線性代數(shù)講義2教

1、第二章矩陣矩陣是線性代數(shù)的重要組成部分，也是以后各章中計(jì)算的重要工具.在矩陣的理論中，矩陣的運(yùn)算起著重要的作用.我們在這一章里，將要介紹矩陣的基本概念及其運(yùn)算.2.1矩陣的定義一、矩陣的定義首先看幾個(gè)例子.例 1設(shè)有線性方程組x15x2x3x41x12x2x33x433x18x2x3x41x19x23x37x47這個(gè)方程組未知量系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按方程組中的順序組成一個(gè)矩形陣列如下：15111121333811119377這個(gè)陣列決定著給定方程組是否有解？以及如果有解，解是什么等問題 .因此對這個(gè)陣列的研究很有必要 .例 2某企業(yè)生產(chǎn)5 種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值（單位：萬元）如表2-1.表 2-1

2、產(chǎn)產(chǎn)品12345值季度1805875786429870858476390759090804887082807680587578649870858476這個(gè)排成 4 行 5 列的產(chǎn)值陣列759090具體描述了這家企業(yè)各種產(chǎn)品各季90808870828076度的產(chǎn)值，同時(shí)也揭示了產(chǎn)值隨季節(jié)變化規(guī)律的季增長率及年產(chǎn)量等情況.例 3生產(chǎn) m 種產(chǎn)品需用 n 種材料， 如果以 aij 表示生產(chǎn)第i種產(chǎn)品（， ， ）i 1, 2m耗用第 j種材料（ j 1, 2， ，n ）的定額，則消耗定額可以用一個(gè)矩形表表示，如表2-2.表 2-2定材料12jn額產(chǎn)品1a11a12a1 ja1n2a21a22a2 ja

3、2 niai1ai 2aijainmam1am2amjamn這個(gè)由 m 行 n 列構(gòu)成的消耗定額陣列a11a12a1na21a22a2nam1am2amn描述了生產(chǎn)過程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入材料的數(shù)量關(guān)系.類似這樣的數(shù)表，我們在自然科學(xué)、 工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等不同領(lǐng)域中經(jīng)常遇到數(shù)表在數(shù)學(xué)上就叫做矩陣.下面我們給出矩陣的定義.這種定義由 mn 個(gè)數(shù)aij(i1, 2, m ; j1, 2, n ) 排成m 行n 列的數(shù)表a11a12a1na21a22a2n(2-1-1)Aam1am 2amn叫做 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣 .這 mn 個(gè)數(shù)叫做矩陣A 的元素， aij 叫做矩陣 A 的第

4、i 行第 j 列元素 .A，B，C，.一般情形下，用大寫字母m 和列數(shù) n ， 表示矩陣 為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)可用 Am n 表示，或記作aij.m n二、幾種特殊的矩陣1 n 階方陣當(dāng) m n時(shí)，即 A=aijn n 時(shí)， A 稱為 n 階方陣 .2對角矩陣主對角線以外的元素都為零的方陣稱為對角矩陣，即1O2AOn3單位矩陣主對角線上的元素都是1 的 n 階對角矩陣稱為單位矩陣，記為E ，如1O1EO14三角矩陣主對角線一側(cè)所有元素都為零的方陣稱為三角矩陣，如a11a12a1na11000a22a2n或a21a2200 0annan1an 2ann5零矩陣所有元素都為零的矩陣稱為零矩陣.記作

5、Om n ，簡記 O.6行矩陣、列矩陣=1 時(shí)的矩陣，即A a1 a2an稱為行矩陣；=1 時(shí)的矩陣，即mnA稱為列矩陣 .7對稱矩陣a1a2an在矩陣 A(aij )n n 中，若 aij a ji(i, j1,2, , n) 則矩陣 A 稱為對稱矩陣，如1508526706810871042.2矩陣的運(yùn)算矩陣的意義不僅在于將一些數(shù)據(jù)排成數(shù)表形式，而且在于對它定義了一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算，從而使它成為進(jìn)行理論研究或解決實(shí)際問題的有力工具.一、矩陣的加法、減法首先給出矩陣相等的概念 .定義1 在矩陣Aaijm n 和 Bbijm n 中，若它們的對應(yīng)元素相等，即aijbij(i1, 2

6、, , m ; j 1, 2, , n )則稱矩陣 A 與 B 相等 ,記為 A=B .定義 2 設(shè) A aijm n， B bijm n，矩陣 aijbij m n 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的和或差，記作 A+B 或 A-B，即AB(aijbij ) m n注意，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)相同且列數(shù)也相同時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法、減法運(yùn)算 .例 1有兩種物資（單位：噸）從3 個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往4 個(gè)銷地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別為矩陣A 與矩陣 B，35721320A 2043B215701230648則從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地兩次的物資調(diào)運(yùn)量（單位：噸）為35721320A B204321570123064831

7、537220489222014537419100016243807611矩陣加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：（1）ABBA（2）(AB)CA(BC)3）AOA矩陣aij m n 稱為矩陣 Aaij m n 的負(fù)矩陣，記為Aaij m n .顯然，有4）A(A) O二、數(shù)與矩陣的乘法定義 3以數(shù) k 乘矩陣 A 的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱為數(shù)k 與矩陣 A 的積，記作 kA .如果 Aaij m n ，那么kAk aij m n kaij m n不難證明，數(shù)與矩陣乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律：k (A B) kA kB(k l ) A kA lA(3)(kl ) Ak (lA )(4)1 AA，( 1) AA(

8、5)k OO (O為零矩陣 )例 2已知12314321A0321B 530140321250求.3A-2B解123143213A2B30321253014032125038669432010966032122049106011055101561104196例 3已知31207524A 1579B 519724683216且 A 2X B,求 X.解1(B A)146442322X44222211221272117122三、矩陣與矩陣的乘法先看一個(gè)例子 .例 4某工廠有 A1 , A2 , A3 三個(gè)車間，某月各種原材料的消耗量如表2-3.表 2-3單位：噸消原耗料B1B2B3B4車量間A12

9、1151610A2530134A32432100又各種原材料每噸價(jià)格和加工費(fèi)如表2-4.表 2-4單位：元單原價(jià)原料費(fèi)加工費(fèi)料B1125B2144B382.5B4203求各車間某月支出原料費(fèi)及加工費(fèi)各為多少元？解我們可以直接計(jì)算出各車間支出的原料費(fèi)用和加工費(fèi)用為A1 車間的原料費(fèi) =21 12+15 14+16 8+10 20=790 （元）A2 車間的原料費(fèi) =53 12+0 14+13 8+4 20=820 （元）A3 車間的原料費(fèi) =24 12+32 14+10 8+0 20=816 （元）A1 車間的加工費(fèi) =21 5+15 4+16 2.5+10 3=235（元）A2 車間的加工費(fèi)

10、=53 5+0 4+13 2.5+4 3=309.5（元）A3 車間的加工費(fèi) =24 5+32 4+10 2.5+0 3=273（元）上述結(jié)果列成表2-5表 2-5單位：元費(fèi)車用原料費(fèi)加工費(fèi)間A1790235A2820309.5A3816273如果用矩陣來表示，則表2-3、表 2-4、表 2-5分別為21151610125790235144A530134,B, C820309.582.52432100816273203從上述分析可以看出，矩陣A 、 B與 C之間的關(guān)系是：C 中第 i 行第 j 列(i1, 2, 3 ; j 1, 2) 元素恰好等于A 的第 i 行各元素分別和矩陣B 第 j 列

11、對應(yīng)元素的乘積之和 .因此，我們將矩陣C定義為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB, 即21151610125790235144CAB530134820309.582.52432100816273203我們將上面例題中矩陣之間的這種關(guān)系定義為矩陣的乘法.定義 4設(shè)矩陣 Aaikm l的列數(shù)與矩陣Bbkj l n 的行數(shù)相同，則由元素lcijai1b1 jai 2b2 jail bljaik bkj(i1, 2, m ; j1, 2, , n)k 1構(gòu)成的 m 行 n 列矩陣lC (cij )m n(aik bkj ) m nk 1稱為矩陣A與矩陣B的積，記為C=ABAB或.這個(gè)定義說明，如果矩陣

12、A 的列數(shù)等于矩陣 B 的行數(shù)，則 A 與 B 的乘積 C 中第 i 行第 j 列的元素，等于矩陣 A 的第i 行元素與矩陣B 的第 j 列對應(yīng)元素乘積的和.并且矩陣 C的行數(shù)等于矩陣A 的行數(shù)，矩陣C 的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù).23123 ,求 AB.例 5若 A12, B31210解23123AB122103121322(2) 3(1)2(3)301 1(2)21( 2)( 2)( 1)1(3) (2) 031123 (2) 1(1)3(3)10876303579我們還可以求一下BA.12323BA122103112(2)1(3)313(2)(2)(3)122(1)10323(1)(2) 0

13、19438顯然 , ABBA.21例6若A310,B40,求AB.35解21AB 31040321(4)0(3)3110053523BA 沒有意義，因?yàn)锽 的列數(shù)不等于A 的行數(shù)， BA 不可進(jìn)行運(yùn)算 .例 7若 A24, B24，求 AB 及 BA.1236解AB242416321236816BA242400361200ABBA.由例 5，例 6，例 7 可以看到矩陣的乘法一般不滿足交換律.由例 6 可以看到 AB 有意義， BA 不一定有意義 .由例 5、例 7可以看到，即使 AB、BA 都有意義， AB 與 BA 也不一定相等 .但并不是任何兩矩陣相乘都不可以交換，如下面的例8，兩矩陣相

14、乘可以交換，但作為統(tǒng)一的運(yùn)算法則，矩陣乘法交換律是不成立的.由例 7 還可得出：兩個(gè)非零矩陣相乘，可能是零矩陣，從而不能從AB=O 必然推出A=O 或 B=O.例 8若 A11, B12010，求 AB 與 BA.1解AB111213010101BA121113010101顯見， AB=BA .如果兩矩陣 A 與 B 相乘，有矩陣相乘時(shí)必須注意順序，矩陣乘法具有下列性質(zhì)：AB=BA ，則稱矩陣A 與矩陣 B 可交換 .AX 稱為用 X 右乘 A，XA 稱為用 X 左乘 A.1）（ AB）C=A （BC）（ 2） k（ AB） = （kA）B=A （kB）（其中 k 為數(shù)值）3） A（B+C ）

15、=AB+AC4）（ B+C）A=BA+CA設(shè) A 是 n 階方陣，規(guī)定：A0E , A1A , A2AA, Ak 1Ak冪 .例 9設(shè) A1223A 5E3，求 2A4解3A 5E=2 1 222 A23 1343A , 其中 k 為正整數(shù)，Ak 稱為 A 的 k 次.1 05401141236501618=4491205276118四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義 5把矩陣 A 的所有行換成相應(yīng)的列所得到的矩陣，稱為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣， 記為AT，即若 Aaij，則 ATa ji.m nn m例 10若 A1704312，則513AT710245可見，若 A 是對稱矩陣，則有AAT .矩陣的轉(zhuǎn)置具有下列

16、性質(zhì)：1）(AT )T A（2） ( AB)TATBT（3） ( A)TAT（4） ( AB)TBT AT五、方陣的行列式定義 6由 n 階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），叫做方陣A 的行列式，記作A .應(yīng)該注意， 方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n 階方陣是 n 2 個(gè)數(shù)按一定方式排列成的數(shù)表，而n階行列式是這些數(shù)（也就是數(shù)表A）按一定運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù).由A確定的A的這個(gè)運(yùn)算滿足下述運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)值）：（1） ATA（ 2） kAk nA（3） ABA B由（ 3）可知，對于n階方陣ABABBA，但總有、，一般說來ABBA例 11設(shè) A13，B2

17、5，求 AB.2234解法 1AB13251117223422所以AB11175622解法 2ABA B13258(7) 562234習(xí)題 2.21111231設(shè)A111,B124，求111051（ 1） 3AB-2A（2） ATB2已知 23113X211202310，求 X.13計(jì)算下列乘積 .431731（1） 123 2（2） 12 3 2（3）1231570112213 10a11a12b1x（4） 011 21（ 5） x y 1 a12a22b2y120 31b1b2c 12351352244設(shè) A1 45 , B135 , C1 34134135123證明：（ 1） AB=BA

18、= 0（ 2） AC=A，CA=C（3） ACB=CBA5證明矩陣下列運(yùn)算性質(zhì) .（1） (A B) CA (B C)（2） (A B)TATB T（3） An A（ 4） AE=EA=A6求下列矩陣的冪 .（1）設(shè) A102，A3， ，Ak，求 A1nO（ 2）求O117若矩陣AB=BA，則稱 B 與 A 可交換，設(shè)A，求所有與A 可交換的矩陣 .012.3逆矩陣一、逆矩陣的定義矩陣與數(shù)相類似，有加、減、乘三種運(yùn)算 .于是，自然會提出矩陣的乘法是否也和數(shù)一樣存在逆運(yùn)算呢？解一元線性方程ax=b，當(dāng) a0 時(shí)，存在一個(gè)數(shù)a 1 ，使 xa 1b 為方程組的解 .那么在解矩陣方程AX=B 時(shí)，是

19、否也存在一個(gè)矩陣，使這個(gè)矩陣乘以B 等于 X .這就是我們要討論的逆矩陣的問題 .逆矩陣在矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用中都起著重要的作用.B定義 1對于n階矩陣An階矩陣，使得，如果存在AB=BA=E那么矩陣 A 稱為可逆矩陣，而B稱為 A的逆矩陣 .如果 A 可逆， A 的逆矩陣是唯一的 .因?yàn)槿绻?B 和 B1 都是 A 的逆矩陣 ,則有ABBA E, AB1 B1A E那么B BEB( AB1)( BA) B1EB1 B1即B B1所以逆矩陣是唯一的.我們把矩陣A 唯一的逆矩陣記作A1.定義2若 n 階矩陣A 的行列式A0 ，則稱A 為非奇異的.為了討論逆矩陣存在的條件和逆矩陣的求法，先引進(jìn)伴隨矩陣的

20、概念.定義 3設(shè) Aij 是矩陣a11a12a1na 21a22a2 nAan1an2ann的行列式A 中的元素 aij 代數(shù)余子式，那么矩陣A11A21An1A*A12A22An 2A1nA2nAnn稱為矩陣 A 的伴隨矩陣 .定理1 矩陣 A 存在逆矩陣的充分必要條件是A0 ，即 A 為非奇異矩陣時(shí)才有逆矩陣存在 .證必要性：因?yàn)?A 可逆，則有 A1使 AA1A1A E .因此，AA 1A1A AA1E 1 0，即A 0.充分性：若A0 ，作矩陣1 A*A由 1.2 定理 1 和定理 2，可得A0AA*AA E ，0A即得 AB=E .同理，可證， BA=E .故BA11A*A二、逆矩陣

21、的性質(zhì)逆矩陣具有下列性質(zhì)：（1）(A 1) 1A（2） ( AB) 1B1A1（3） ( A 1)T(AT) 1（4）A11A（ 5） (kA) 11A 1k下面僅證明性質(zhì)2，其它性質(zhì)請讀者自己證明 .證（ 2）因?yàn)? AB)( B 1A 1)A(BB 1) A 1AEA 1AA 1E ，(B 1A 1)(AB) B 1(A 1A)B B 1EB B 1B E，所以(AB) 1B1A1證畢由定理 1,可得由矩陣 A 的伴隨矩陣 A* 求逆矩陣 A 1 的計(jì)算方法，求出矩陣A 的所有元素的代數(shù)余子式；寫出伴隨矩陣A*；由A1 1A*便得 A 1.A這種方法常用于三階以下的方陣求逆矩陣的問題.21

22、例1求矩陣 A34的逆矩陣 .解因?yàn)?A110，所以 A 1存在 .由于A114A123A211A222因此A*4132114141A1*1111AA11 32321111222例 2求矩陣 A123的逆矩陣 .136解因?yàn)?A20,所以 A1 存在，由于A11233A12133A1312361611,3A21226A222210A23223616143A31222A32224A33222313122因此1 A*A11A21A31A 11 A12A22A32A2A13A23A33313623123104322514221122例 3試用逆矩陣求解線性方程組 .2x1x2 x32x1x24x30

23、3x15x3 3解令211x12A 114, Xx2, B0,305x33于是原方程組可寫成AX=B211因?yàn)锳1146 0,305故 A 1存在，且A11A*15537139A6333對（ 2-3-1）式兩側(cè)左乘A 1，得1553211X A1B71390136333363即線性方程組的解為x11 , x213 , x31 .662習(xí)題 2.31 驗(yàn)證矩陣 B 是矩陣 A 的逆矩陣 .1221（1） AB3134222-3-1）16136360111235101（2）A40511B10205704111520102寫出下列初等方陣的逆矩陣。1001000100100（ 1）(2) 00103

24、(3)012010000013判斷下列矩陣是否可逆，如可逆，求其逆矩陣。21ab100223（ 1）(adbc 0) （ 3） 120（ 4）11034（ 2）dc1231211234a10123(6)a2(ai0,i1,2, n)(5)01200001an4解下列矩陣方程.1）3）2546211133X（）X21011212423111314203112X10115證明：如果對稱矩陣A 為非奇異矩陣，則A 1 也是對稱的 .6證明：如果A2A ，但 A 不是單位矩陣，則A 必為奇異矩陣 .2.4矩陣的初等變換由于矩陣的定義和線性方程組有密切的聯(lián)系.因此，矩陣的許多概念也是由線性方程組的性質(zhì)而

25、產(chǎn)生的.如從線性方程組的消元法，就可以定義矩陣的行初等變換.用矩陣的初等變換將會使矩陣的概念推至更新、更簡潔、更加實(shí)用的境界.一、矩陣的初等變換定義 1對矩陣施以下列3 種變換，稱為矩陣的行初等變換.1）交換矩陣的兩行；2）以一個(gè)非零的數(shù) k 乘矩陣的某一行；3）把矩陣的某一行的 l 倍加于另一行上 .把定義 1 中的行改成列， 稱為列初等變換.行、列初等變換統(tǒng)稱為初等變換，下面主要討論行初等變換.如果矩陣 A 經(jīng)過有限次初等變換變成B，稱矩陣 B 與矩陣 A 等價(jià)，記為AB .定理任何非奇異方陣經(jīng)過初等變換可化為單位陣.例 1試用初等變換將矩陣A 化為單位陣306A022035解因?yàn)?A48

26、0 ，所以 A 是非奇異方陣，故有306A02203513r11r221021020113r2r301103500818 r31020110012r 3r1r 3r 2100010E001二、初等陣定義 2單位陣 E 經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣，稱為初等方陣，簡稱初等陣.由初等變換的三種形式，可知初等陣也有相應(yīng)的三種形式：1互換 E 的 i、 j 兩行，記為 E(rir j ) ，即101第i 行1E(rir j )110第j 行12用數(shù) k(k0) 乘 E 的第 i 行，記為 E(kri ) ,即11E( kri )k第 i行113用數(shù) k 乘第 j 行加到第i 行的各對應(yīng)元素上，記為E(

27、kr jri ) ，即11k第 i 行E (kr jri )1第 j 行1三、行初等變換的矩陣表示法不難驗(yàn)證，用初等陣左乘矩陣A(aij ) m n ，就是對矩陣進(jìn)行一次行初等變換.如設(shè)a11a12A a21a22，a31a32則有001a11a12a31a32E(r1r3 ) A010a21a22a21a22；100a31a32a11a12100a11a12a11a12E(kr2 ) A0k0a21a22ka21ka22；001a31a32a31a321k0a11a12a11 ka21a12ka22E(kr2 r1 ) A01 0a21a22a21a22；001a31a32a31a32用三種

28、初等陣，前面定理可以表示成如下矩陣乘積的形式：PlP2 P1 AE（ 2-4-1 ）其中 P1 , P2 ,Pl 是對 A 所用的初等變換所對應(yīng)的初等陣.E 是 A 的同階單位矩陣.應(yīng)該指出，非奇異矩陣經(jīng)初等變換后得到的矩陣仍然是非奇異矩陣.事實(shí)上，設(shè)P 為初等方陣， A 為非奇異矩陣，即P0, A0 ，則有PAPA0，因此， PA 是非奇異矩陣 .四、用行初等變換求逆矩陣如果 A 可逆，則 A 1 也可逆，根據(jù)上面定理，存在初等矩陣G1 , G 2 , Gk ，使A 1G1G 2Gk那么有A 1 AG GGA1 2k即EG1G2G k AA 1G1G 2Gk E式表示對A的行施以若干次初等變

29、換化為EE的行施以同樣的初等變換化為, 表示對A 1.于是可以得出一個(gè)求逆矩陣的方法如下.作一個(gè)n2n的矩陣（A | E ） ,然后對此矩陣施以行的初等變換，使子塊A化為E，則同時(shí)子塊 E 化為 A1了.即A | E經(jīng)過行初等變換E | A1101例 1求矩陣 A210的逆矩陣 .325解 作 36 矩陣 AE3101100AE3210010325 0012r1r 23r1r31011000122100223011011002r2r30122100027211 rr2 3110051122010151002721100521 r3112201051100172于是得到11251122A 115

30、171122習(xí)題 2.41用行初等變換把下列矩陣化為階梯形矩陣.2112216（1） 12 1（2） 124311258118241313122123（3） 0132（ 4）3211457014352 用初等變換將下列矩陣化為矩陣D 的標(biāo)準(zhǔn)形式 .Er0D001101112（3）3 21（ 1）2（ 2）23312011213（ 5）13（ 4）313213用初等變換判定下列矩陣是否可逆，如可逆，求其逆矩陣.221ab（1） 124(adbc0)（ 2）d582c1234135723120123（ 3）11（ 4）012110102600012.5 矩陣的秩一、矩陣秩的定義定義1 設(shè)A(aij

31、 ) 是 mn 矩陣，從 A 中任取 k 行 k 列 ( k min( m, n) ，位于這些行和列的相交處的元素，保持它們原來的相對位置所構(gòu)成的k 階行列式， 稱為矩陣 A 的一個(gè) k 階子式 .例如，1345A10230110矩陣 A 的第一、三兩行，第二、四兩列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為51 0設(shè) A 為一個(gè) mn 矩陣 .當(dāng) A=O 時(shí)，它的任何子式都為零；當(dāng) AO 時(shí)，它至少有一個(gè)元素不為零， 即它至少有一個(gè)一階子式不為零.這時(shí)再考察二階子式，如果 A 中有二階子式不為零，則往下考察三階子式，依次類推.最后必達(dá)到A 中有 r 階子式不為零，而再沒有比r更高階的不為零的子式.這個(gè)不

32、為零的子式的最高階數(shù)r ，反映了矩陣A 內(nèi)在的重要特性，在矩陣的理論與應(yīng)用中都有重要意義.1230例如，A0121246012A 中有二階子式10 ，但它的任何三階子式皆為零，即不為零的子式最高階數(shù)01r =2.Am nArr定義 2設(shè)矩陣 .如果中不為零的子式最高階數(shù)為,即存在階子式不為 為零，而任何r+ 1階子式皆為零，則稱r為矩陣A的秩，記作秩（Ar或r(A)=r .）=當(dāng)A=O 時(shí)，規(guī)定 r(A)=0.顯然： r ( A)r ( AT ) .上例中， r(A)=2.很明顯， 0rmin( m, n)當(dāng) r ( A) min( m, n) 時(shí)稱矩陣 A 為滿秩矩陣 .1230例如， A0

33、101r ( A)3001012B01r (B)200110C010r (C)3001都是滿秩矩陣.例 1求下列矩陣A的秩.2315A175868414解 A 的四個(gè)三階子式都為零，即2312352153151750,1780,1580,7580 ；684681464148414232，所以 r(A)=2.而二階行列式11 0, 故 A 的不等于零的子式的最高階數(shù)為17例 2設(shè)1213102214A0000500000求 r ( A) .解 顯然， A 的所有 4 階子式都等于零，而三階行列式131214350005故 r ( A) 3 .二、利用初等變換求矩陣的秩從上述兩個(gè)例子可見，為了找到

34、矩陣中不為零的最高階子式，需要計(jì)算很多行列式.然而，在例 2 中很容易看出最高階不為零的子式是三階行列式，這種矩陣稱為階梯形矩陣 .所謂階梯形矩陣，就是它的任一行的第一個(gè)非零元素所在的列中的下方元素全為零.下面，通過矩陣的行初等變換，將矩陣化為階梯形矩陣，以便求矩陣的秩.定理矩陣 A 經(jīng)過初等變換后其秩不變 .證按矩陣的三種初等變換可證明：（ 1）互換矩陣 A 的任意兩行（或兩列） ，矩陣的秩不變 .因?yàn)榛Q行列式的兩行（或兩列），行列式僅改變符號，因此，經(jīng)初等變換后的每一個(gè)子式與原矩陣對應(yīng)的子式相等或者僅改變正負(fù)號，故矩陣的秩不變.（ 2）用一個(gè)非零常數(shù) k 乘矩陣 A 的某一行（或列） ，

35、則矩陣的秩不變 .因?yàn)樾辛惺降哪骋恍校ɑ蛄校┏艘粋€(gè)非零常數(shù)k等于行列式乘以k.因此，經(jīng)初等變換后的矩陣子式與原矩陣的對應(yīng)子式或者相等，或者僅相差k 倍，故矩陣的秩不變。3）用一個(gè)數(shù) k 乘矩陣的某一行（或列）的各元素加到另一行（或列）的對應(yīng)元素上，則矩陣的秩不變 .事實(shí)上，設(shè)矩陣A(aij ) m n ，對 A 施以下列初等變換得到矩陣B，即a1a2anai1kaj 1ai 2kaj 2ainka jnkr jriBAa j1a j 2ajnam1am2amn因?yàn)閞(A)= r，所以A 中的所有r+1 階子式全為零，在B中的r+1階子式可分下面三種情況討論：若 B 中 r+1 階子式?jīng)]有第 i 行元素，那么 B 中所有 r+1 階子式在 A 中都有，所以， B 中不包含第 i 行的所有 r+1 階子式全都為零 .(2)若 B 中 r+1階子式含有第i ，j 兩行元素， 根據(jù)行列式性質(zhì)7，B 中 r+1 階子式與A 中對應(yīng)的 r+1 階子式相等，所以B 中所有 r+