),其中,F(x)：x是汽車,G(y)：y是火車,H(x,y)：x比y慢。各命題符號(hào)化形式如下：(1y(x.y0)日x

7、y(x.y0)(3y(yx1)(4y(x.yyx)xj(x.)xt(xy=x+y)y0).(1對(duì)任意數(shù)的實(shí)數(shù)X和y,若Xy,則X工y；對(duì)任意數(shù)的實(shí)數(shù)x和y,若x-y0則xy；對(duì)任意數(shù)的實(shí)數(shù)x和y,若xy,則x-y#0；對(duì)任意數(shù)的實(shí)數(shù)x和y,若x-y0,則xy.其中,(1)(3)真值為1(2)與(4)真值為0.(1)、(4)為永真式,(2)、(6)為永假式,(3)、(5)為可滿足式。這里僅對(duì)、(4)、(給出證明。取解釋為：個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合,F(x,y)xWy,在。下，王F(x,y)為真，而3yF(x,y)也為真(只需取x(即可)，于是(3)中公式為真，取解釋為：個(gè)體域仍為自然數(shù)集合而F(x,y

8、)：xy此時(shí)，燈xyF(x,y)為真(取y為x即可)，可是3yF(x,y)為假,于是中公式在下為假,這說(shuō)明(3)中公式為可滿足式。設(shè)為任意一個(gè)解釋，若在下，蘊(yùn)涵式前件xyF(x,y)為假，則日術(shù)yF(x,y)燈y日xF(x,y)為真,若前件日xyF(x,y)為真,必存在的個(gè)體域1中的個(gè)體常項(xiàng)X。,使燈yF(X,y)為真,并且對(duì)于任意y1,F(X0,y)為真，由于有X0Z,F(X0,y)為真，所以日xF(x,y)為真,又其中y是任意個(gè)體變項(xiàng)，所以WxF(x,y)為真，由于的任意性，所以(4)中公式為永真式(其實(shí),次永真式可用第五章的構(gòu)造證明法證明之)。(取解釋為：個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合,F(x,y)

9、：x=丫在下，(中公式為真，而將F(x,y)改為F(x,y)：xy,(中公式就為假了，所以它為可滿足式。(1)取解釋為：個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合，F(xiàn)(x)：x為奇數(shù)，G(x)：x為偶數(shù)，在下，x(F(x)VG(x)為真命題。取解釋為：個(gè)體域?yàn)檎麛?shù)集合，F(xiàn)(x)：x為正整數(shù)，G(x)：x為為負(fù)整數(shù)，在下，x(F(x)VG(x)為假命題。與(3)可類似解答。提示：對(duì)每個(gè)公式分別找個(gè)成真的解釋，一個(gè)成假的解釋。返回第五章謂詞邏輯等值演算與推理本章自測(cè)答案2.(1)(F(a)AF(b)AF(c)A(G(a)VG(b)VG(c)(2)(F(a)AF(b)AF(c)V(G(a)AG(b)AG(c)(3)(F(a

10、)AF(b)AF(c)f(G(a)AG(b)AG(c)(4)(F(a,y)VF(b,y)VF(c,y)f(G(a)VG(b)VG(c)提示：先消去量詞，后求真值，注意，本題3個(gè)小題消去量詞時(shí)，量詞的轄域均不能縮小，經(jīng)過(guò)演算真值分別為：1,0,1.的演算如下：VyF(x,y)Ox(F(x,3)VF(x,4)o(F(3,3)VF(3,4)A(F(4,3)VF(4,4)O1A1O1乙說(shuō)得對(duì)，甲錯(cuò)了。本題中，全稱量詞的指導(dǎo)變?cè)獮閤，轄域?yàn)?F(x)fG(x,y),其中F(x)與G(x,y)中的x都是約束變?cè)蚨荒軐⒘吭~的轄域縮小。演算的第一步，應(yīng)用量詞轄域收縮與擴(kuò)張算值式時(shí)丟掉了否定聯(lián)結(jié)詞“r”。

11、演算的第二步，在原錯(cuò)的基礎(chǔ)上又用錯(cuò)了等值式，即(F(x)A(G(y)fH(x,y)#(F(x)AG(y)-H(x,y)公式的前束范式不唯一，下面每題各給出一個(gè)答案。y(F(x)fG(z,y);t(x,y)fG(x,t,z);(3)(4)廠x4(F&,y)fG嚴(yán)，y)A(G(%y)fF(x4,y););(1y(F(x)(2y(F(x)(3y(F(x)(4)Py(F(x)(1)對(duì)F(x)f琳5(F(fG(y)f(H(用一L(竿用盧小亞(Fl/E)f(F1)frGU).AG(y)AH(x,y),其中，F(xiàn)(x)x是汽車，G(y)：y是火車，H(x,y)：x比y跑的快;AG(y)fH(x,y),其中，F(xiàn)

12、(x)x是火車，G(y)：y是汽車，H(x,y)：x比y跑的快;AG(y)ArH(x,y),其中，F(xiàn)(x)x是火車，G(y)：y是汽車，H(x,y)：x比y跑的快;AG(y)frH(x,y),其中，F(xiàn)(x)x是飛機(jī)，G(y):y是汽車，H(x，y):x比y慢;xG(x)不能使用規(guī)則，它不是前束范式，首先化成前束范式。F(x)fxG(x)x(F(y)fG(x)因?yàn)榱吭~轄域(F(y)fG(x)中，除x外還有自由出現(xiàn)的y,所以不能使用規(guī)則。對(duì)xF(x)fyG(y)也應(yīng)先化成前束范式才能消去量詞，其前束范式為xy(F(x)-G(y),要消去量詞，既要使用規(guī)則，又要使用規(guī)則。在自然推理系統(tǒng)F中(規(guī)則為A

13、(c)/.日X(x)其中C為特定的個(gè)體常項(xiàng)，這里A(y)=F(y)-G(y)不滿足要求。這里，使F(a)為真的a不一定使G(a)為真，同樣地使G(為真的不一定使卩(為真，如，F(xiàn)(x)x為奇數(shù)，G(x)x為偶數(shù)，顯然肛3)AG為真，但不存在使F(x)AG(x)為真的個(gè)體。(這里c為個(gè)體常項(xiàng)，不能對(duì)F(c)-G(c)引入全稱量詞。證明：xF(x)前提引入3xF(x)-y(F(y)VG(y)-R(y)前提引入*y(F(y)VG(y)R(y)假言推理F(c)EI(F(c)VG(c)-R(c)UIF(c)VG(c)附加R(c)3xR(x)(證明xF(x)燈x(F(x)-G(a)AR(x)F(c)F(c)

14、-G(a)AR(a)假言推理EG前提引入前提引入EIUIG(a)AR(c)R(c)假言推理化簡(jiǎn)F(c)AR(c)x(F(x)AR(x)證明：rxF(x)燈xqF(x)rF(c)燈x(F(x)VG(x)F(c)VG(c)F(c)3xF(x)(4)證明燈x(F(x)VG(x)F(y)VG(y)x(qG(x)VqR(x)nG(y)qR(y)xR(x)R(y)hG(y)F(y)xF(x)合取EG前提引入置換UI前提引入U(xiǎn)I析取三段論EG前提引入U(xiǎn)I前提引入U(xiǎn)I前提引入U(xiǎn)I析取三段論析取三段論UG7本題不能用附加前提證明法.0.(與1()2)均可用附加前提證明法。設(shè)F)(x)：x為偶數(shù)，G(x)x能被整

15、除。前提：x(F(x)-G(x)，F(xiàn)()結(jié)論：G()(設(shè)F(x)：x是大學(xué)生，G(x)x是勤奮的，a：王曉山。前提：x(F(x)fG(x),G(a)結(jié)論：F(a)設(shè)F)(x)：x是有理數(shù)，G(x)x是實(shí)數(shù)，H(x)：x是整數(shù)。前提：x(F(x)-G(x)，x(F(x)AH(x)結(jié)論：x(G(x)AH(x)證明提示：先消存在量詞。設(shè)F(x)：x是有理數(shù)，G(x)x是無(wú)理數(shù)，H(x)：x是實(shí)數(shù)，I(x)：x是虛數(shù)。前提:x(F(x)VG(x)H(x)，x(I(x)fH(x)結(jié)論：x(I(x)f(rF(x)ArG(x)證明*x(I(x)f(H(x)I(y)H(y)前提引入U(xiǎn)Ibx(F(x)VG(x)

16、-H(x)(F(y)VG(y)H(y)rH(y)f(F(y)AG(y)I(y)f(F(y)AG(y)前提引入U(xiǎn)I置換假言三段論x(I(x)GF(x)AG(x)UG設(shè)F(x)：x喜歡步行，G(x)：x喜歡騎自行車，H(x)：x喜歡乘汽車。前提：xGF(x)fG(x)，x(G(x)VH(x)，xqH(x)結(jié)論:xqF(x)證明日xH(x)hH(c)前提引入U(xiǎn)Ix(G(x)VH(x)G(c)VH(c)G(c)前提引入U(xiǎn)I析取三段論燈x(F(x)G(x)F(c)fG(c)qF(c)日xF(x)前提引入U(xiǎn)I拒取式UG設(shè)F(x)：x是科學(xué)工作者，G(x)：x是刻苦鉆研的，H(x)：x是聰明的，I(x)：x

17、在事業(yè)中獲得成功。前提：x(F(x)fG(x)，*x(G(x)AH(x)fI(x)，a：王大海，F(xiàn)(a)，H(a)結(jié)論：I(a)證明F(a)前提引入bx(F(x)-G(x)F(a)fG(a)前提引入U(xiǎn)IG(a)假言推理H(a)前提引入燈x(G(x)AH(x)fI(x)G(a)AH(a)-I(a)G(a)AH(a)前提引入U(xiǎn)I合取I(a)假言推理返回第六章集合代數(shù)本章自測(cè)答案4.(1)(2)(3)(4)(5)只有(2)為真，其余為假。4(2)1,3,5,6(3)2,3,4,5,；(4),1；(5)4,1,4(1)；(2)1,4,522.(2)、(3)、(4)、(8)、(1為真，其余為假。24.(

18、1)為真，其余為假，因?yàn)?PQ)=PPQQ=PCQn0=PAQ(2)(3)(4)的反例：P=1；Q=22.(-B)U(B-A)=(ACb)u(BaSa)=(AUB)A(SbuB)A(AuSa)a(SbuSa)=(aub)aeaS(aab)=(AUB)(AAB)2.(1)(ABC=ASbaSc=aaS(buc)=A(BUC)(2)(AC)(Cs(bsc)=aaSca(sbuc)=(Ancnsb)u(aaScnc)=ACSAC=(A-B)C(3)(A-BC=AaSbaSc=AAScab=(A-C)-B28.(1)AA(BUSa)=(AnB)U(AA)=(AAB)U=AAB=BAAs(SauSb)a

19、Sa)=(Saub)U=(AnB)UA=AU(BA)由第2題有(AB)U(BA)=(AUB)-(AAB)，故(AB)U(Ba)auB。假若3xGAAB，那么xAUB，因此x芒(AUB)(AAB)，與(AB)(AUB)(AAB)=AUB矛盾.ABo*x(xWAfxWB)Ox(x芒Bx芒A)Ox(xWBfxsA)qSa侶BnsauaAUBnAUB而SauFe，因此A匸Bn“AUB=E反之，SauB=EnAA(SauB)=AnAAB=An店B綜合上述，ABqSAUB=E店BnAB=nABB-、匚，、匚CC反之ABBn(AB)UBBnAUB_BnAUB=BnA_B綜合上述A匚BOABB31任取x,xA

20、nxA=P(A)=年P(guān)(B)二xnxB，這可先證AABnAAB,任取x,xCnxCAxeCnxAAxBnxAUB,從而得至UCAUB.再證AABnAAC以由匸aaba,匸aaFb得到。FqnPQ=npQP，反之，PQPnPn(PQPAPnPQ=npQ令=，則有回UY凹，即Y=0.ABnAUa匚buanFbua因?yàn)镋為全集,BuSae綜合上述BA=E.3由AABAC,ACBC利用AUBUD有：(AAC)U(AC)(BAC)U(BC)n(AAC)U(AASc)匚(BAC)U(BASc)n(AA(CuSc)匚(BA(CuSc)nAAEBAEnA匚B37.恒等變形法B=BC(BUA)=BC(AB)=B

21、C(AC)=(BCA)U(BCC)=(ACC)U(BCC)=(AUB)nc=(Auc)nc=c任取x,有xGP(A)nxAnxBnxWP(B),因此P(A)匚P(B).(任取x有xWP(A)nP(B)OxP(A)AxGP(B)OxAAxBOx匚AnBOxWP(AnB)(2)任取x有xGP(A)UP(B)OxGP(A)VxGP(B)OxAAxBnAUBOxGP(AUB)注意與(的推理不同，上面的推理中有一步是“n”符號(hào)，而不是“o”符號(hào)。反例如下：A=B=2，貝P(A)UP(B)=円，,2P(AUB)=,2,2返回第七章二元關(guān)系本章自測(cè)答案(1)任取,有e(AnB)X(CnD)xAnBAyGCn

22、DOxGAAxgBAyGCAygDO(xGAAyGC)A(xGBAyGD)OGAXCAGBXDOG(AXC)n(BXD)(2)都為假,反例如下:A=1,B=1,2,C=2,D=3(為假，反例如下A=,B=,C=2為真，證明如下任取x,y有GAX(BnC)X(CnD)OxGAnBAyGBAyGCO(xGAAyGB)A(xGAAyGC)Ox,yGAXBAx,yGAXCOx,yG(AXB)n(AXC)為真，令A(yù)=回即可為假，反例如下A=0IA.=2,2,3,3,4,41=2.3，2,4，3,2，3,4，4,2，4,3ULA=2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4DA=2,2,2,4,3,3,

23、4,49.(1)1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,42,6,4,1,4,2,4,4,4,66,1,6,2,6,46,6(2)1,2,2,1;1,1,2,1,4,1,6,1,2,2,4,2,4,4,6,61,2,2,2,4,2,6,2（略）ACB=1,2，2,4，3,3，1,3，4,2,AnB=2,4domA=l,2,3,domB=l,2,4,dom（AUB）=1,2,3,4ranA=2,3,4,ranB=2,3,4,ran（AUB）=4,fld（AB）=1,2,3RR=0,2，0,3，1,31R=1,0，2,0，3,0，2,1，3,1，3,2rRi0,1=0,1,0,2,0,3,1,

24、2,1,3R1,2=2,31.（1）F（GUH）=FGUFH任取x,y，有x,yWF（GUH）Ot（x,tWFAt,yWGUH）O日t（x,tWFA（t,yWGVt,yWH）t（x,tWFAt,yWG）V（x,tWFAt,yWH）0日t（x,tWFAt,yWG）V日t（x,tWFAt,yWH）ox,tFGVx,tFHOx,yWFGUFH(2)和(4)類似可證1.（2任取y,有yWRTUWomx（xWTUWAx,yWR）O日x（xWTVxWW）人x,yWRx（xWAAx,yWR）V（xWWAx,yWR）O日x（xWTAx,yWR）V日x（xWWAx,yWR）OyWRTVyWRWOyWRTnRW（

25、3）任取x,y,有r-x,yWFi（AnB）OxWAnBWFOxWAAxWBAx,yWFO（xWAAx,yWF）（xWBAx,yWF）hhOx,yWFAAx,yWFBFox,yWFAnFB(1)任取x,y，有R_R_x,yW(U)二y,xWUR.Ox,ywVy,xwR_-iRp-iOx,ywVx,ywR-_1Rn_1Ox,ywU(2)和(1)類似可證.只有對(duì)稱性，因?yàn)?+1工10,1,1芒R,R不是自反的，又由于5,5WR，因此R不是反自反的，根據(jù)xRyOx+y=10=yRx，可知R是對(duì)稱的，又由于1,，都是屬于R,因此R不是反對(duì)稱的，1,，都屬于R,如果R是傳遞的，必有1,1屬于R.但這是不

26、成立的，因此R也不是傳遞的.22.(1)關(guān)系圖如圖7.15所示;(P148)(2)具有反自反性、反對(duì)稱性、傳遞性.26.（1）R=3,3,3,1,3,5,=3,3,3,1,3,5(2)r(R)=1,1,1,5,2,2,2,5,3,3,3,1,4,4,4,5,5,5,6,6(R)=1,5,5,1,2,5,5,2,3,3,3,1,1,3,4,5,5,4T(R)=1,5,2,5,3,3,3,1,3,5,4,531.(1)R=2,3，3,2，2,4，4,2，3,4，4,3U；(2)R；(3)R.32不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)?,1R,R不是自反的；2不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)镽不是傳遞的，1R3,3R2但是沒(méi)有1R2；3不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)?,2R，R不是自反的；4不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)镽不是傳遞的。是等價(jià)關(guān)系。33關(guān)系圖如圖1說(shuō)示151d=c,d3現(xiàn)取x,有xWAnx,xwRnx,xwRAx,xwRinx,xwRAx,xwnx,xwRQR任取x,y，有x,y丘RAnGRAG1neAy,xwRny,xwRAR任取x,y，y,z，有x,yWRAAy,zWRAnx,ywRAx,ywAy,zwRAy,zwnx,y)ERAy,zGRAx,y)EAy,zw-i-inx,zwRAx