快速付里葉變換FFTFastFourietTransformer

1、第三章快速付里葉變換(FFT)Fast Fouriet Transformer第一節(jié) 引 言一、快速付里葉變換FFT有 限 長(zhǎng) 序 列 通 過(guò) 離 散 傅 里 葉 變 換 (D F T) 將 其 頻 域 離 散 化 成 有 限 長(zhǎng) 序 列 . 但 其 計(jì)算 量 太 大, 很 難 實(shí) 時(shí) 地 處 理 問(wèn) 題 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 葉 變 換(FFT) . FFT 并 不 是 一 種 新 的 變 換 形 式 ,它 只 是 DFT 的 一 種 快 速 算 法 . 并 且 根 據(jù) 對(duì) 序 列 分 解 與 選 取 方 法 的 不 同 而 產(chǎn) 生 了 FFT 的 多 種 算 法 . FF

2、T 在 離 散 傅 里 葉 反 變 換 、 線(xiàn) 性 卷 積 和 線(xiàn) 性 相 關(guān) 等 方 面 也 有 重 要 應(yīng) 用.。二、FFT產(chǎn)生故事 當(dāng)時(shí)加文(Garwin)在自已的研究中極需要一個(gè)計(jì)算付里葉變換的快速方法。他注意到圖基(J.W.Turkey)正在寫(xiě)有關(guān)付里葉變換的文章，因此詳細(xì)詢(xún)問(wèn)了圖基關(guān)于計(jì)算付里葉變換的技術(shù)知識(shí)。圖基概括地對(duì)加文介紹了一種方法，它實(shí)質(zhì)上就是后來(lái)的著名的庫(kù)利(Cooley J.W)圖基算法。在加文的迫切要求下，庫(kù)利很快設(shè)計(jì)出一個(gè)計(jì)算機(jī)程序。1965年庫(kù)利-圖基在、Mathematic of Computation 雜志上發(fā)表了著名的“機(jī)器計(jì)算付里級(jí)數(shù)的一種算法”文章，提

3、出一種快速計(jì)算DFT的方法和計(jì)算機(jī)程序-揭開(kāi)了FFT發(fā)展史上的第一頁(yè)，促使FFT算法產(chǎn)生原因還有1967年至1968年間FFT的數(shù)字硬件制成，電子數(shù)字計(jì)算機(jī)的條件， 使DFT的運(yùn)算大簡(jiǎn)化了。三、本章主要內(nèi)容DFT算法存在的問(wèn)題及改進(jìn)途徑。DFT算法(時(shí)間抽取算法DIT算法，頻率抽取算法DIF算法，線(xiàn)性調(diào)頻Z變換即CZT法)3.FFT的應(yīng)用第二節(jié)直接計(jì)算DFT算法存在的問(wèn)題及改進(jìn)途徑一、直接計(jì)算DFT計(jì)算量問(wèn)題提出： 設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n),非零值長(zhǎng)度為N,計(jì)算對(duì)x(n)進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算工作量?DFT與IDFT之間的運(yùn)算量其中x(n)為復(fù)數(shù)， 也為復(fù)數(shù)所以DFT與IDFT二者計(jì)算

4、量相同。DFT為例，計(jì)算DFT復(fù)數(shù)運(yùn)算量計(jì)算一個(gè)X(k)(一個(gè)頻率成分)值，運(yùn)算量為例k=1則要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法+(N-1)次復(fù)數(shù)加法所以，要完成整個(gè)DFT運(yùn)算，其計(jì)算量為：N*N次復(fù)數(shù)相乘+N*(N-1)次復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)乘法換算成實(shí)數(shù)運(yùn)算量復(fù)數(shù)運(yùn)算要比加法運(yùn)算復(fù)雜，需要的運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。一個(gè)復(fù)數(shù)乘法包括4個(gè)實(shí)數(shù)乘法和2個(gè)實(shí)數(shù)加法。(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 4次復(fù)數(shù)乘法2次實(shí)數(shù)加法DFT需要的實(shí)數(shù)運(yùn)算量每運(yùn)算一個(gè)X(k)的值，需要進(jìn)行4N次實(shí)數(shù)相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)相加.整個(gè)DFT運(yùn)算量為：4N2次實(shí)數(shù)相乘和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)相加.由此

5、看出：直接計(jì)算DFT時(shí)，乘法次數(shù)與加法次數(shù)都是和N2成比例的。當(dāng)N很大時(shí)，所需工作量非?？捎^。例子例1:當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，直接計(jì)算DFT需要：N2=(1024)2=1048576次，即一百多萬(wàn)次的復(fù)乘運(yùn)算這對(duì)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理(如雷達(dá)信號(hào)處理)來(lái)講，它對(duì)計(jì)算速度有十分苛刻的要求-迫切需要改進(jìn)DFT的計(jì)算方法，以減少總的運(yùn)算次數(shù)。例2：石油勘探，24道記錄，每道波形記錄長(zhǎng)度5秒，若每秒抽樣500點(diǎn)/秒，每道總抽樣點(diǎn)數(shù)=500*5=2500點(diǎn)24道總抽樣點(diǎn)數(shù)=24*2500=6萬(wàn)點(diǎn)DFT運(yùn)算時(shí)間=N2=(60000)2=36*108次二、改善DFT運(yùn)算效率的基本途徑利用DFT運(yùn)算系數(shù) 的固有對(duì)

6、稱(chēng)性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率。1.合并法：合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)。2.分解法：將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性，分解為短序列DFT。利用DFT運(yùn)算系數(shù) 的固有對(duì)稱(chēng)性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率的對(duì)稱(chēng)性：的周期性：因?yàn)椋河纱丝傻贸觯豪永?利用以上特性,得到改進(jìn)DFT直接算法的方法.(1) 合并法：步驟1分解成虛實(shí)部合并DFT運(yùn)算中的有些項(xiàng)對(duì)虛實(shí)部而言所以帶入DFT中：(1) 合并法：步驟2代入DFT中展開(kāi)：(1) 合并法：步驟3合并有些項(xiàng)根據(jù)：有：(1) 合并法：步驟4結(jié)論 由此找出其它各項(xiàng)的類(lèi)似歸并方法：乘法次數(shù)可以減少一半。例：2、將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短序列DF

7、T-思路因?yàn)镈FT的運(yùn)算量與N2成正比的如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量的效果。2、將長(zhǎng)序更DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短序列DFT-方法把N點(diǎn)數(shù)據(jù)分成二半：其運(yùn)算量為：再分二半：+=+=這樣一直分下去，剩下兩點(diǎn)的變換。2、將長(zhǎng)序更DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短序列DFT-結(jié)論快速付里時(shí)變換(FFT)就是在此特性基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，并產(chǎn)生了多種FFT算法，其基本上可分成兩大類(lèi)：按抽取方法分： 時(shí)間抽取法(DIT);頻率抽取法(DIF)按“基數(shù)”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法其它方法：線(xiàn)性調(diào)頻Z變換

8、(CZT法)第三節(jié)基-2按時(shí)間抽取的FFT算法Decimation-in-Time(DIT)(Coolkey-Tukey)一、算法原理設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列按時(shí)間順序的奇偶分解為越來(lái)越短的子序列，稱(chēng)為基2按時(shí)間抽取的FFT算法。也稱(chēng)為Coolkey-Tukey算法。其中基數(shù)2-N=2M，M為整數(shù).若不滿(mǎn)足這個(gè)條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長(zhǎng)）使其達(dá)到 N=2M例子設(shè)一序列x(n)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=9,應(yīng)加零補(bǔ)長(zhǎng)為N=24=16 應(yīng)補(bǔ)7個(gè)零值。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 nx(n)二、算法步驟1.分組，變量置換DFT變換：

9、先將x(n)按n的奇偶分為兩 組，作變量置換:當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令n=2r;當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1;得到：x(2r)=x1(r); x(2r+1)=x2(r);r=0N/2-1; 則其DFT可化為兩部分：前半部分：后半部分：DFT中生成兩個(gè)子序列x(0),x(2)x(2r)奇數(shù)點(diǎn)x(1),x(3)x(2r+1)偶數(shù)點(diǎn)代入DFT變換式：DFT上式得：一個(gè)N點(diǎn)的DFT被分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT。X1(k),X2(k)這兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT按照：再應(yīng)用W系數(shù)的周期性，求出用X1(k),X2(k)表達(dá)的后半部的X(k+N/2)的值?？闯觯汉蟀氩康膋值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)則完全重復(fù)了前半部分

10、的k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)的值。頻域中的N個(gè)點(diǎn)頻率成分為：結(jié)論：只要求出（0N/2-1）區(qū)間內(nèi)的各個(gè)整數(shù)k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)值，即可以求出(0N-1)整個(gè)區(qū)間內(nèi)全部X(k)值，這就是FFT能大量節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵。由于N=2L，因此N/2仍為偶數(shù)，可以依照上面方法進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)子序列，再按輸入n的奇偶分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)的子序列，按這種方法不斷劃分下去，直到最后剩下的是2點(diǎn)DFT，兩點(diǎn)DFT實(shí)際上只是加減運(yùn)算。三、蝶形結(jié)即蝶式計(jì)算結(jié)構(gòu)也即為蝶式信號(hào)流圖上面頻域中前/后半部分表示式可以用蝶形信號(hào)流圖表示。X1(k)X2(k)作圖要素：(1)左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸

11、出(3)中間以一個(gè)小圓表示加、減運(yùn)算（右上路為相加輸出、右下路為相減輸出)(4)如果在某一支路上信號(hào)需要進(jìn)行相乘運(yùn)算，則在該支路上標(biāo)以箭頭，將相乘的系數(shù)標(biāo)在箭頭旁。(5)當(dāng)支路上沒(méi)有箭頭及系數(shù)時(shí)，則該支路的傳輸比為1。例子：求 N=23=8點(diǎn)FFT變換 （1）先按N=8-N/2=4，做4點(diǎn)的DFT：先將N=8DFT分解成2個(gè)4點(diǎn)DFT：可知：時(shí)域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列 頻域上：X(0)X(3)，由X(k)給出 X(4)X(7),由X(k+N/2)給出(a)比較N=8點(diǎn)直接DFT與分解2個(gè)4點(diǎn)DFT的FFT運(yùn)算量N=

12、8點(diǎn)的直接DFT的計(jì)算量為：N2次(64次）復(fù)數(shù)相乘,N(N-1)次(8(8-1)=56次)復(fù)數(shù)相加.共計(jì)120次。（b)求 一個(gè)蝶形結(jié)需要的運(yùn)算量要運(yùn)算一個(gè)蝶形結(jié)，需要一次乘法 ， 兩次加法。（c）分解為兩個(gè)N/2=4點(diǎn)的DFT的運(yùn)算量分解2個(gè)N/2點(diǎn)（4點(diǎn)）的DFT：偶數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為奇數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為(d)用2個(gè)4點(diǎn)來(lái)求N=8點(diǎn)的FFT所需的運(yùn)算量再將N/2點(diǎn)（4點(diǎn)）合成N點(diǎn)(8點(diǎn))DFT時(shí)，需要進(jìn)行N/2個(gè)蝶形運(yùn)算還需N/2次（4次）乘法 及 次(8次）加法運(yùn)算。(e)將N=8點(diǎn)分解成2個(gè)4點(diǎn)的DFT的信號(hào)流圖 4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)4點(diǎn)DFTx(1

13、)x(3)x(5)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)偶數(shù)序列奇數(shù)序列X(4)X(7)同學(xué)們自已寫(xiě)x1(r)x2(r)(2)N/2(4點(diǎn))-N/4(2點(diǎn))FFT(a)先將4點(diǎn)分解成2點(diǎn)的DFT：因?yàn)?點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。若將N/2(4點(diǎn))子序列按奇/偶分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)（2點(diǎn)）子序列。即對(duì)將x1(r)和x2(r)分解成奇、偶兩個(gè)N/4點(diǎn)（2點(diǎn)）點(diǎn)的子序列。(b)求2點(diǎn)的DFT（c)一個(gè)2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)X3(

14、0)X3(1)X4(0)X4(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)（d)另一個(gè)2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(1)x(5)x(3)x(7)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)同理：(3)將N/4（2點(diǎn)）DFT再分解成2個(gè)1點(diǎn)的DFT(a)求2個(gè)一點(diǎn)的DFT 最后剩下兩點(diǎn)DFT,它可分解成兩個(gè)一點(diǎn)DFT，但一點(diǎn)DFT就等于輸入信號(hào)本身，所以?xún)牲c(diǎn)DFT可用一個(gè)蝶形結(jié)表示。取x(0)、x(4)為例。(b)2個(gè)1點(diǎn)的DFT蝶形流圖 1點(diǎn)DFTx(0)1點(diǎn)DFTx(4)X3(0)X3(1)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：X3(0)X3(1)x(0)x

15、(4)(4)一個(gè)完整N=8的按時(shí)間抽取FFT的運(yùn)算流圖 x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)m=0m=1m=2四、FFT算法中一些概念 （1）“級(jí)”概念將N 點(diǎn)DFT先分成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，再是四個(gè)N/4點(diǎn)DFT直至N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT.每分一次稱(chēng)為“一”級(jí)運(yùn)算。因?yàn)镹=2M所以N點(diǎn)DFT可分成M級(jí)如上圖所示依次m=0,m=1.M-1共M級(jí)（2）“組”概念 每一級(jí)都有N/2個(gè)蝶形單元，例如：N=8,則每級(jí)都有4個(gè)蝶形單元。每一級(jí)的N/2個(gè)蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)，相同的 因子分布，第

16、m級(jí)的組數(shù)為：例：N=8=23，分3級(jí)。m=0級(jí),分成四組,每組系數(shù)為m=1級(jí),分成二組,每組系數(shù)為m=2級(jí),分成一組,每組系數(shù)為(3) 因子的分布結(jié)論：每由后向前（m由M-1-0級(jí)）推進(jìn)一級(jí)，則此系數(shù)為后級(jí)系數(shù)中偶數(shù)序號(hào)的那一半。（4）按時(shí)間抽取法2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTX1(k).X2(k)X(k) 由于每一步分解都是基于在每級(jí)按輸入時(shí)間序列的次序是屬于偶數(shù)還是奇數(shù)來(lái)分解為兩個(gè)更短的序列，所以稱(chēng)為“按時(shí)間抽取法”.x(n)五、按時(shí)間抽

17、取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較由前面介紹的按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖可見(jiàn)： 每級(jí)都由N/2個(gè)蝶形單元構(gòu)成，因此每一級(jí)運(yùn)算都需要N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加（每個(gè)結(jié)加減各一次）。這樣（N=2M)M級(jí)運(yùn)算共需要：復(fù)乘次數(shù)：復(fù)加次數(shù)：可以得出如下結(jié)論：按時(shí)間抽取法所需的復(fù)乘數(shù)和復(fù)加數(shù)都是與成正比。而直接計(jì)算DFT時(shí)所需的復(fù)乘數(shù)與復(fù)加數(shù)則都是與N2成正比.(復(fù)乘數(shù)md=N2,復(fù)加數(shù)ad=N(N-1)N2)例子看N=8點(diǎn)和N=1024點(diǎn)時(shí)直接計(jì)算DFT與用基2-按時(shí)間抽取法FFT的運(yùn)算量?？闯觯寒?dāng)N較大時(shí)，按時(shí)間抽取法將比直接法快一、二個(gè)數(shù)量級(jí)之多。作業(yè)1.N=16點(diǎn)的FFT基2-按時(shí)間抽取流程圖

18、。2.P252. 2，3，8六、按時(shí)間抽取FFT算法的特點(diǎn)根據(jù)DIT基2-FFT算法原理，能得出任何N=2m點(diǎn)的FFT信號(hào)流圖，并進(jìn)而得出FFT計(jì)算程序流程圖。最后總結(jié)出按時(shí)間抽取法解過(guò)程的規(guī)律。1.原位運(yùn)算（in-place)1.原位運(yùn)算（in-place)原位運(yùn)算的結(jié)構(gòu)，可以節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本。定義：當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。x(0)x(4)X3(0)X3(1)例子例：N=8 FFT運(yùn)算,輸入:x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0

19、)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)=x(0)A(1)=x(1)A(2)=x(2)A(3)=x(3)A(4)=x(4)A(5)=x(5)A(6)=x(6)A(7)=x(7)R1R1R1R1R1R2R1R1R2R2R3R4看出：用原位運(yùn)算結(jié)構(gòu)運(yùn)算后，A(0)A(7)正好順序存放X(0)X(7),可以直接順序輸出。我們從輸入序列的序號(hào)及整序規(guī)律得到碼位倒讀規(guī)則。由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)X(7),但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是按x(0),x(4),x(2), x(6).的順序存入存儲(chǔ)單元即為亂序輸入，順序輸