機(jī)械工程控制基礎(chǔ)-系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析

1、 第3章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（包括微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性。時(shí)間響應(yīng)分析是重要的方法之一。2.典型的輸入信號(hào);及一階、二階系統(tǒng)的典型時(shí)間響應(yīng)。 典型輸入信號(hào)便于進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)分析；任何高階系統(tǒng)均可化為零階、一階、二階系統(tǒng)等的組合；任何輸入產(chǎn)生的時(shí)間響應(yīng)均可由典型輸入信號(hào)產(chǎn)生的典型時(shí)間響應(yīng)而求得；1.概括地討論系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及其組成。 因?yàn)檫@是正確進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)分析的基礎(chǔ)；所謂系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及其組成就是指描述系統(tǒng)的微分方程的解與其組成，它們完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)歷程；本章主要內(nèi)容 首先來分析最

2、簡(jiǎn)單的振動(dòng)系統(tǒng)，即無阻尼的單自由度系統(tǒng)。如圖3.1.1所示， 質(zhì)量為m與彈簧剛度為k的單自由度系統(tǒng)在外力Fcost的作用下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為3.1.1:圖3.1.1 單自由度的m-k系統(tǒng)（3.1.1）3.1 時(shí)間響應(yīng)及其組成這一非齊次常微分方程的完全解由兩部分組成：式中， 是齊次微分方程的通解； 是其一個(gè)特解。由理論力學(xué)與微分方程中解的理論知： 式中， ，為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。 將式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有 化簡(jiǎn)得， 式中 于是，式（3.1.1）的完全解為（3.1.2）（3.1.3） （3.1.4） （3.1.5）（3.1.6） 求解常數(shù)A與B：將上式對(duì)t求導(dǎo)，有 設(shè) 時(shí)，

3、，代入式（3.1.6）與（3.1.7），聯(lián)立解得： 代入式（3.1.6），整理得通解： 第一、二項(xiàng):初始條件（初始狀態(tài)）引起自由響應(yīng)，第三項(xiàng):作用力引起的自由響應(yīng)，其振動(dòng)頻率均為 ，幅值受到F的影響。第四項(xiàng):作用力引起的強(qiáng)迫響應(yīng)，其振動(dòng)頻率為作用力頻率 . （3.1.7） （3.1.8） 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)（ “初態(tài)”引起的自由響應(yīng)）是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)作用所引起的響應(yīng) .為齊次方程零狀態(tài)響應(yīng)（僅由輸入引起的響應(yīng)）是系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即系統(tǒng)的起始貯能為零時(shí)，僅由激勵(lì)信號(hào)作用所引起的響應(yīng). 為非齊次方程控制工程主要研究:零狀態(tài)響。系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分類:振

4、動(dòng)性質(zhì)分類:自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng)振動(dòng)來源分類:零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)一般的情況，設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為： 方程的解（時(shí)間響應(yīng)）為通解 （即自由響應(yīng)）與特解 （即強(qiáng)迫響應(yīng)）所組成， 若式（3.1.9）的齊次方程的特征根 各相同，則 而 又分為兩部分，即 第一項(xiàng):初態(tài)引起的自由響應(yīng)；第二項(xiàng):輸入x(t)引起的自由響應(yīng)，（3.1.9） （3.1.10） （3.1.11） 全解: 其中:n和si只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。當(dāng)輸入函數(shù)有導(dǎo)數(shù)項(xiàng):方程為：利用線性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分別求出 作用時(shí)的響應(yīng)函數(shù)，然后疊加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。傳遞函數(shù)

5、(初態(tài)為零)求解:Laplace逆變換就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。（3.1.12） （3.1.13） 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 若所有的 ，自由響應(yīng)隨著時(shí)間逐漸衰減, 當(dāng) 時(shí)自由響應(yīng)則趨于零, 系統(tǒng)穩(wěn)定, 自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng). 反之，只要有一個(gè) ，即傳遞函數(shù)的相應(yīng)極點(diǎn) 在復(fù)數(shù)s平面右半平面，自由響應(yīng)隨著時(shí)間逐漸增大，當(dāng) 時(shí)，自由響應(yīng)也趨于無限大,系統(tǒng)不穩(wěn)定，自由響應(yīng)就不是瞬態(tài)響應(yīng)。 瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng):指強(qiáng)迫響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性:與自由響應(yīng)密切相關(guān)的。 的正負(fù):決定自由響應(yīng)是衰減與發(fā)散，系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定； 為負(fù)時(shí), 其絕對(duì)值的大小:決定自由響應(yīng)衰減速度，及系統(tǒng)響

6、應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度； :決定自由響應(yīng)的振蕩情況，決定系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，影響響應(yīng)的準(zhǔn)確性。系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性 確定性信號(hào)：變量和自變量之間的關(guān)系能夠用一確定性函數(shù)描述。非確定性信號(hào)則反之，變量與自變量之間的關(guān)系是隨機(jī)的，只服從某些統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng):采用典型輸入信號(hào)，比較其時(shí)間響應(yīng)。 任意輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng):利用系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，由關(guān)系式 或 （*表卷積），就能求出。3.2 典型輸入信號(hào)確定性信號(hào)和非確定性信號(hào):輸入信號(hào)：正常工作輸入信號(hào)；外加測(cè)試信號(hào);單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位拋物線函數(shù)、正弦函數(shù)和某些隨機(jī)函數(shù)。 a

7、單位脈沖函數(shù) b單位階躍函數(shù) c單位斜坡函數(shù) d單位拋物線函數(shù) e正弦函數(shù) f隨機(jī)函數(shù) 圖3.2.1 典型輸入信號(hào)單位階躍函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為零，對(duì)控制系統(tǒng)只給出了位置，故稱位置輸入信號(hào)；單位斜坡函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，一般稱為恒速輸入信號(hào)或速度輸入信號(hào)；單位拋物線函數(shù):其二次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，稱為加速度輸入信號(hào)。 下面分析一階與二階系統(tǒng)對(duì)單位脈沖與單位階躍函數(shù)的時(shí)間響應(yīng) 一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其微分方程和傳遞函數(shù)的一般形式為： T 稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，它表達(dá)了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性，亦稱一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。3.3 一階系統(tǒng) 輸入信號(hào) 是理想的單位脈沖函數(shù) 時(shí)，系統(tǒng)輸出 稱為

8、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)或簡(jiǎn)稱為單位脈沖響應(yīng)，記為而所以單位脈沖響應(yīng)函數(shù):系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Laplace逆變換，即 所以（3.3.1） 3.3.1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)w(t)只有瞬態(tài)項(xiàng)，而B(t)為零。由式(3.3.1)可得表3.3.1 t 0 T 2T 4T 0 0表3.3.1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)下降的指數(shù)曲線。過渡過程：將指數(shù)曲衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程，相應(yīng)的時(shí)間為4T。稱此時(shí)間為過渡過程時(shí)間或調(diào)整時(shí)間，記為ts。 系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T愈小, 愈短, 系統(tǒng)的慣性愈小，反應(yīng)的快速性能愈好。 脈沖響應(yīng)形式類似與零輸入響應(yīng)。 實(shí)際脈沖信號(hào): 具有一定的脈沖寬度和有限的幅度

9、的來代替理想的脈沖信號(hào), 脈沖寬度與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T比，一般為:輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，即響應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為：其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)記為 為：由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知， 中 是瞬態(tài)項(xiàng)，1是穩(wěn)態(tài)項(xiàng)B(t)（3.3.2） 3.3.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) t 0 0 T 0.632 2T 0.865 4T 0.982 1 0由式（3.3.2）可得表3.3.2和圖3.3.2 表3.3.2 如圖3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條單調(diào)上升指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)值為 。曲線有兩個(gè)重要的特征點(diǎn)。 A點(diǎn)：其對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=T時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng) 達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值的63.

10、2%； 零點(diǎn)：其對(duì)應(yīng)的t=0時(shí)， 的切線斜率（響應(yīng)速度）等于1/T。 指數(shù)曲線的斜率，即速率 是隨時(shí)間t的增大而單調(diào)減小的，當(dāng)t為 時(shí)，其響應(yīng)速度為零； 當(dāng) 時(shí)，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%以上，過渡過程時(shí)間 時(shí)間常數(shù)T 反映了固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。輸入單位階躍信號(hào)，并測(cè)出它的響應(yīng)曲線，及穩(wěn)態(tài)值 ；從響應(yīng)曲線上找出0.632 （即特征點(diǎn)A）所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t, 或t=0點(diǎn)的切線斜率;參考式（3.3.1）求出 ，或者，由單位階躍響應(yīng) ，根據(jù)關(guān)系 ；求得 ；由 求得 。實(shí)驗(yàn)法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1234式中， 為無阻尼固有頻率；為阻尼比。顯然 與 是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，

11、表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的特性。由式（3.4.2）可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同。（3.4.1）（3.4.2）3.4 二階系統(tǒng)二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)的特征方程：由此得兩個(gè)特征根為（1）當(dāng)01時(shí)，特征方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)相加或相乘,因此可視為兩個(gè)一階環(huán)節(jié)的并聯(lián)，也可視為兩個(gè)一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)。臨界阻尼的二階系統(tǒng)： 傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)相同的一階慣性環(huán)節(jié)相乘,但考慮負(fù)載效應(yīng),是不能等價(jià)為兩個(gè)相同的一階慣性環(huán)節(jié)串、并聯(lián)。特殊情況下，有可能等價(jià)為兩個(gè)不同的一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。輸入信號(hào)是理想的單

12、位脈沖函數(shù) 時(shí)，系統(tǒng)的輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，特別記為 。對(duì)于二階系統(tǒng)，因?yàn)?而 所以 同樣有： 記 ，稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。(3.4.3)3.4.1 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) （1）當(dāng)01，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（3.4.3）可得 由式（3.4.7）可知，過阻尼系統(tǒng)w(t)可視為兩個(gè)并聯(lián)的一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加。 當(dāng) 取不同值時(shí)，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖3.4.2所示。(3.4.7) 欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線:減幅的正弦振蕩曲線。愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 稱為時(shí)間衰減函數(shù)，記為。3.4.2 二階系

13、統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，即 則二階系統(tǒng)的階躍路應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為： （1）當(dāng)01 ，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時(shí)，由式（3.4.8）有 式中， (3.4.13) 計(jì)算表明，當(dāng)1.5時(shí)，在式（3.4.13）的兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中， 的衰減比 的要快得多，因此，過渡過程的變化以 項(xiàng)其主要作用。從S平面看，愈靠近虛軸的根，衰減越慢，對(duì)過渡過程影響愈大，起主導(dǎo)作用。 式（3.4.10）式（3.4.13）所描述的單位階躍響應(yīng)函數(shù)如圖3.4.3所示。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)過渡過程特性 01時(shí):單調(diào)上升。過渡過程的持續(xù)時(shí)間：無振蕩單調(diào)上升的曲線： =1時(shí)的時(shí)間t最短；在欠阻尼系

14、統(tǒng)中，當(dāng) =0.40.8時(shí)，時(shí)間比=1時(shí)的更短，而且振蕩不太嚴(yán)重。設(shè)計(jì)：二階系統(tǒng)一般工作在=0.40.8的欠阻尼狀態(tài)。保證振蕩適度、持續(xù)時(shí)間較短。特征參數(shù) 與值 決定 瞬態(tài)響應(yīng) 決定 過渡過程。 在根據(jù)給定的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)，這是因?yàn)槎A系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時(shí)間，并且也能同時(shí)滿足對(duì)振蕩性能的要求。 3.4.3 二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)考慮： 產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從單位階躍響應(yīng)也較容易求得任何其它輸入的響應(yīng)；在實(shí)際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實(shí)際中最不利的輸入情況。因此: 性能指標(biāo)以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的時(shí)域響應(yīng)量值給出。

15、因?yàn)椋簾o振蕩的單調(diào)過程的過渡時(shí)間太長(zhǎng)，故除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，以獲得較短的過渡過程時(shí)間。所以：在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，常使系統(tǒng)在欠阻尼（通常取 ）狀態(tài)下工作。 有關(guān)二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)的定義及計(jì)算公式除特別說明者外，都是針對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)而言的；更確切地說，是針對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程而言的。 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)的過渡過程的特性，通常采用下列性能指標(biāo)（見圖3.4.4）描述:（1）上升時(shí)間（2）峰值時(shí)間（3）最大超調(diào)量（4）調(diào)整時(shí)間（5）振蕩次數(shù)N 響應(yīng)曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間定義為上升時(shí)間（對(duì)于過阻尼系統(tǒng)，一

16、般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間稱為上升時(shí)間）。 欠阻尼二階系統(tǒng)（ ），階躍響應(yīng)為： 根據(jù)定義， 時(shí)， 由式（3.4.9），得 考慮 故有 令 得(3.4.9)1.上升時(shí)間 tr 因?yàn)樯仙龝r(shí)間 是 第一次到達(dá)輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取 即 由關(guān)系式 ，當(dāng) 增大， 就增大。(3.4.14)2.峰值時(shí)間 tp 響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間定義為峰值時(shí)間，將式（3.4.9）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便可求得峰值時(shí)間即由整理得因此(3.4.15)由定義取 因此因?yàn)樽畲蟪{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間， 時(shí)，故將式（3.4.9）與 代入式（3.4.16），可求得： 可見峰值時(shí)間是有阻尼振蕩周期

17、的一半，另外，由關(guān)系式 及式（3.4.15）可知:當(dāng)一定時(shí)， 增大， 就減小;當(dāng) 一定時(shí)， 增大， 就增大，此情況與 的相同。3.最大超調(diào)量 Mp最大超調(diào)量定義，即(3.4.16)式中， 為指定微小量，一般取 。式(3.4.18)表明, 在 之后，系統(tǒng)的輸出不會(huì)超過下述允許范圍： 超調(diào)量 只與阻尼比有關(guān)，而與無阻尼固有頻率 無關(guān)。所以， 的大小說明系統(tǒng)的阻尼特性。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比確定后,即可求得與其相對(duì)的超調(diào)量 ；反之,如果給出了系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應(yīng)的阻尼比. 當(dāng) =0.40.8時(shí), 相應(yīng)的超調(diào)量 。4. 調(diào)整時(shí)間 ts 在過渡過程中， 取的值滿足下面不等式時(shí)所需的時(shí)間，定義為調(diào)整時(shí)間

18、 。不等式為(3.4.18)由于 所表示的曲線是式（3.4.20）所描述的減幅正弦曲線的包絡(luò)線，因此，可將由式（3.4.20）所表達(dá)的條件改為： 解得將式（3.4.10）代入式（3.4.19），得又因此時(shí)因此 (3.4.19)(3.4.20)(3.4.21) 若取 得 若取 得 當(dāng) 時(shí)，可分別將式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取為： 與之間的精確關(guān)系，可由式（3.4.20）求得， 為最??；當(dāng) 為最小，在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí),一般取 作為最佳阻尼比。此時(shí)不僅 小，而且起調(diào)量 也不大，取 的另一理由將在4.2節(jié)中說明。 （3.4.22）（3.4.23） 具體設(shè)計(jì)：根據(jù)最大超調(diào)量 的要求，確定阻

19、尼，所以調(diào)整時(shí)間 主要是根據(jù)系統(tǒng)的 來確定的。由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間 和最大超調(diào)量 ；反過來，根據(jù)對(duì) 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。 在過渡過程時(shí)間 內(nèi)， 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)，從式（3.4.10）可知，系統(tǒng)的振蕩周期是 所以其振蕩次數(shù)為： 因此，當(dāng) 時(shí)，由 與 ，得當(dāng) 時(shí)，由 與 ，得 從式（3.4.25）和式（3.4.26）可以看出，振蕩次數(shù)N隨著的增大而 減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。（3.4.24） （3.4.25）4. 振蕩次數(shù)N（3.4.26） （1）要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，必須選擇合適的阻尼比和無阻尼固有

20、頻率 。提高 ，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上升時(shí)間 、峰值時(shí)間 和調(diào)整時(shí)間 ；增大，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小N，但增加上升時(shí)間 和峰值時(shí)間 。 一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài) 下工作，通常根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比. （2）系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能（穩(wěn)定性）之間是存在矛盾的。要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應(yīng)速度，就要選取合適的和 值。 由以上討論，可得如下結(jié)論： 【例1】設(shè)系統(tǒng)的方框圖為圖3.4.5，其中 ， 。當(dāng)有一單位階躍信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，求其性能指標(biāo) 和 。3.4.4 二階系統(tǒng)計(jì)算舉例解 （1）求 。故由式（3.4.15），得（2）求 。由式（3.4.17）得（3）求 。由式

21、（3.4.22）與式（3.4.23）的近似式，得圖3.4.5 例1框圖解 由圖3.4.6(a)可知， 是階躍力輸入， 8.9N， 是輸出位移。由圖3.4.6(b)可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 0.03m， 0.0029m， ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為：【例2】如圖3.4.6 (a) 所示的機(jī)械系統(tǒng),在質(zhì)量為m的質(zhì)塊上施加 的階躍力后，質(zhì)塊的時(shí)間響應(yīng) 如圖3.4.6 (b)所示，試求系統(tǒng)的m、k和c值。 式中：（1）求k 。由Laplace變換的終值定理可知：而 0.03m，因此k297N/m.。 其實(shí)，根據(jù)Hooker定律很容易直接計(jì)算k。因?yàn)?即為靜變形， 即可視為靜載荷，從而有即得（3）求c 。 由

22、，求得（2）求m。 由式（3.4.16）得又由式（3.4.17）求得 。將 代入 中，得 。再由 求得m77.3kg。 【例3】有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方框圖為圖3.4.7(a)。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)， 。（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在原系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋，如圖3.4.7(b)所示，求微分反饋的時(shí)間常數(shù) 。解 (1) 將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如式（3.4.1）所示的標(biāo)準(zhǔn)型式：對(duì)照式（3.4.1），可知此二階系統(tǒng)的 和 。將值代入式（3.4.17）得 但 ，故不能滿足本題要求。(2) 圖3.4.7（b）所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 為了滿足條件： ，由式（3.4.17）算得 。

23、現(xiàn)因 ，而 ，從而求得 。 從此題可以看出，如第二章所講，當(dāng)系統(tǒng)加入微分負(fù)反饋時(shí)，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，改善了系統(tǒng)振蕩性能，即減小了 ，但并沒有改變無阻尼固有頻率 。 實(shí)際上，大量的系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)，都可以用高階微分方程來描述。這種系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。 對(duì)高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復(fù)雜的。在分析高階系統(tǒng)時(shí)，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡(jiǎn)化為零階、一階與二階環(huán)節(jié)等的組合，而且也可包含延時(shí)環(huán)節(jié)，而一般所關(guān)注的，往往是高階系統(tǒng)中的二階振蕩環(huán)節(jié)的特性。 因此，本節(jié)將著重闡明高階系統(tǒng)過渡過程的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，并利用這一概念，將高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二階振蕩系統(tǒng)。3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng)傳

24、遞函數(shù)的普遍形式可表示為：（3.5.1）系統(tǒng)的特征方程式為：特征有n個(gè)特征根，設(shè)其中n1個(gè)為實(shí)數(shù)根，n2對(duì)為共軛虛根，應(yīng)有n=n1+2n2，由此，特征方程可以分解為n1個(gè)一次因式及n2個(gè)二次因式的乘積。也就是說，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有n1個(gè)實(shí)極點(diǎn)-pj及n2對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的m個(gè)零點(diǎn)為-zi（i=1,2，m），那么系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為 在單位階躍輸入Xi(s)=1/s的作用下，輸出為對(duì)上式按部分分式展開，得（3.5.2）（3.5.3）（3.5.4） 由以上分析可知，在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)中，如果距虛軸最近的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的附近沒有零點(diǎn)，而其他的極點(diǎn)距虛軸的距離都在這對(duì)極點(diǎn)距虛距離的五

25、倍數(shù)上時(shí)，則系統(tǒng)的過渡過程的形式及其性能指標(biāo)主要取決于距虛軸最近的這對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。這種距虛軸最近的極點(diǎn)稱為“主導(dǎo)極點(diǎn)”，它們經(jīng)常以共軛復(fù)數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)。 應(yīng)用主導(dǎo)極點(diǎn)分析 高階系統(tǒng)的過渡過程，實(shí)質(zhì)上就是把高階系統(tǒng)近似作為二創(chuàng)振蕩系統(tǒng)來處理，這樣就大大簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的分析和綜合工作，但在應(yīng)用這種方法時(shí)一定要注意條件，同時(shí)還要注意，在精確分析中，其他極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過渡的影響不能忽視。 “準(zhǔn)確”是對(duì)控制系統(tǒng)提出的一個(gè)重要性能要求 。實(shí)際系統(tǒng)：輸出量不能絕對(duì)精確地達(dá)到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實(shí)際輸出的差就是所謂的誤差。1.存在隨機(jī)干擾作用時(shí)，可能帶來隨機(jī)誤差；2.元件的性能不完善、變質(zhì)或者存在諸如

26、干摩擦、間隙、死區(qū)等非線性時(shí)，也可能帶來誤差。 本節(jié)討論在沒有隨機(jī)干擾作用，元件也是理想的線性元件的情況下，系統(tǒng)的誤差。 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算穩(wěn)定的自動(dòng)控制系統(tǒng)，在某一典型輸入作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)大致可以分為兩個(gè)階段：過渡過程或瞬態(tài)；某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的輸出量:瞬態(tài)分量(或自由響應(yīng));穩(wěn)態(tài)分量(或強(qiáng)迫響應(yīng))系統(tǒng)的誤差:瞬態(tài)誤差;穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)誤差隨過渡過程逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差最后成為誤差的主要部分。這一誤差與系統(tǒng)的輸入、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)根本談不上誤差問題。 3.6.1 系統(tǒng)的誤差與偏差控制系統(tǒng)的誤差：以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)來定義的。設(shè) 是控制系統(tǒng)所希望的輸出， 是其實(shí)

27、際的輸出，則誤差定義為：其Laplace變換記為 （為避免與偏差E(s)混淆，用下標(biāo)1區(qū)別），控制系統(tǒng)的偏差：以系統(tǒng)的輸入端為基準(zhǔn)來定義的,記為：其Laplace變換為 ：式中，H(s)為反饋回路的傳遞函數(shù)；(3.6.1)(3.6.2)偏差 之間存在關(guān)系：閉環(huán)控制系統(tǒng)之所以能對(duì)輸出Xo(s)起自動(dòng)控制作用，就在于運(yùn)用偏差 進(jìn)行控制。當(dāng) 時(shí)，由于E(s)0， 就起控制作用，力圖將Xo(s)值調(diào)節(jié)到Xor(s)值;反之 時(shí)，應(yīng)有E(s)0, 而使 不再對(duì)Xo(s)進(jìn)行調(diào)節(jié)。 當(dāng) 時(shí): 故 或 (3.6.3) 由式(3.6.1)、式(3.6.2)和式(3.6.3)可求得一般情況下系統(tǒng)的誤差與偏差之間

28、的關(guān)系為： 或偏差：在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測(cè)量的,因而具有一定的物理意義；誤差：在實(shí)際系統(tǒng)中無法測(cè)量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義，在性能指標(biāo)中經(jīng)常使用。在后面敘述中，均采用偏差進(jìn)行計(jì)算與分析。如果需要計(jì)算誤差，求出偏差后依據(jù)(3.6.4)式可求出。對(duì)單位反饋系統(tǒng)來說來說 ，故偏差 與誤差e(t)相同。上述關(guān)系如圖3.6.1所示。(3.6.4)3.6.2 誤差的一般計(jì)算 一般情況下分析、計(jì)算系統(tǒng)的誤差e(t)：設(shè)輸入 與干擾N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)，如圖3.6.2所示. 現(xiàn)可求得在圖示情況下的Xo(s)，即式中， 為輸入與輸出之間的傳遞函數(shù) 為干擾與輸出之間的傳遞函數(shù) 將式（3.6.3）、式（3.6.5）

29、代入式（3.6.1）得：（3.6.5） 式中， 為無干擾n(t)時(shí)誤差e(t)對(duì)于輸入xi(t)的傳遞函數(shù)， 為無輸入xi(t)時(shí)誤差e(t)對(duì)于干擾n(t)的傳遞函數(shù)。 與 總稱為誤差傳遞函數(shù)，反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)對(duì)誤差的影響。（3.6.6）3.6.3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差,因此, 穩(wěn)態(tài)誤差的定義為： 為了計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差，可先求出系統(tǒng)的誤差信號(hào)的Laplace變換式，再用終值定理求解 同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（3.6.7）（3.6.8）（3.6.9）3.6.4 與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差現(xiàn)分析如圖3.6.3所示的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。由圖3.6.3可知 故 （3

30、.6.10） （3.6.11） 由終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差為 即穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)特性（結(jié)構(gòu)與參數(shù)）有關(guān)，而且與輸入信號(hào)特性 有關(guān)。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)為式中，n, m分別為GK(s)的分母，分子階數(shù)，k是系統(tǒng)的開環(huán)增益, v為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度，它表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。（3.6.12） 若記 顯然 則將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)為（3.6.13） v=0,1,2時(shí) 分別稱為0型,I 型和II 型系統(tǒng)。v 愈高,穩(wěn)態(tài)精度愈高,但穩(wěn) 定性愈差,因此,一般系統(tǒng)不超過III型。工程上一般規(guī)定：（1）當(dāng)輸入為階躍信號(hào)（位置輸入信號(hào)） 時(shí)，系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為式中，稱 為位置無偏系數(shù)。

31、 表示單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)位置偏差 對(duì)于 0型系統(tǒng)， ， ，為有差系統(tǒng)，且K愈大 愈小。 對(duì)于I 、II 型系統(tǒng)， ， ，為位置無差系統(tǒng)。（3.6.14） （3.6.15） 可見，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時(shí)，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。（2）當(dāng)輸入為單位斜坡信號(hào)（速度輸入）時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱 為速度無偏系數(shù)， 對(duì)于0型系統(tǒng)， 對(duì)于I型系統(tǒng)， 對(duì)于II型系統(tǒng)， 表示單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)速度偏差。單位斜坡信號(hào)式中（3.6.16） （3.6.17） 上述分

32、析說明，0型系統(tǒng)不能適應(yīng)斜坡輸入，因?yàn)槠浞€(wěn)態(tài)偏差為；I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可以增大K值來減少偏差；對(duì)于II型或高于II型的系統(tǒng)，對(duì)斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的。用三角波模擬I型系統(tǒng)斜坡輸入時(shí)的輸出波形如圖3.6.4所示。（3）當(dāng)輸入為加速度信號(hào)（拋物線信號(hào)）輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差式中稱 為加速度無偏系數(shù)。對(duì)于 0、I型系統(tǒng)，對(duì)于II 型系統(tǒng)，加速度信號(hào)（3.6.18） （3.6.19） 可見，當(dāng)輸入為加速度信號(hào)時(shí)，0、 I型系統(tǒng)不能跟隨，型為有差，要無差則應(yīng)采用型或高于型的系統(tǒng)。型系統(tǒng)加速度信號(hào)輸入時(shí)，輸入輸出波形如圖3.6.5所示。上述討論的穩(wěn)態(tài)偏差根據(jù)式(3.6.4)可

33、以換算為穩(wěn)態(tài)誤差。 綜上所述，在不同輸入時(shí)不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差可以列成表3.6.1。 單位階躍輸入單位恒速輸入單位恒加速度輸入 0型系統(tǒng) I型系統(tǒng) 0 II型系統(tǒng) 0 0系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的開環(huán) (1)無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號(hào)的形式有關(guān)，在隨動(dòng)系統(tǒng)中一般稱階躍信號(hào)為位置信號(hào)，斜坡信號(hào)為速度信號(hào)，拋物線信號(hào)為加速度信號(hào)。 由輸入“某種”信號(hào)而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個(gè)系數(shù)來表示，就叫“某種”無偏系數(shù)，如位置無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度?！澳撤N”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當(dāng)無偏系數(shù)為零時(shí)即穩(wěn)態(tài)偏差 ，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為 ，則穩(wěn)態(tài)無差。根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點(diǎn)： (2)增加系

34、統(tǒng)的型別時(shí)，系統(tǒng)的準(zhǔn)確度將提高，然而當(dāng)系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差， 開環(huán)傳遞函數(shù)中包含兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)時(shí)，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的，因此型或更高型的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)起來是不容易的，實(shí)際上也是極少采用的。 增大K也可以有效地提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，然而也會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與準(zhǔn)確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。為了減小誤差，是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K還是提高系統(tǒng)的型別也需要根據(jù)具體情況作全面的考慮。 (3)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當(dāng)輸入控制信號(hào)是上述典型信號(hào)的線性組合時(shí)，即 輸出量的穩(wěn)態(tài)偏差應(yīng)是它們分別作用時(shí)穩(wěn)態(tài)偏差之和，即 (4)對(duì)于

35、單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，可由式(3.6.4)將穩(wěn)態(tài)偏差換算為穩(wěn)態(tài)誤差。必須注意，不能將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)，再由計(jì)算偏差得到誤差，因?yàn)閮烧哂?jì)算出的偏差和誤差是不同的。3.6.5 與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差 對(duì)系統(tǒng)除應(yīng)考慮控制的輸入作用外，還應(yīng)考慮各種擾動(dòng)的輸入作用。系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，對(duì)如圖3.6.2所示系統(tǒng), 在考慮干擾的影響時(shí), 可以不考慮輸入，即令 ，此時(shí)，由干擾引起的誤差，即為干擾所引起的輸出。由干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差可由下式算出（3.6.20） （3.6.21） （3.6.22） （3.6.23） 類似給定輸入作用偏差的分析，把G1

36、(s)寫成K1G10(s)/sv1，把G2(s)寫成K2G20(s)/sv2，當(dāng)s0時(shí)，G10(s)及G20(s)均趨于1.不失一般性, 考慮單位反饋系統(tǒng)H(s)=1并考慮階躍干擾的形式, N(s)=1/s。（1）當(dāng)G1(s)及G2(s)都不含積分環(huán)節(jié)時(shí)，即v1=v2=0，有（3.6.24） 可見，放大系數(shù)K1、K2對(duì)穩(wěn)態(tài)偏差的影響是相反的，增加K1，則偏差減小，而增加K2，則偏差更大。但是當(dāng)K1比較大時(shí)，K2對(duì)穩(wěn)態(tài)偏差的影響是不太顯著的，這時(shí)可以寫成下列近似的式子：（2）當(dāng)G1(s)中有一積分環(huán)節(jié)，而G2(s)中無積分環(huán)節(jié)時(shí)，即v1=1，v2=0，有（3.6.25） （3）當(dāng)G1(s)中無積

37、分環(huán)節(jié)，而G2(s)中有一積分環(huán)節(jié)時(shí)，即v1=0，v2=1，有（3.6.26） 即此時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差與K1成反比，而不是像式(3.6.25)那樣為零值。 綜上所述，為了提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，增加系統(tǒng)的抗干擾能力，必須增大干擾作用點(diǎn)之前的回路的放大倍數(shù)K1以及增加這一段回路中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。而增加干擾作用點(diǎn)之后到輸出量之間的這一段回路的放大系數(shù)K2或增多這一段回路中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，對(duì)減少干擾引起的誤差是沒有好處的。3.7 函數(shù)在時(shí)間響應(yīng)中的作用 單位脈沖函數(shù) 及單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 十分重要，有必要較深入討論 與 的含義、物理背景及作用。 單位脈沖函數(shù) 的定義如下：而 是 在 時(shí)的特例。 如圖3.7.1所示，在工程上常用長(zhǎng)度等于1的有向線段來表示 在 區(qū)間的積分面積，線段的長(zhǎng)度稱為脈沖強(qiáng)度。(3.7.1) 圖3.7.1 單位脈沖信號(hào) 若對(duì)系統(tǒng)輸入一單位脈沖函數(shù) ,則系統(tǒng)的單位脈沖的響應(yīng)函數(shù)為 ： 因此， 根據(jù)式（3.7.2），得可見，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的Laplace逆變換是系統(tǒng)輸入單位脈沖函數(shù)時(shí)的零初態(tài)響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)。（3.7.2） 由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函