數學必修2一二章知識點整理(含習題)

1、高中數學必修2第一章 空間幾何體知識點梳理（一）空間幾何體的結構1. 多面體與旋轉體：多面體：棱柱、棱錐、棱臺；旋轉體：圓柱、圓錐、圓臺、球；另一種分類方式：柱體：棱柱、圓柱；椎體：棱錐、圓錐；臺體：棱臺、圓臺；球簡單組合體：一種是由簡單幾何體拼接而成，一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成。2. 棱柱：直棱柱 斜棱柱 正棱柱 三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等。棱柱的性質：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。3. 棱錐：三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐等等（1）棱錐的性質：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底

2、面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.（2）正棱錐的性質：正棱錐各側棱都相等，各側面都是全等的等腰三角形。正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高，側棱，側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形。正棱錐的側棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側面與底面所成的二面角都相等。4. 圓柱與圓錐：圓柱的軸 圓柱的底面 圓柱的側面 圓柱側面的母線5. 棱臺與圓臺：統稱為臺體（1）棱臺的性質：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對應邊互相平行的相似多邊形；側面是梯形；側棱的延長線相交于一點.（2）圓臺的性質：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長線交于一

3、點；母線長都相等.6. 球：球體 球的半徑 球的直徑. 球心（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖1.中心投影 平行投影 正投影2.三視圖的畫法：長對正、高平齊、寬相等。3.直觀圖：斜二測畫法，直觀圖中斜坐標系，兩軸夾角為；平行于x軸長度不變，平行于y軸長度減半。（三）空間幾何體的表面積和體積1.柱體、錐體、臺體表面積求法：利用展開圖2.柱體、錐體、臺體表面積體積公式，球體的表面積體積公式：幾何體表面積相關公式體積公式棱柱棱錐棱臺圓柱（r：底面半徑，l：母線長=h：高）圓錐（r：底面半徑，l：母線長）圓臺（r：下底半徑，r上底半徑，l：母線長）球體第二章 直線與平面的位置關系基礎梳理一、空間中直線與

4、直線之間的位置關系1 平面含義：沒有大小之分，沒有厚度，平面是平的且可以無限延展的2平面的基本性質(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內符號表示為(2)公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面若，則點A和確定平面推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面 若，則確定平面 推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面 若，則確定平面 (3)公理3：如果兩個平面(不重合的兩個平面)有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過

5、這個公共點的直線(4)公理4：（平行公理）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性） 四個作用(1)公理1的作用：判斷直線在平面內；由直線在平面內判斷直線上的點在平面內(2)公理2的作用：公理2及其推論的作用確定一個平面，判斷“直線共面”的方法(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點共線(3)公理4的作用：判斷空間兩條直線平行的依據。強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。(5) 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。 作用：該定理也叫等角定理，可以用來證明空間中的兩個角相等。3直線與直線的位置關系

6、(1)位置關系的分類空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線： 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。（既不平行，也不相交）注：判定異面直線的兩種方法：(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面(2)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)注意點：a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選

7、擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；三步驟：1、平移，轉化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解兩條異面直線所成的角取值范圍：0。,90。.當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；4直線與平面的位置關系有三種情況：在平面內有無數個公共點 符號 a 相交有且只有一個公共點 符號 a= A平行沒有公共點 符號 a說明：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a 來表示a5平面與平面的位置關系有平行沒有公共點： 符號 相交有一條公共直線: 符號 =a二、直線、平面平行的判定及其性

8、質1、直線和平面平行的判定判定直線和平面平行的方法(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；（2）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內找一條直線和平面外的直線平行就可以）簡記為：線線平行，則線面平行。 符號： 作用：判定直線和平面平行2直線和平面平行的性質定理：直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行. 符號: 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。3兩個平面平行的判定定理判斷兩平面平行的方法有三種：(1)定義：兩個平面沒有公共

9、點，稱這兩個平面平行；(2)平面與平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行. 符號： (3)推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行。符號表示：a ，b，abM，a，b，abM，aa，bb.（4）垂直于同一條直線的兩個平面平行。4兩個平面平行的性質定理（1）兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，則線線平行. 符號：作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行（2）補充性質1：平行于同一平面的兩平面平行； 補充性質2：

10、夾在兩平行平面間的平行線段相等； 補充性質3：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行； 1 2 3 5平行問題的轉化關系：注意：(1)在推證線面平行時，一定要強調一條直線不在平面內，一條直線在平面內，否則扣分.(2)把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行證明兩直線平行的主要方法是： 三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半； 平行四邊形的性質：平行四邊形兩組對邊分別平行； 線面平行的性質：如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線和它們的交線平行； 平行線的傳遞性： 面面平行的性質：如果一個平面

11、與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行； 垂直于同一平面的兩直線平行； 三、直線、平面垂直的判定及其性質1直線與平面垂直定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 簡記為：線線垂直，則線面垂直. 符號：性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 符號： 性質：垂直于同一直線的兩平面平行 符號：（4）推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面符號語言：ab, a，b2斜線和平面所成的角（1）斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角。（2）直線與平

12、面所成角的取值范圍為：0,903平面與平面垂直定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。 判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。（只需在一個平面內找到另一個平面的垂線就可證明面面垂直）簡記為：線面面垂直，則面面垂直. 符號：推論：如果一個平面平行于另一個平面的一條垂線，則這個平面與另一個平面垂直。符號語言 : aa，aa；性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。 簡記為：面面垂直，則線面垂直. 符號： 4垂直問題的轉化關系5二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2二面角的記法：二面角-l-或

13、-AB-等3二面角的平面角取值范圍：0,1804、求二面角大小的方法：定義法；垂面法；垂線法四、三類證法(1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90；（特別是證明異面直線垂直）；線面垂直的性質：a，bab；線面垂直的性質：a，bab.利用勾股定理證明兩相交直線垂直；利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”） (2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與內任何直線都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性質：，aa；面面垂直的性質：，l，a，ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義：兩個平面

14、相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.空間角及空間距離的計算1.異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在兩異面直線中的一條上取一點，過該點作另一條直線平行線，2. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是： 確構成二面角兩個半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個？ 而要想

15、明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。 （求空間角的三個步驟是“一找”、“二證”、“三計算”）4.點到平面的距離：指該點與它在平面上的射影的連線段的長度。如圖：O為P在平面上的射影，線段OP的長度為點P到平面的距離求法通常有：定義法和等體積法5、等體積法：如圖：1給出如下四個命題：棱柱的側面都是平行四邊形；棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個共同的公共點；多面體至少有四個面；棱臺的側棱所在直線均相交于同一點，其中命題正確的是（ D ） A1個B2個C3個D4個2、下列各組幾何體中是多面體的一組是（ C ）A 三棱柱 四棱臺 球 圓錐 B 三棱柱 四棱臺 正方體 圓臺C 三棱柱

16、 四棱臺 正方體 六棱錐 D 圓錐 圓臺 球 半球3、如果一個幾何體的正視圖和側視圖都是長方形，則這個幾何體可能是（ A ）A 長方體或圓柱 B 正方體或圓柱C 長方體或圓臺 D 正方體或四棱錐4. 右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積 是 ( D ) HYPERLINK A.9 B.10 C.11 D.12 HYPERLINK 解析：這是一個上面是以2為直徑的球，下面是以2為直徑，以3為高的圓柱拼接起來的組合體，分別代球的表面積和圓柱的表面積公式和計算而得。思考：將上式求表面積改為求體積又怎么求呢？5、若圓臺的上下底面半徑分別是1和3，它的側面積是兩底面面積的2倍，則

17、圓臺的母線長是（ ）A 2 B 2.5 C 5 D 106.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（ ）A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24CABDPA1B1C1D17、如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且PB1A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為（ B ）A B C 4 D 16 8、已知長方體一個頂點上三條棱分別是3、4、5，且它的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是（ C ）A B C D 9、棱長為，各面均為等邊三角形的四面體（正四面體）的表面積為體積為10、正方體表面積為，它的頂點都在球

18、面上，則這個球的表面積是11、下列有關平面的說法正確的是（ C ）A 一個平面長是10cm，寬是5cm B 一個平面厚為1厘米C 平面是無限延展的 D 一個平面一定是平行四邊形12、下列圖形不一定是平面圖形的是（ B ）A 三角形 B 四邊形 C 圓 D 梯形13、共點的三條直線可確定幾個平面 （ D ）A 1 B 2 C 3 D 1或314、不共線的四點可以確定1個或4個個平面。15、下列說法若一條直線和一個平面有公共點，則這條直線在這個平面內過兩條相交直線的平面有且只有一個若兩個平面有三個公共點，則兩個平面重合兩個平面相交有且只有一條交線過不共線三點有且只有一個平面，其中正確的有16、空間

19、兩條互相平行的直線指的是（ ）A 在空間沒有公共點的兩條直線 B分別在兩個平面內的兩條直線C 分別在兩個不同的平面內且沒有公共點的兩條直線D 在同一平面內且沒有公共點的兩條直線17、正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BD異面且成600角的面對角線有（ A ）條。A 4 B 3 C 2 D 118、一條直線和一個平面平行，夾在這條直線和平面間的兩條線段相等，則這兩條線段的位置關系是（ D ）A 平行 B 相交 C 異面 D 以上均有可能19、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1與平面ADC1B1的位置關系是（ A ）A 平行 B 相交 C 在平面ADC1B1內 D 以上都不正確

20、一、選擇題1設 ，為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個命題：若，則lm；若lm，則那么( D )A是真命題，是假命題B是假命題，是真命題(第2題)C都是真命題D都是假命題2如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是( D )ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D異面直線AD與CB1角為603關于直線m，n與平面，有下列四個命題：m，n且，則mn；m，n且，則mn；m，n且，則mn；m，n且，則mn其中真命題的序號是( D )ABCD4給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個平面互相平行若直線l1，l2

21、與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數是( D )A1B2C3D45下列命題中正確的個數是( B )若直線l上有無數個點不在平面內，則l 若直線l與平面平行，則l與平面內的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行若直線l與平面平行，則l與平面內的任意一條直線都沒有公共點 A0個B1個C2個D3個 6 兩直線l1與l2異面，過l1作平面與l2平行，這樣的平面( B )A不存在B有唯一的一個C有無數個D只有兩個7給出以下四個命題：如果一條直線和一個平面平行

22、，經過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直其中真命題的個數是( B )A4 B3 C2 D18.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為的等邊三角形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的體積為（ B ） 9.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是相鄰兩邊的長分別為1和2的矩形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的體積為（ B ） A. 4B. C. D. 正視圖側視圖俯視圖10.如圖所

23、示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的表面積為（D） A. 3B. 4C. 5D.24.(本小題滿分7分，其中第（1）問4分，第（2）問3分） 如圖，在正方體中.（1）求證：AC；（2）求異面直線AC與所成角的大小。25.(本小題滿分7分，其中（1）問4分，（2）問4分）如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA平面ABCD，點E為PA的中點。（1）求證：PC/平面BED；ABCC1DD1A1B1（2）求異面直線AD與PB所成角的大小。24.(本小題滿分7分，其中第（1）問4分，第（2）問3分）如圖，在正方體ABCD中，E、F分別為、中點。ABCDA1D1C1B1EF（1）求證：EF/平面ABCD；（2）求兩異面直線BD與所成角的大小。證明：（1）連接AC，E、F分別為、中點， 又，.4分（2）連接,容易證明四邊形