2003年考研數(shù)學(xué)試題解析

1、PAGE PAGE 572003年考研數(shù)學(xué)（一）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） = .【分析】 型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式=進(jìn)行計(jì)算求極限均可.【詳解1】 =,而 ，故 原式=【詳解2】 因?yàn)?，所以 原式=【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型.（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量為，因此只需確定切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出平面方程, 而切點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)曲面切平面的法矢量與平行確定.【詳解】 令 ，則， .設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切平面的法矢量為 ，其與已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相應(yīng)地有 故所求的切平面方程為 ，即 .【評(píng)注】 本

2、題屬基本題型.（3） 設(shè)，則= 1 .【分析】 將展開為余弦級(jí)數(shù)，其系數(shù)計(jì)算公式為.【詳解】 根據(jù)余弦級(jí)數(shù)的定義，有 = = =1.【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考查傅里葉級(jí)數(shù)的展開公式，本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算. （4）從的基到基的過(guò)渡矩陣為 .【分析】 n維向量空間中，從基到基的過(guò)渡矩陣P滿足=P，因此過(guò)渡矩陣P為：P=.【詳解】根據(jù)定義，從的基到基的過(guò)渡矩陣為P=. =【評(píng)注】 本題屬基本題型.（5）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 則 .【分析】 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)，求滿足一定條件的概率，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分=進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 由題設(shè)，有 = y 1

3、 D O 1 x【評(píng)注】 本題屬基本題型，但在計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意找出概率密度不為零與滿足不等式的公共部分D，再在其上積分即可. （6）已知一批零件的長(zhǎng)度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值【分析】 已知方差，對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計(jì)，可根據(jù)，由確定臨界值，進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.【詳解】 由題設(shè)，可見 于是查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知本題n=16, , 因此，根據(jù) ，有，即 ，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .【評(píng)注】 本題屬基本題型.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分2

4、4分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). C y O x 【分析】 答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極

5、小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過(guò)，當(dāng)時(shí)考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)的圖象，本題是其逆問(wèn)題.（2）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無(wú)關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說(shuō)明即可；極限屬型，必為無(wú)窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則

6、可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 對(duì)于不便直接證明的問(wèn)題，經(jīng)?？煽紤]用反例，通過(guò)排除法找到正確選項(xiàng). （3）已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). (B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn). (C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn). (D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn). A 【分析】 由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0，因此點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號(hào). 【詳解】 由知，分

7、子的極限必為零，從而有f(0,0)=0, 且 充分小時(shí)），于是可見當(dāng)y=x且充分小時(shí)，；而當(dāng)y= -x且充分小時(shí)，. 故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A).【評(píng)注】 本題綜合考查了多元函數(shù)的極限、連續(xù)和多元函數(shù)的極值概念，題型比較新，有一定難度. 將極限表示式轉(zhuǎn)化為極限值加無(wú)窮小量，是有關(guān)極限分析過(guò)程中常用的思想。（4）設(shè)向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMA

8、N I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，且向量組 = 1 * ROMAN I線性無(wú)關(guān)，則必有. 可見正確選項(xiàng)為(D). 本題也可通過(guò)舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無(wú)關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(B)

9、；，可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(C). 故正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。（5）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： = 1 * GB3 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； = 2 * GB3 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； = 3 * GB3 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； = 4 * GB3 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) = 1 * G

10、B3 = 2 * GB3 . (B) = 1 * GB3 = 3 * GB3 .(C) = 2 * GB3 = 4 * GB3 . (D) = 3 * GB3 = 4 * GB3 . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進(jìn)行分析，但 = 1 * GB3 = 2 * GB3 兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 = 3 * GB3 與 = 4 * GB3 ，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題 = 3 * GB3 成立，可排除(A),(C)；但反過(guò)來(lái)，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如

11、，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題 = 4 * GB3 不成立，排除(D),故正確選項(xiàng)為(B).（6）設(shè)隨機(jī)變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定義知，其中，再將其代入，然后利用F分布的定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，其中，于是=，這里，根據(jù)F分布的定義知故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題綜合考查了t分布、分布和F分布的概念，要求熟練掌握此三類常用統(tǒng)計(jì)量分布的定義.三 、（本題滿分10分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.求D的面積A;求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分

12、析】 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積A; 旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體（圓錐）體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y=lnx在點(diǎn)處的切線方程是 由該切線過(guò)原點(diǎn)知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x【評(píng)注】 本題不是求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式. 也可考慮用微元法分析.四 、（本題滿分12分）

13、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.【分析】 冪級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍⑶髮?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知冪級(jí)數(shù)展開的情形。本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開即可，然后取x為某特殊值，得所求級(jí)數(shù)的和.【詳解】 因?yàn)橛謋(0)=, 所以 =因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五 、（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 【分析】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應(yīng)注意用(1)的結(jié)果.【詳解】 方法一：(1) 左邊=

14、 =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對(duì)稱性） =【評(píng)注】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計(jì)算出來(lái)的，因此期望通過(guò)計(jì)算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的. 另外，一個(gè)題由兩部分構(gòu)成時(shí)，求證第二部分時(shí)應(yīng)首先想到利用第一部分的結(jié)果，事實(shí)上，第一部分往往是起橋梁作用的.六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功. 設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）

15、.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r0時(shí)，【分析】 (1) 先分別在球面坐標(biāo)下計(jì)算分子的三重積分和在極坐標(biāo)下計(jì)算分母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性；(2) 將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.【詳解】 (1) 因?yàn)?， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t0時(shí)，只需證明t0時(shí)，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t0時(shí)，有g(shù)(t)g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t0時(shí)，g(t)0,因此，當(dāng)t0時(shí)，【評(píng)注】

16、本題將定積分、二重積分和三重積分等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)了，但難點(diǎn)是證明（2）中的不等式，事實(shí)上，這里也可用柯西積分不等式證明： ，在上式中取f(x)為，g(x)為即可. 九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進(jìn)而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計(jì)算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時(shí)，解，得線性無(wú)關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為

17、 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，解，得線性無(wú)關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評(píng)注】 設(shè)，若是A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對(duì)應(yīng)特征向量不同，B對(duì)應(yīng)

18、特征值的特征向量為本題計(jì)算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主要是考查考生的計(jì)算能力。不過(guò)利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關(guān)系討論，可適當(dāng)降低計(jì)算量.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩

19、=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).【評(píng)注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的判定，而解的判定問(wèn)題又可轉(zhuǎn)化為矩陣的秩計(jì)算，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算，綜合考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn).十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件

20、合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件數(shù)為0，1，2，3，分別求出其概率，再按定義求數(shù)學(xué)期望即可；而求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率，涉及到兩次試驗(yàn)，是典型的用全概率公式的情形，第一次試驗(yàn)的各種可能結(jié)果（取到的次品數(shù)）就是要找的完備事件組.【詳解】 (1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評(píng)注】本題對(duì)數(shù)學(xué)期

21、望的計(jì)算也可用分解法： 設(shè) 則的概率分布為 0 1 P 因?yàn)?，所?十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記求總體X的分布函數(shù)F(x);求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性.【分析】 求分布函數(shù)F(x)是基本題型；求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)，可作為多維相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量函數(shù)求分布函數(shù)，直接用定義即可；是否具有無(wú)偏性，只需檢驗(yàn)是否成立.【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因?yàn)?=，所以作為的估計(jì)量不具有無(wú)偏性.【評(píng)注】本題表面上是一數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，實(shí)際上考查了求分布函數(shù)、隨機(jī)變量的函數(shù)求分布和概率

22、密度以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn). 將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的概念與隨機(jī)變量求分布與數(shù)字特征結(jié)合起來(lái)是一種典型的命題形式.2003年考研數(shù)學(xué)（二）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時(shí)， 與是等價(jià)無(wú)窮小，則a= -4 .【分析】 根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，相當(dāng)于已知，反過(guò)來(lái)求a. 注意在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】 當(dāng)時(shí)，.于是，根據(jù)題設(shè)有 ，故a=-4.（2） 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可

23、.【詳解】 等式兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)，得 ，將x=1,y=1代入上式，有 故過(guò)點(diǎn)(1,1)處的切線方程為 ，即 【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，綜合考查了隱函數(shù)求導(dǎo)與求切線方程兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).（3） 的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是 .【分析】 本題相當(dāng)于先求y=f(x)在點(diǎn)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值，則麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是【詳解】 因?yàn)?，于是有 ，故麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，在一般教材中都可找到答案.（4） 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 ，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 .【分析】 利用極坐標(biāo)下的面積計(jì)算公式即可.【詳解】 所求面積為 =.【評(píng)注】 本題考查極坐標(biāo)下平

24、面圖形的面積計(jì)算，也可化為參數(shù)方程求面積，但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜. （5） 設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= 3 .【分析】 本題的關(guān)鍵是矩陣的秩為1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行），列向量的元素則為各行與選定行的倍數(shù)構(gòu)成.【詳解】 由=，知，于是【評(píng)注】 一般地，若n階矩陣A的秩為1，則必有（6） 設(shè)三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡(jiǎn)分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因?yàn)?, 所以 .【評(píng)注】 本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運(yùn)算與方陣的行列式，此類問(wèn)題

25、一般都應(yīng)先化簡(jiǎn)再計(jì)算. 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無(wú)關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說(shuō)明即可；極限屬型，必為無(wú)窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 對(duì)于不便直接證明的問(wèn)題，經(jīng)常可考慮用反例，通

26、過(guò)排除法找到正確選項(xiàng). （2）設(shè), 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先用換元法計(jì)算積分，再求極限.【詳解】 因?yàn)?= =，可見 =【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計(jì)算與求數(shù)列的極限兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但定積分和數(shù)列極限的計(jì)算均是最基礎(chǔ)的問(wèn)題，一般教材中均可找到其計(jì)算方法. （3）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為 （A） (B) (C) (D) A 【分析】 將代入微分方程，再令的中間變量為u，求出的表達(dá)式，進(jìn)而可計(jì)算出.【詳解】將代入微分方程，得 ，即 .令 lnx=u，有 ，故 = 應(yīng)選(A). 【評(píng)注】 本題巧妙地將微分方程的解與求函數(shù)關(guān)系結(jié)合起

27、來(lái)，具有一定的綜合性，但問(wèn)題本身并不復(fù)雜，只要仔細(xì)計(jì)算應(yīng)該可以找到正確選項(xiàng).（4）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). C y O x 【分析】 答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極

28、大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過(guò)，當(dāng)時(shí)考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)的圖象，本題是其逆問(wèn)題. （5）設(shè), 則 (A) (B) (C) (D) B 【分析】 直接計(jì)算是困難的，可應(yīng)用不等式tanxx, x0.【詳解】 因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)，有tanxx，于是 ，從而有 ， ，可見有 且，可排除(A),(C),(D)，故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 本題沒有必要去證明，因?yàn)橛门懦ǎ?A),(C),(D)均不正確，剩下的(B) 一定為正確選項(xiàng). （6）

29、設(shè)向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組 = 1 * ROMAN

30、I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，且向量組 = 1 * ROMAN I線性無(wú)關(guān)，則必有. 可見正確選項(xiàng)為(D). 本題也可通過(guò)舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無(wú)關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(B)；，可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(C). 故正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。三 、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù) 問(wèn)a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？【分析】 分段函數(shù)在分段點(diǎn)x=0連

31、續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即 【詳解】 = = =令，有 ，得或.當(dāng)a=-1時(shí)，即f(x)在x=0處連續(xù).當(dāng)a=-2時(shí)，因而x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).【評(píng)注】 本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中左右極限的計(jì)算有一定難度，在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)盡量利用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行簡(jiǎn)化.四 、（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求【分析】 本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算即可. 注意當(dāng)x=9 時(shí)，可相應(yīng)地確定參數(shù)t的取值.【詳解】由，得 所以 = =當(dāng)x=9時(shí)，由及t1得t=2, 故 五 、（本題滿分9分） 計(jì)算不定積分 【分析】 被積函數(shù)含

32、有根號(hào)，典型地應(yīng)作代換：x=tant, 或被積函數(shù)含有反三角函數(shù)arctanx，同樣可考慮作變換：arctanx=t，即 x=tant.【詳解】 設(shè)，則=又 = =，故 因此 = =【評(píng)注】本題也可用分布積分法： = = = =，移項(xiàng)整理得 =本題的關(guān)鍵是含有反三角函數(shù)，作代換或tant=x.六 、（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意：= =.然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】 (1) 由

33、反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問(wèn)題的解為 【評(píng)注】 本題的核心是第一步方程變換.七 、（本題滿分12分） 討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【分析】 問(wèn)題等價(jià)于討論方程有幾個(gè)不同的實(shí)根. 本題相當(dāng)于一函數(shù)作圖題，通過(guò)單調(diào)性、極值的討論即可確定實(shí)根的個(gè)數(shù)（與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）.【詳解】 設(shè)， y則有 4-k不難看出，x=1是的駐點(diǎn). O 1 x當(dāng)時(shí)，即單調(diào)減少；當(dāng)x1時(shí)，即單調(diào)增加，故為函數(shù)的最小值.當(dāng)k0時(shí)，無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng) k

34、=4，即4-k=0時(shí)，有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) k4，即4-k0;在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使 ；(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使 【分析】 (1) 由存在知，f(a)=0, 利用單調(diào)性即可證明f(x)0. (2) 要證的結(jié)論顯含f(a),f(b)，應(yīng)將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進(jìn)行證明. (3) 注意利用(2)的結(jié)論證明即可.【詳解】 (1) 因?yàn)榇嬖?，?又，于是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故 (2) 設(shè)F(x)=, 則，故滿足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使 ，即 .(3) 因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一

35、點(diǎn)，使，從而由(2) 的結(jié)論得 ，即有 【評(píng)注】 證明(3)，關(guān)鍵是用（2）的結(jié)論： （ 根據(jù)(2) 結(jié)論 ） ，可見對(duì)f(x)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可. 十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對(duì)角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使 【分析】 已知A相似于對(duì)角矩陣，應(yīng)先求出A的特征值，再根據(jù)特征值的重?cái)?shù)與線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進(jìn)而確定參數(shù)a. 至于求P，則是常識(shí)問(wèn)題.【詳解】 矩陣A的特征多項(xiàng)式為 =，故A的特征值為由于A相似于對(duì)角矩陣，故對(duì)應(yīng)應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即，于是有 由 ，知a=0.于是對(duì)應(yīng)于的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量可取為 ， 當(dāng)時(shí)， ，解

36、方程組得對(duì)應(yīng)于的特征向量 令，則P可逆，并有十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而

37、 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).【評(píng)注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的判定，而解的判定問(wèn)題又可轉(zhuǎn)化為矩陣的秩計(jì)算，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算，綜合考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn).2003年考研數(shù)學(xué)（三）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè) 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是.【分析】 當(dāng)0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).【詳解】 當(dāng)時(shí)，有 顯

38、然當(dāng)時(shí)，有，即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過(guò)a表示為 .【分析】 曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到與a的關(guān)系.【詳解】 由題設(shè)，在切點(diǎn)處有 ，有 又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0，于是有 ,故 【評(píng)注】 有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.（3）設(shè)a0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =【評(píng)注】 若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的

39、公共部分上積分即可.（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過(guò)進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A0 ,故a=-1.（5）設(shè)隨機(jī)變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0.9 .【分析】 利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.【詳解】 因?yàn)?= =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=【評(píng)注】 注意以下運(yùn)算公式：，（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于

40、 .【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值： 【詳解】 這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有 依概率收斂于二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點(diǎn)x=0. D 【分析】 由題設(shè)，可推出f(0)=0 , 再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義

41、進(jìn)行討論即可.【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.于是有 存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).【評(píng)注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時(shí)g(x)=可排除(A),(B),(C) 三項(xiàng)，故應(yīng)選(D).【評(píng)注2】 若f(x)在處連續(xù)，則. 本題事實(shí)上相當(dāng)于考查此結(jié)論.（2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. （B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在. A 【分析】 可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取

42、得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導(dǎo)數(shù)等于零, 故應(yīng)選(A).【評(píng)注1】 本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，在處的導(dǎo)數(shù)即；而在處的導(dǎo)數(shù)即【評(píng)注2】 本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正確選項(xiàng)為(A).（3）設(shè)，則下列命題正確的是(A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. B 【分析】 根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.【詳解】 若絕對(duì)收斂，即收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)，及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，與都收斂

43、，故應(yīng)選(B).（4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. C 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說(shuō)明A的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】 根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b.但當(dāng)a=b時(shí)，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應(yīng)選(C).【評(píng)注】 n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系： （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則

44、對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān). B 【分析】 本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式. 應(yīng)注意是尋找不正確的命題.【詳解】(A): 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有 ，則必線性無(wú)關(guān)，因?yàn)槿艟€性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù),使得 ，矛盾. 可見（A）成立.(B): 若線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，都有 (B)不成立.(C) 線性無(wú)關(guān),則此向量組的秩為s；反過(guò)來(lái)，若向量組的秩為s，則線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立.(D) 線性無(wú)關(guān),則其任一部

45、分組線性無(wú)關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評(píng)注】 原命題與其逆否命題是等價(jià)的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān). 其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān). 在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性.（6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件(A) 相互獨(dú)立. (B) 相互獨(dú)立. (C) 兩兩獨(dú)立. (D) 兩兩獨(dú)立. C 【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再

46、檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.【詳解】 因?yàn)?，?，可見有，.故兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立. 三 、（本題滿分8分）設(shè) 試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可.【詳解】 因?yàn)?= = = = =由于f(x)在上連續(xù)，因此定義 ，使f(x)在上連續(xù).【評(píng)注】 本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問(wèn)題，但以這種形式表現(xiàn)出來(lái)，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過(guò)程中，也可先作變量代換y=1-x，轉(zhuǎn)化為求的極限，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.四 、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又

47、,求【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題：，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用【詳解】 ，故 ，所以 =【評(píng)注】 本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).五 、（本題滿分8分）計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域D=【分析】 從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 作極坐標(biāo)變換：，有 =令，則 .記 ，則 = = = =因此 ， 【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過(guò)換元與分步積分（均為最基礎(chǔ)的要求），即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).六、（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.【

48、分析】 先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1. 求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點(diǎn)x=0. 由于 ，可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1.【評(píng)注】 求和函數(shù)一般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù). 七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，且f(0)=0, 求F(x)所滿足的一階微分方程；求出F(x)的表達(dá)式.【分析】 F(x)所滿足的微分

49、方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.【詳解】 (1) 由 = = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為(2) = =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是 【評(píng)注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來(lái)說(shuō)比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍.八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據(jù)羅爾

50、定理，只需再證明存在一點(diǎn)c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價(jià)于，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【詳解】 因?yàn)閒(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 因?yàn)閒(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使【評(píng)注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R(shí)點(diǎn)，且一般是兩兩結(jié)合起來(lái)考. 本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形. 九、（本題滿分13分）已知齊次線

51、性方程組 其中 試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等. 可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值.【詳解】 方程組的系數(shù)行列式 =當(dāng)時(shí)且時(shí)，秩(A)=n，方程組僅有零解.當(dāng)b=0 時(shí)，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，

52、再?gòu)牡?行到第n行同乘以倍） （將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ， .原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 【評(píng)注】 本題的難點(diǎn)在時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系. 十、（本題滿分13分）設(shè)二次型，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.求a,b的值；利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.【分析】 特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進(jìn)一步求出A的特征值和特征

53、向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設(shè)A的特征值為 由題設(shè)，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩陣A的特征多項(xiàng)式 ，得A的特征值對(duì)于解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系 ，對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有，且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 【評(píng)注】 本題求a,b，也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為設(shè)A的特征值為，則由題設(shè)得，解得a=1,

54、b=2. 十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對(duì)y分段討論.【詳解】 易見，當(dāng)x8 時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于，有 設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，G(y)=0；當(dāng)時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 【評(píng)注】 事實(shí)上，本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)Y=F(X)仍服從均勻分布:當(dāng)y0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積

55、分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =【評(píng)注】 若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可. （4）設(shè)A,B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣. 已知AB=2A+B,B=,則= .【分析】 應(yīng)先化簡(jiǎn)，從AB=2A+B中確定.【詳解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E,即有 ， ， ，可見 =.【評(píng)注】 本題實(shí)質(zhì)上是已知矩陣等式求逆的問(wèn)題，應(yīng)先分解出因式A-E，寫成逆矩陣的定義形式，從而確定(A-E) 的逆矩陣. （5）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣

56、 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過(guò)進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A1，在內(nèi)的駐點(diǎn)為 問(wèn)a為何值時(shí)，t(a)最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【分析】 先由f(t)的導(dǎo)數(shù)為零確定駐點(diǎn)t(a)，它是關(guān)于a的函數(shù)，再把此函數(shù)對(duì)a求導(dǎo)，然后令此導(dǎo)數(shù)為零，得到可能極值點(diǎn)，進(jìn)一步判定此極值為最小值即可.【詳解】 由，得唯一駐點(diǎn) 考察函數(shù)在a1時(shí)的最小值. 令 ，得唯一駐點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此為極小值，從而是最小值.【評(píng)注】 本題屬基本題型，只是函數(shù)表達(dá)式由駐點(diǎn)給出，求極值與最值的要求均是最基本的.

57、七、（本題滿分9分）設(shè)y=f(x) 是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0,1),B(1,0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達(dá)式.【分析】 梯形OCMA的面積可直接用梯形面積公式計(jì)算得到，曲邊三角形CBM的面積可用定積分計(jì)算，再由題設(shè)，可得一含有變限積分的等式，兩邊求導(dǎo)后可轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程，然后用通解公式計(jì)算即可.【詳解】 根據(jù)題意，有 .兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 當(dāng)時(shí)，得 此為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程，其通解為 y A= M= O C B x=當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=1.由于x=1時(shí)，f(1)=0 ,故有2+C=0，從而C=-2. 所以 【評(píng)注】 本題一階線性微分方程的求解比較簡(jiǎn)單，一般教材中都可找到標(biāo)準(zhǔn)的求解方法.八、（本題滿分8分）設(shè)某商品從時(shí)刻0到時(shí)刻t的銷售量為， 欲在T 時(shí)將數(shù)量為A的該商品銷售完，試求t時(shí)的商品剩余量，并確定k的值；在時(shí)間段0，T上的平均剩余量.【分析】 在時(shí)刻t的剩余量y(t)可用總量A減去銷量x(t)得到; 由于y(t)隨時(shí)間連續(xù)變化，因此在時(shí)間段0,T 上的平均剩余量，即函數(shù)平均值可用積分表示.【詳解】 (1) 在時(shí)刻t商品的剩余量為 =， 由=0，得 ，因此 (2) 依題意，在0